Наша точка зрения подходит не только к единичным представлениям, к которым принадлежат наши последние примеры, но также к общим представлениям традиционной логики, которые часто определялись как представления, представляющие много предметов. Конечно, имеет место некоторая неловкость, когда такого рода принадлежащие к объему общего представления предметы обозначают как им представляемые; в любом случае, эти высказывания о многих представляемых предметах гораздо лучше подходили бы для представлений совокупности и коллектива, которые, однако, отличают от общих представлений. В зависимости от связи, то же самое общее представление "человек" или "какой-то человек" относится то к одному определенному человеку, как, например, Сократ ("Сократ есть человек"), то к неопределенному множеству людей ("люди существуют"), то к всеобщности людей (как раз в этом выражении "всеобщность людей"), и если теперь объем определяют как совокупность предметов, которые действительно могут попасть под общее представление, то кажется все же неестественным говорить, что общее представление представляет предметы своего объема, как если бы наряду с повсеместно идентичным содержанием, составляющим его значение, ему точно так же было бы свойственно повсеместно идентичное предметное отношение к этой совокупности объектов. Однако как бы там ни было, мы обнаруживаем в отношении к объему ту же самую двусмысленность, соответственно, отклонение от прямого смысла высказываний, которое позволяет замещать оба высказывания: "каждое представление (точнее, прежде всего, каждое общее представление) имеет объем" – "не каждое представление имеет объем". Аналогичным образом здесь можно было бы говорить о действительном и только интенциональном объемах: первое, когда соответствующая связь предполагает существование объема, когда, следовательно, высказывание можно понимать в прямом смысле (als eigentliche); последнее, напротив, когда вопрос о существовании объема остается открытым в силу невысказанного предположения, которое можно добавить [исходя] из интенции мыслительной связи в целом. Этот модифицированный способ высказывания очевидно является почти исключительно доминирующим, когда говорят об отношениях объема представлений (соответственно, понятий). По своему значению высказывание о том, что объемы представлений А и В тождественны (что оба представления относятся к одним и тем же предметам и т. п.), эквивалентно высказыванию: если оба представления вообще имеют объем, они имеют его тот же самый; или, в эквивалентной переформулировке: если нечто есть А, то оно есть В, и если нечто есть В, то оно есть А; другими словами, оба представления эквивалентны. Если к этому добавляется экзистенциальное суждение "А существует", то интенциональные объемы переходят в действительные. Ничего существенного не изменится в этих отношениях, если мы рассмотрим неопределенно-атрибутивные представления, которым соответствует или может соответствовать только один предмет, стало быть, представления формы "какое-то А", для которых истинно, что если вообще существует, то существует только один предмет, который есть А, например "самое малое простое число", "мощность рациональных чисел", "корень одного (т. е. данного) линейного уравнения" и т. п. Сущностный логический характер неопределенно-атрибутивного представления не меняется, если число предметов, с которыми оно предикативно связано, редуцировано к одному. Также здесь понятие объема сохраняет свое нормальное употребление; "общие" представления, определенные как представления, относящиеся ко многим предметам, как раз не образуют естественного класса.
Иначе обстоит дело с частными представлениями в том смысле, в котором они образуют исключительную противоположность неопределенно-атрибутивным [представлениям], примером чего служат представления, представленные именами собственными (при случае связанными с атрибутивными определениями), но все-таки, прежде всего, представления восприятия. Помимо того, что они сами имеют существенно иной характер, также речь об их объеме, хотя она общепринята, покидает почву естественного употребления. Неопределенно-атрибутивные представления имеют только косвенное отношение к предметам, они указывают на определенные предикаты, на предложения формы Х есть А, Y есть А и т. д., где символы Х, Y… указывают на представления другой группы, которые прямым и собственным образом без подобного опосредования атрибутами и мыслительными связями в предложении (Satzgedanken) представляют предмет. В восприятии, напротив, представлен сам предмет; он, естественно, имеет в себе атрибуты, которые ему полагаются. Однако факт обладания ими не входит в содержание представления, оно само не имеет форму "нечто, которое есть а, b…", скорее его функция исчерпывается тем, чтобы просто представлять предмет "в качестве того, что он есть". Объективно-логические связи сглаживают в определенных отношениях эти существенные различия, они связывают прямые и косвенные представления и позволяют, расширяя их, переносить понятия, образованные для одних, на другие. Там, где в представлении (значении) атрибуты не встречаются, также понятие объема утрачивает свою опору, как это сразу выясняется из дефиниции этого понятия. И все же говорят, как уже отмечено, даже при прямых представлениях об объеме, выделяемом в размере одного предмета, который они представляют. Их даже называют таким же образом единичными представлениями, как и те косвенные представления с одночленным объемом. Несмотря на существенно различное значение, которое в обоих случаях несет неопределенное выражение "отношение к предмету", и там, и там говорят одинаковым образом о представлениях, которые представляют только один предмет. Вместе с понятием объема расширяется, естественно, также смысл отношений между объемами: формула взаимозаменимого гипотетического суждения "если нечто есть А, то оно есть В, и наоборот" дает простейшим образом эквивалент для тождества объемов в более широкой области. Однако, разумеется, т. н. связка "есть" теперь получает многозначный смысл, который в силу определенной однородности не нарушает формальные связи, но скорее естественным образом проистекает из них; вообще, как раз в этих эквивалентностях формальной закономерности лежат главные импульсы для разыгрывающихся здесь и практически полезных переносов. В случае, если мы поставим вместо "А" – "Сократа", то гипотетическое придаточное предложение звучит: "если нечто есть Сократ". Однако мы не можем сказать в том же самом смысле "нечто есть Сократ", так же как "нечто есть красное" или "нечто есть дерево". Сократ не атрибут, который мог бы полагаться предмету именно по типу атрибута. Кроме того, опять же, представление Сократ не является соотносящим представлением как "какое-то дерево", чтобы оно могло по типу таких представлений служить для того, чтобы относить "понятие" к "предмету понятия". В противоположность этим (обычно логиками не различаемым) значениям связки, здесь появляется, очевидно, новое [значение]: "нечто есть Сократ", конечно, может теперь подразумевать, что это есть нечто идентичное с Сократом. [28]
Таким образом, в нашей гипотетической формуле должно оставаться открытым, функционирует ли словечко "есть" в одном или в другом смысле или, что сводится к тому же самому: значение связки в нашей формуле в дизъюнктивном расширении значения охватывает различные единичные значения. То, что это расширение, это "оставаться открытым" допустимо, основывается на том, что в пределах закономерностей гипотетических связей дизъюнктивно расширенное понятие соответствующих [связке] "есть" отношений функционирует формально точно так же, как более узкие понятия. Например, как для идентифицирующего, так и для атрибутирующего и суммирующего "есть" имеет силу закон транзитивности: если верны оба предложения "если нечто есть А, оно есть В" и "если нечто есть В, оно есть С", то также верно предложение "если нечто есть А, оно есть С". И не только это: закон продолжает действовать также для дизъюнктивно расширенного "есть", поскольку связь гипотетических предпосылок указанной формы даже при различном значении связки дает в итоге соответствующее придаточное предложение следствия, в котором связка обладает одним или другим из этих значений. Подобное имеет силу также для других логических законов, которые принимаются в расчет в отношении выступающих здесь форм предложений.
В соответствии с этим мы можем, следовательно, установить единую гипотетическую форму в качестве меры тождества (соответственно, не-тождества) объема для всех форм предложений вообще и одинаковым образом регламентировать прочие предметные отношения или, что то же самое, прочие отношения объема между любыми представлениями.
Высказывания, что каждое представление имеет объем, что каждое представляет предмет, можно было бы в соответствии с этим интерпретировать как просто модифицированные. Их буквальный смысл (eigentliche Meinung) был бы выражен, соответственно, косвенным образом намечен в предложении: каждое представление имеет объем, представляет один или много предметов, если предположить, что относящееся к нему утвердительное экзистенциальное суждение является действительно значимым. Цель и опора этой модификации прямого смысла могла бы заключаться только в ее практической полезности, стало быть в том, чтобы каждое представление могло бы вступать в гипотетические отношения рассмотренной формы; чтобы можно было объемами, которые допускаются при [условии] предположения таких экзистенциальных суждений, которые, естественно, не должны быть обязательно сформулированными, оперировать в широкой и четко ограниченной сфере точно таким же образом, как и объемами действительными; вместе с тем, чтобы эквивалентность в точности имела формальные свойства отношения равенства, субординация [имела] формальные свойства отношения включения и т. д., таким образом, чтобы, пока не выходят за пределы области гипотетических связей, прекратить любые суждения о существовании или несуществовании соответствующих предметов и объемов, [чтобы] с высказываниями об объемах и отношениях объемов можно было обращаться точно таким же образом, как если бы они были прямыми и безоговорочными; и с этим также связано, например, чтобы наглядные образы из различных сфер могли найти применение в качестве характерных символов и технической поддержки [для] оформления суждений. Cамо собой разумеется, в этом положении дел (я подразумеваю не познание его in abstracto) заключен весьма действенный мотив для естественного возникновения и сохранения модифицированных способов высказываний как внутри, так и вне логики.
Впрочем, их [возникновение] можно отнести на счет более глубоких и общих логических причин. Если мы представим себе внутри паутины мыслей рассмотренного здесь вида экзистенциальные предложения, которые были бы необходимы, чтобы модифицированным оборотам речи и мысли придать собственный смысл (Eigentlichkeit), конъюнктивно соединенный с одним единым предположением, то мы можем столкнуться с логической закономерностью, которая имеет всецело универсальную значимость и чрезвычайную важность для понимания научной методики: а именно, что формальные законы, которые регламентируют мышление при [условии] постоянного предположения, являются теми же самыми законами, что и те, которые имеют силу для, так сказать, свободного, т. е. не ограниченного никакими предпосылками [мышления]. С психологической точки зрения, мы можем предположение, которое мы "раз и навсегда" зафиксировали или которое лежит в основе наших последующих мыслительных ходов как "само собой разумеющееся", но без ясной фиксации (это указывает на предрасположенности к определенным дополнительным размышлениям и ограничениям), во время этих ходов часто совершенно игнорировать и можем делать это также на самом деле без ущерба для истины. Любой способ переформулировки, согласно чисто логическим законам, соответствующих, при [условии] предположения, вынесенных суждений или [любой способ] выведения из них следствий, который был бы оправданным, если бы эти суждения были безусловными, имеет также силу в имеющемся случае их зависимости от скрытого или невысказанного предположения: что выведенные суждения сами, в свою очередь, зависят от него. Или, с логической точки зрения: придаточные предложения одного и того же предположения подчиняются тем же самым законам дедукции, которые имеют силу для самостоятельных предложений, каждое заключение, которое имело бы силу исходя из таких придаточных предложений самих по себе, имеет силу также при предположении, а именно в качестве сделанного при его [условии]. С этим связано то, что каждое обусловленное высказывание об истине и ложности, существовании и несуществовании, следствии и его отсутствии, действительных или фиктивных предметах и т. д. может быть истолковано точно так же как безусловное, коль скоро уверены в том, что пределы имеющегося предположения не нарушаются. Это имеет важные следствия, в особенности в системах дедукции так называемой "формальной арифметики", где гипотетические соединения в определенном порядке формальных базисных понятий и относящихся к ним аксиом служат для конституирования замкнутой математической области, "алгебры", чье содержание образует разветвляющаяся в бесконечность система подлежащих выведению в чистой дедукции, формальных следствий этих основоположений. Здесь не только так говорят, скорее даже так судят, как будто дедуцированные истины, существования, отношения, несовместимости были бы значимы безоговорочно.
Иной, адекватный (eigentliche) способ выражения и суждения был бы, ввиду дополнительной (и бесполезной) мыслительной работы, которая должна быть выполнена, просто неосуществим. Непоколебимое правило, у правильно образованного исследователя ставшее комплексом привычек, – не судить ни о чем, что не следует исключительно из аксиом, – гарантирует значимость выдвигаемых положений и практически определяет границы свободного логического движения. В таком случае, если исследователь, примеры чего имеются, превратно понимает гипотетический характер основоположений и полагает, что дефиниция (которая создает "данную" область) должна вполне серьезно иметь силу в действительности, полагать существование, то это не имеет никакого влияния на внутреннюю убедительность математической системы. Если правильно не осознают характер основоположений, дедуцированные истины понимают так, как если бы они утверждались фактически, безусловно также по своей объективной значимости как безусловно существующие сами по себе, то единственно необходимой коррекцией будет простое подчинение [их] условному предположению. И подобное имеет значение вообще: мы должны в значительной мере довериться модифицированному способу выражения и, как правило, данному вместе с ним модифицированному мышлению: [во-первых,] в той мере, в какой логическое мышление действует при этом на основе рассмотренной выше закономерности, в других же случаях – когда связи суждений друг с другом и с предположениями лишь фактического вида осуществляются (sind) на основе достоверности нашей памяти, которая, впрочем, вступает в действие также в первых [случаях], если это делает возможным соединение результатов с предположением. Эти модификации мышления, эти факты, что мы выносим бесчисленные суждения, которые мы "по существу", однако, не полагаем, что имеются как замещающие представления, так и замещающие суждения, одно от другого неотделимо, это сердцевина (Hauptstück) "экономии мышления". Нельзя понять без нее науку как осуществление человеческого мышления.
Выше мы находили опору для нашей точки зрения в математике и, однако, как раз из этой науки пытаются почерпнуть контраргументы.
Побудить к сомнению могло бы то, что в соответствии с нашим подходом не уделяется должного внимания различию между математическим существованием и несуществованием (стало быть, различию между реальным и воображаемым в смысле старой математики и логики). Скажут, что вопрос о том, соответствуют ли идеальным геометрическим понятиям предметы в действительности, полностью выпадает из области геометрического исследования. И все же геометры различают действительные и недействительные понятия, они говорят, соответственно, о существовании и несуществовании геометрических образований и часто приводят для одних и для других самые обстоятельные доказательства, соответственно, конструкции. Таким образом, в представлениях, которым не обязательно соответствуют предметы в действительности и, по мнению большинства, вовсе не соответствуют, существует, как это кажется, существенное различие, совершенно аналогичное обычному [различию] между действительными и недействительными представлениями: одни представляют геометрические предметы, другие нет. Суждение тождества "два представления имеют те же самые предметы" не могут здесь зависеть от гипотезы: "если предположить, что им вообще соответствует предмет", поскольку сравнение суждений относится не к действительным, но к математическим объектам и подобные объекты при "реальных" понятиях имеются на самом деле. Таким образом, кажется сомнительным основывать понятие представляемого предмета лишь на гипотетических отношениях суждений, или это кажется уместным только в том случае, если намереваются говорить о предметах в отношении всех представлений вообще, следовательно, также в отношении "круглых четырехугольников". Но не будут же ставить понятия этого вида на одну ступень с подлинными геометрическими понятиями, "реальность" которых демонстрируется благодаря конструкции, между тем как мы при этом движемся не на почве действительной, но как раз математической реальности.
Если мы выше ссылались на формальную математику, то наши противники ссылаются на реальную. Первая является свободным от любого наглядного созерцания рассуждением, которое рассматривает чистые формы математических связей и систем в наиболее общей универсальности, исследует их разнообразные возможные вариации и таким образом посредством глубочайшего проникновения в технику математических связей дает также большую техническую власть над математическими объектами, большую методическую свободу и искусность. Напротив, реальная математика опирается на наглядное созерцание, на нем основывает свои понятия и от него же получает свойственную ей реальность.