Начиная справа налево, получаем 0 + 0 + 2 = 2, затем 0 + 2 + 6 = 8. После этого получаем 2 + 6 + 1, 6 + 1 + 2, 1 + 2 + 6 снова и снова, пока не доберемся до левого конца. Складывая одни и те же три числа в разном порядке, получаем в каждом случае, естественно, один и тот же результат – а именно 9.
Когда Сомс в первый раз объяснил мне все это, у меня нашлось возражение.
– Да, но что если при сложении этих трех чисел получается больше 9? Возникнет перенос в следующий разряд!
Он ответил кратко и по существу.
– Ну да, Ватсап, каждый раз один и тот же перенос.
В конце концов я понял, что это означало все то же самое – многократное повторение одной и той же цифры.
– Существуют, конечно, и более формальные доказательства, – заметил Сомс, – но мне кажется, этот пример вполне проясняет общую идею.
После этого он вернулся в кресло с кипой газет и весь остальной вечер молчал, а я спустился вниз, чтобы выпросить у миссис Сопсвудс тарелку сэндвичей с горгонзолой.
[На написание этой главы меня вдохновили кое-какие наблюдения Стивена Гледхилла.]
Средняя скорость
Мы используем не то среднее. Нам нужно среднее гармоническое (что это такое, объясняется ниже), а не среднее арифметическое.
Обычно мы определяем «среднюю скорость» какого-то путешествия как полное проделанное расстояние, деленное на полное затраченное время. Если путешествие разбито на несколько этапов, то средняя скорость, как правило, не является средним арифметическим скоростей на этих отрезках. Если отрезки преодолеваются за равное время, среднее арифметическое годится, но если они имеют равную длину (как и обстоит дело в нашем случае), то это не так.
Сначала рассмотрим случай с равными временны́ми отрезками. Предположим, что машина едет со скоростью a время t, а затем со скоростью b то же время t. Полное расстояние, равное at + bt, занимает время 2t. Поэтому средняя скорость равна (at + bt)/2t, что равно (a + b)/2, то есть среднему арифметическому скоростей.
Теперь возьмем случай с равными расстояниями. Машина проезжает расстояние d на скорости a за время r. Затем она снова проезжает расстояние d, на этот раз со скоростью b за время s. Полное расстояние равно 2d, полное время равно r + s. Чтобы выразить это через скорости a и b, заметим, что d = ar = bs. Таким образом, r = d/a, а s = d/b. Тогда средняя скорость равна
Это выражение упрощается до 2ab / (a + b), что соответствует гармоническому среднему a и b. Эта величина обратна среднему арифметическому величин, обратных a и b, где под величиной, обратной x, подразумевается 1/x. Причина в том, что время, затраченное на дорогу, пропорционально величине, обратной скорости.
Четыре псевдоку без указаний
Эти головоломки также исходят от Джерарда Баттерса, Фредерика Хенле, Джеймса Хенле и Колина МакГоги. См.: Gerard Butters, Frederick Henle, James Henle, and Colleen McGaughey. Creating clueless puzzles, The Mathematical Intelligencer 33 No. 3 (Fall 2011) 102–105.
Загадка похищенных бумаг
– Вор – Волверстон, – объявил Сомс.
– Ты уверен, Хемлок? От твоей правоты многое зависит.
– Никаких сомнений быть не может, Спайкрафт. Вот их заявления:
Арбатнот: Это сделал Берлингтон.
Берлингтон: Арбатнот лжет.
Волверстон: Это не я.
Гамильтон: Это сделал Арбатнот.
Мы знаем, что кто-то один из этих людей говорит правду, а остальные трое лгут. Существует четыре возможных варианта. Рассмотрим их по очереди.
Если только Арбатнот говорит правду, то из его слов нам становится известно, что виновен Берлингтон. Однако в этом случае Волверстон лжет, следовательно, виновен именно Волверстон. Это логическое противоречие, делаем вывод о том, что Арбатнот не говорит правду.
– Если только Берлингтон говорит правду, то…
– Волверстон лжет! – воскликнул я. – Так что виновен Волверстон!
Сомс сердито взглянул на меня – ведь я сорвал его эффектное выступление.
– Это так, Ватсап, и остальные заявления этому не противоречат. Так что мы уже знаем, что вор – Волверстон. Однако имеет смысл проверить и остальные два варианта, чтобы избежать даже малейшей возможности ошибки.
– Все абсолютно ясно, дружище, – сказал я.
Сомс достал трубку, но не стал ее зажигать.
– Если только Волверстон говорит правду, то заявление Берлингтона ложно, следовательно, Арбатнот говорит правду. Снова противоречие, поскольку известно, что он лжет. Если только Гамильтон говорит правду, возникает это же противоречие. Поэтому единственный возможный вариант – тот, где правду говорит только Берлингтон, и тогда вор – Волверстон. Как Ватсап проницательно заметил.
– Благодарю вас, джентльмены, – сказал Спайкрафт. – Я знал, что могу на вас положиться.
По его жесту в комнату тенью проскользнула какая-то фигура. Короткий разговор шепотом, и человек вновь исчез.
– В жилище доктора будет немедленно проведен обыск, – сказал Спайкрафт. – Я уверен, что документ будет найден.
– Значит, мы спасли империю! – воскликнул я.
– До следующего раза, когда кто-нибудь оставит секретные документы на сиденье какого-нибудь кэба, – сухо заметил Сомс.
По пути домой я прошептал на ухо своему спутнику:
– Сомс, если Спайкрафт – специалист по простым числам, то что он делает в контрразведке? Ведь здесь не может быть никакой связи, правда?
Он внимательно посмотрел на меня и покачал головой. Что имелось в виду – отсутствие связи, о которой я говорил, или предупреждение и совет не развивать эту тему, – мне неизвестно.
Еще одна любопытная числовая закономерность
123456 × 8 + 6 = 987654;
1234567 × 8 + 7 = 9876543;
12345678 × 8 + 8 = 98765432;
123456789 × 8 + 9 = 987654321.
Здесь не до конца ясно, что «должно» идти следующим: может быть,
234567890 × 8 + 10,
что равно 9876543130, так что закономерность на этом прекращается. Но, может быть, мне следовало взять (123456789) × 10 + 10 = 12345678900. Тогда
12345678900 × 8 + 10 = 9876543210.
Далее
(12345678900) × 10 + 11 = 123456789011,
что приводит нас к
12345689011 × 8 + 11 = 98765432099
и т. д. Если поэкспериментировать, можно поймать другую закономерность, которая продолжается до бесконечности.
Промежутки между простыми числами
Гипотеза Эллиота – Халберстама[37] носит очень специальный характер. Пусть π (x) – число простых чисел, меньших или равных x. Для любого положительного целого q и a, не имеющего с q общих делителей, за исключением 1, пусть π (x; q, a) – число простых чисел, меньших или равных x и равных a (mod q). Это приблизительно равно π(x) / φ(q), где φ – это пси-функция Эйлера, число целых чисел от 1 до q – 1, не имеющих с q общих делителей. Рассмотрим максимальную возможную ошибку:
Гипотеза Эллиота – Халберстама говорит о том, насколько велика эта ошибка: гипотеза утверждает, что для любых θ < 1 и A> 0 существует постоянная C> 0 такая, что
Знак одного. Часть вторая
Вот одно такое решение:
Объяснение см. в главе «Знак одного. Часть третья».
Евклидовы каракули
Вы могли бы сделать это вручную с использованием разложения на простые множители, если бы потратили на это день-другой. Вам пришлось бы выяснить, что
44 758 272 401 = 17 × 17 683 × 148 891;
13 164 197 765 = 5 × 17 683 × 148 891.
Затем вы могли бы сделать вывод, что НОД равен 17 683 × 148 891 = 2 632 839 553.
При использовании алгоритма Евклида весь расчет выглядит так:
(13 164 197 765; 44 758 272 401) → (13 164 197 765; 31 594 074 636) → (13 164 197 765; 18 429 876 871) → (5 265 679 106; 13 164 197 765) → (5 265 679 106; 7 898 518 659) → (2 632 839 553; 5 265 679 106) → (2 632 839 553; 2 632 839 553) → (0; 2 632 839 553).
Следовательно, НОД равен → 2 632 839 553.
123456789 раз по X
123456789 × 1 = 123456789;
123456789 × 2 = 246913578;
123456789 × 3 = 370370367;
123456789 × 4 = 493827156;
123456789 × 5 = 617283945;
123456789 × 6 = 740740734;
123456789 × 6 = 740740734;
123456789 × 7 = 846197523;
123456789 × 8 = 987654321;
123456789 × 9 = 1111111101.
В этих числах присутствуют все девять ненулевых цифр в разном порядке, за исключением тех случаев, когда мы умножаем на число, кратное 3 (то есть на 3, 6 и 9).
Знак одного. Часть третья
Поскольку
62 = 7 × 9–1 = 7/0,(1) – 1,
мы можем воспользоваться представлением 7 через две единицы, чтобы получить 62 из четырех единиц.
Долгое время Сомс и Ватсап никак не могли выразить 138 через четыре единицы, но потом, воспользовавшись озарением Ватсапа про квадратные корни и факториалы и применив системный подход, они в конце концов выяснили, что 138 можно получить с использованием всего лишь трех единиц. Стартовой позицией, опять же, является семерка, выраженная через две единицы, и тогда
И наконец,
138 = 46/√0,(1),
что, кстати говоря, представляет собой хитрый способ умножения на 3 с использованием всего одной дополнительной единицы.
Бросание монетки – несправедливый жребий
Persi Diaconis, Susan Holmes, and Richard Montgomery, Dynamical bias in the coin toss, SIAM Review 49 (2007) 211–223.
То же в популярном изложении: Persi Diaconis, Susan Holmes, and Richard Montgomery, The fifty-one percent solution, What's Happening in the Mathematical Sciences 7 (2009) 33–45.
Аналогичные эффекты возникают при бросании костей – не только обычных кубиков, но и любых правильных многогранников. См.: J. Strzalko, J. Grabski, A. Stefanski, and T. Kapitaniak, Can the dice be fair by dynamics? International Journal of Bifurcation and Chaos 20 No. 4 (April 2010) 1175–1184.
Исключение невозможного
– Ваше упущение, – сказал Сомс, – состояло в том, что вы не заметили, что двигаться могут не только стаканы, но и налитое в них вино. Я просто возьму второй и четвертый стаканы и перелью их содержимое в седьмой и девятый.
Сила мидий
Monique de Jager, Franz J. Weissing, Peter M. J. Herman, Bart A. Nolet, and Johan van de Koppel. Le×vy walks evolve through interaction between movement and environmental complexity, Science 332 (4 June 2011) 1551–1553.
Доказательство шарообразности Земли
Мы видели, что при вычислении средних скоростей на фиксированном расстоянии нам следует использовать среднее гармоническое, а не среднее арифметическое значение. Гармоническое среднее возникает также при оценке расстояния между двумя аэропортами, если учитывать силу ветра, – по аналогичной, с небольшими отличиями, причине. Посмотрим на простую модель. Будем считать, что скорость самолета относительно воздуха равна c, летит он по прямой, а ветер дует строго вдоль этой прямой со скоростью w. Считаем, что c и w постоянны. Тогда a = c – w, b = c + w. Мы хотим оценить d на основании времен r и s. Чтобы избавиться от w, мы выразим a и b и получим a = d/r и b = d/s. Таким образом,
c – w = d/r, c+w = d/s.
Сложив, получим 2c = d (1/r + 1/s). Тогда c = d (1/r + + 1/s)/2. Если бы ветра не было, полет в одну сторону занял бы время t, где d = ct. Следовательно,
t = d/c = d/[d (1/r + 1/s)/2] = 1/[(1/r + 1/s)/2],
это и есть гармоническое среднее между r и s.
Короче говоря: если мы говорим о самолеточасах, то из этой простой модели воздействия ветра видно, что пользоваться следует гармоническим средним времени перелета в двух направлениях.
123456789 раз по X. Продолжение
123456789 × 10 = 1234567890;
123456789 × 11 = 1358024679;
123456789 × 12 = 1481481468;
123456789 × 13 = 1604938257;
123456789 × 14 = 1728395046;
123456789 × 15 = 1851851835;
123456789 × 16 = 1975308624;
123456789 × 17 = 2098765413;
123456789 × 18 = 2222222202;
123456789 × 19 = 2345678991.
В этих произведениях присутствуют все десять цифр 0–9 в некотором порядке, за исключением тех случаев, когда мы умножаем на число, кратное 3… Вплоть до 19, когда красивая закономерность останавливается (19 не кратно 3, но в ответе дважды встречается 9 и нет 0).
Но затем закономерность возобновляется:
Следующие исключения возникают на 28 и 29. На числах 30–36 все работает, на 37 вновь происходит сбой. На этом месте я прекратил вычисления. Что происходит дальше? Понятия не имею.
Загадка золотого ромба
Сомс затянул узел до конца, сплющил его и поднес к свету.
– Вот это да, пятиугольник! – изумленно воскликнул я.
– Точнее сказать, Ватсап, это похоже на правильный пятиугольник, у которого одна диагональ видима, а остальные три скрыты. Обратите внимание на отсутствие горизонтальной диагонали. Если ее добавить, к примеру, сложив полоску еще раз, то получится…
– Пятиконечная звезда! Пентаграмма! Ее используют в черной магии для вызова демонов!
Сомс кивнул.
– Но без этой последней складки и, соответственно, без одного ребра пентаграмма окажется неполной, и демон вырвется. Так что этот символ выражает угрозу выпустить в мир демонические силы, – он невесело улыбнулся. – Конечно, демонов в сверхъестественном смысле не существует, их невозможно ни вызвать, ни выпустить. Но вот люди демонического нрава, безусловно, существуют…
– Такие, к примеру, как в террористической организации Ал-Гебра! – воскликнул я. – Меня изгнали из Ал-Гебраистана оружием математического образования!
– Успокойтесь, Ватсап. Нет, я имел в виду скорее Матемагическую ассоциацию Нумерики. Это малоизвестная группа, и я сильно подозреваю, что она служит лишь официальным прикрытием для одной из дьявольских преступных схем Могиарти. Я сталкивался с ней и раньше, и теперь у меня в руках последнее, решающее звено, которое позволит нанести удар по зловещему профессору и навсегда разрушить эту часть его всемирной паутины преступлений. Если, конечно…
– Если что, Сомс?
– Если, конечно, мы сможем представить неопровержимые доказательства, когда дело дойдет до суда. Откуда мы знаем, что этот пятиугольник правильный?
– Но разве это не предельно просто?
– Напротив, вы скоро будете уверять меня, что это невероятно хитроумно и, может быть, вовсе не так, – хотя, говоря по существу, правильный ответ здесь совпадает с первой наивной догадкой. Осмелюсь предположить, что, как только мы установим этот факт, все остальное последует автоматически, но одного внешнего вида узла недостаточно. Однако я буду считать, что взаимное расположение линий на рисунке верно, так что у нас определенно есть пятиугольник с четырьмя диагоналями. Но действительно ли он правильный? В этом необходимо убедиться. Если это так, то этот факт должен следовать из постоянной ширины бумажной полоски. Обозначим углы так, как это делал великий Евклид из Александрии, и займемся геометрическими рассуждениями.
Я должен предупредить читателя, что остальная часть дискуссии будет интересна только тем, кто обладает некоторыми знаниями в евклидовой геометрии.
– Я начну, – объявил Сомс, – с нескольких простых наблюдений. Их можно доказать без большого труда с использованием базовой геометрии, так что подробности я опущу.
Во-первых, обратите внимание, что если две полоски, имеющие параллельные края, накладываются друг на друга, то в месте их перекрытия возникает ромб – параллелограмм, у которого все четыре стороны равны. Более того, если два таких ромба имеют одинаковую высоту и одинаковую сторону, то они конгруэнтны, то есть обладают одинаковыми размерами и формой. Следовательно, на диаграмме расплющенного узла присутствуют три конгруэнтных ромба.
– Почему только три? – спросил я в недоумении.
– Потому что CD и BE не совпадают с краями бумажной полоски, так что мы не можем пока сказать то же о ромбах CDRB или DESC. Вот почему я не провел линии CD.
Я, надо признаться, этого не заметил.
– В таком случае это невероятно тонкий момент, Сомс. Мало того, наше утверждение может оказаться попросту неверным!
Он почему-то вздохнул.
– Теперь мы переходим к центральному пункту моих рассуждений. Диагонали ромба рассекают его углы пополам, а противоположные углы равны, – Сомс отметил четыре угла греческой буквой θ (тета), см. рисунок слева.
По сходным причинам угол CAB также равен θ. Поскольку ромбы DEAT и PEAB конгруэнтны, я могу отметить буквой θ еще четыре угла. Получается рисунок справа.