Концепцию планирования сценария для определения оптимального f можно использовать во многих областях: от военных стратегий до определения оптимального уровня участия в подписке на акции или оптимальной предоплаты за дом. Этот метод, вероятно, является лучшим и уже точно самым легким для тех, кто не использует механические решения при входе и выходе с рынка. Трейдеры, которые торгуют по фундаментальным данным, графикам, волнам Эллиотта или с помощью любого другого метода, требующего субъективного суждения, могут найти оптимальные f с помощью этого подхода — он намного проще, чем поиск значений параметров распределения. Арифметическое среднее HPR группы сценариев можно рассчитать следующим образом:
где N = число сценариев;
А = результат (выигрыш или проигрыш) сценария i;
Р = вероятность сценария i;
W= наихудший результат среди всех сценариев.
AHPR будет важно позднее, при поиске эффективной границы совокупности нескольких рыночных систем, когда необходимо будет определить ожидаемую прибыль (арифметическую) данной рыночной системы. Эта ожидаемая прибыль равна AHPR-1. Рассмотренный метод не обязательно должен быть основан на параметрическом подходе. Возможен и эмпирический подход. Другими словами, мы можем взять отчет о сделках данной рыночной системы и использовать каждую из этих сделок в качестве сценария, который может произойти в будущем. Величина прибыли или убытка будет выходным результатом данного сценария. В этом случае каждый сценарий (сделка) имеет равную вероятность осуществления — 1/N, где N — общее число сделок (сценариев). В результате мы получим эмпирическое оптимальное f. Когда есть несколько решений на основе нескольких сценариев, выбор того. чье среднее геометрическое, соответствующее оптимальному f, самое большое. максимизирует решение в асимптотическом смысле. Зачастую это будет происходить вопреки общепринятым правилам принятия решения, таким как Правило Гурвица, максимакс, минимакс, минимаксная потеря (minimax regret) и наивысшее математическое ожидание. Предположим, мы должны выбрать одно их двух возможных решений, которые назовем «белым» и «черным». Белое решение представляет следующие возможные сценарии:
Белое решение Сценарий Вероятность Результат А 0,3 -20 В 0,4 0 С 0,3 30 Математическое ожидание = $3,00 Оптимальное f = 0, 17 Среднее геометрическое = 1,0123
Черное решение представляет следующие сценарии:
Черное решение Сценарий Вероятность Результат А 0,3 -10 В 0,4 5 С 0,15 6 D 0,15 20
Математическое ожидание = $2,90
Оптимальное f=0,31
Среднее геометрическое = 1,0453
Многие выбрали бы белое решение, так как оно имеет большее математическое ожидание. При белом решении вы можете ожидать «в среднем» выигрыш в 3 доллара против выигрыша черного решения в 2,90 доллара. Однако выбор черного решения будет более правильным, так как оно дает наибольшее среднее геометрическое. При черном решении можно ожидать «в среднем» выигрыш в 4,53% (1,0453 - 1) против выигрыша белого решения в 1,23%. При реинвестировании черное решение, в среднем, выиграет в три раза больше, чем белое решение! Вы можете возразить, отметив, что мы не реинвестируем по тому же сценарию каждый раз, и можно добиться большего, если всегда выбирать наивысшее арифметическое математическое ожидание для каждого представленного набора. Мы будем принимать решение, основываясь на большем арифметическом математическом ожидании, только в том случае, если не собираемся реинвестировать вообще. Но так как почти всегда деньги, которыми мы рискуем сегодня, будут снова с риском вложены в будущем, а деньги, выигранные или проигранные в прошлом, влияют на то, чем мы можем рисковать сегодня (среда геометрических следствий), для максимизации долгосрочного роста капитала мы должны принимать решения, исходя из среднего геометрического. Даже если сценарии, которые будут представлены завтра, не будут такими же, как сегодня, используя наибольшее среднее геометрическое, мы всегда максимизируем наши решения. Это аналогично процессу зависимых попыток, например игре в «очко». Каждая раздача изменяет вероятности, поэтому оптимальная ставка изменяется, чтобы максимизировать долгосрочный рост. Помните, чтобы максимизировать долгосрочный рост, мы должны рассматривать текущую игру как неограниченную во времени. Другими словами, следует рассматривать каждую отдельную ставку, как будто она повторяется бесконечное число раз, если необходимо максимизировать рост в течение долгой последовательности ставок в нескольких играх. Давайте обобщим все вышесказанное: когда результат события оказывает влияние на результат(ы) последующего события(ий), нам следует выбирать наибольшее геометрическое ожидание. В редких случаях, когда результат не влияет на последующие события, следует выбирать наибольшее арифметическое ожидание. Математическое ожидание (арифметическое) не учитывает зависимость результатов внутри каждого сценария и поэтому может привести к неверному заключению, когда рассматривается реинвестирование в геометрической среде. Использование предложенного метода в планировании сценария поможет вам правильно выбрать сценарий, оценить его результаты и вероятности их осуществления. Этот метод внутренне более консервативен, чем размещение на основе наибольшего арифметического математического ожидания. Уравнение (3.05) показывает, что среднее геометрическое никогда не может быть больше среднего арифметического. Таким образом, этот метод никогда не будет более рискованным, чем метод наибольшего арифметического математического ожидания. В асимптотическом смысле (долгосрочном) это не только лучший метод размещения, так как вы получаете наибольший геометрический рост, он также более безопасен, чем размещение по наибольшему арифметическому математическому ожиданию, которое неизменно смещает вас вправо от пика кривой f.
Так как реинвестирование почти всегда имеет место в реальной жизни (до того дня, когда вы уйдете на пенсию),[17] то есть вы снова будете использовать деньги, которые использовали сегодня, мы должны принимать решения, исходя из того, что такая возможность представится тысячи раз, для того чтобы максимизировать рост. Мы должны принимать решения таким образом, чтобы максимизировать геометрическое ожидание. Более того, так как результаты большинства событий влияют на результаты последующих событий, нам следует принимать решения и размещать средства, основываясь на максимальном геометрическом ожидании, что может привести к решениям, которые не всегда очевидны.
Поиск оптимального f по ячеистым данным
Теперь мы рассмотрим поиск оптимального f и его побочных продуктов по ячеистым данным. Этот подход также является гибридом параметрического и эмпирического метода и аналогичен процессу поиска оптимального f по различным сценариям; только на этот раз мы будем использовать среднюю точку ячейки. Для каждой ячейки у нас будет ассоциированная вероятность, рассчитанная как общее число элементов (сделок) в этой ячейке, деленное на общее число элементов (сделок) во всех ячейках. Для каждой ячейки у нас будет ассоциированный результат, рассчитанный по центральной точке ячейки. Например, у нас есть 3 ячейки и 10 сделок. Первую ячейку мы определим для P&L от -1000 долларов до -100 долларов. В этой ячейке будет два элемента. Следующая ячейка предназначена для сделок от -100 до 100 долларов, она вмещает 5 сделок. Наконец, в третью ячейку попадут 3 сделки, которые имеют P&L от 100 до 1000 долларов.
Ячейка Ячейка Сделки Ассоциированная Ассоциированный вероятность результат -1000 -100 2 0,2 -550 -100 100 5 0,5 0 100 1000 3 0,3 550
Теперь нам нужно решить уравнение (4.16), где каждая ячейка представляет отдельный сценарий. Таким образом, для случая с 3 ячейками оптимальное f составляет 0,2, или 1 контракт на каждые 2750 долларов на счете (наш проигрыш наихудшего случая будет средней точкой первой ячейки, или (-$1000 + -$100) / /2 =-$550). Этот метод можно использовать в реальной торговле, хотя он и недостаточно точен, поскольку допускает, что наибольший проигрыш находится в середине наихудшей ячейки, а это не совсем верно. Часто полезно иметь одну лишнюю ячейку, чтобы включить проигрыш наихудшего случая. Допустим, как и в примере с 3 ячейками, у нас была сделка с проигрышем в 1000 долларов. Такая сделка попадает в ячейку -1000 до -100 долларов и поэтому будет записана как 550 долларов (средняя точка ячейки), но мы можем разместить в ячейки те же данные следующим образом:
Теперь нам нужно решить уравнение (4.16), где каждая ячейка представляет отдельный сценарий. Таким образом, для случая с 3 ячейками оптимальное f составляет 0,2, или 1 контракт на каждые 2750 долларов на счете (наш проигрыш наихудшего случая будет средней точкой первой ячейки, или (-$1000 + -$100) / /2 =-$550). Этот метод можно использовать в реальной торговле, хотя он и недостаточно точен, поскольку допускает, что наибольший проигрыш находится в середине наихудшей ячейки, а это не совсем верно. Часто полезно иметь одну лишнюю ячейку, чтобы включить проигрыш наихудшего случая. Допустим, как и в примере с 3 ячейками, у нас была сделка с проигрышем в 1000 долларов. Такая сделка попадает в ячейку -1000 до -100 долларов и поэтому будет записана как 550 долларов (средняя точка ячейки), но мы можем разместить в ячейки те же данные следующим образом:
Ячейка Ячейка Сделки Ассоциированная вероятность Ассоциированный результат -1000 -1000 1 0,1 -1000 -999 -100 1 0,1 -550 -100 100 5 0,5 0 100 1000 3 0,3 550
Теперь оптимальное f составляет 0,04, или 1 контракт на каждые 25 000 долларов на счете. Вы видите, насколько приблизителен этот метод? Поэтому, хотя этот метод даст нам оптимальное f для ячеистых данных, надо понимать, что потеря информации при размещении данных в ячейки может сделать результаты настолько неточными, что они станут бесполезными. Если бы у нас было больше точек данных и больше ячеек, метод был бы намного точнее. Фактически, если бы у нас было бесконечное количество данных и бесконечное число ячеек, метод был бы абсолютно точным (если бы данные в каждой из ячеек были равны средним точкам соответствующих ячеек, то этот метод также был бы точным). Другой недостаток предлагаемого метода заключается в том, что среднее значение ячейки не обязательно расположено в центре ячейки. В реальности среднее значение элементов в ячейке будет ближе к моде всего распределения, чем к средней точке ячейки. Следовательно, полученная дисперсия будет больше, чем есть на самом деле. Существуют способы корректировки, но и они могут быть неточными. Проблему можно было бы преодолеть, и результаты были бы точными при бесконечном количестве элементов (сделок) и бесконечном количестве ячеек. Если у вас есть достаточно большое количество сделок и достаточно большое количество ячеек, вы можете использовать этот метод с большей уверенностью. Вы также можете провести тесты «что если», изменяя число элементов в различных ячейках, чтобы получить более точное приближение.
Какое оптимальное f лучше?
Мы знаем, что можно найти оптимальное f, используя эмпирический подход, а также используя некоторые параметрические методы как для ячеистых, так и для неячеистых данных. Мы также знаем, что можно привести данные к текущей цене. Какое оптимальное f действительно оптимально — полученное по приведенным или неприведенным данным?
Неприведенное эмпирическое оптимальное f рассчитывается на прошлых данных. Эмпирический метод для нахождения оптимального f, описанный в главе 1, даст оптимальное f, которое реализовало бы наивысший геометрический рост по прошлому потоку результатов. Однако нам надо определить, какое значение оптимального f использовать в будущем (особенно в следующей сделке), учитывая, что у нас нет достоверной информации об исходе следующей сделки. Мы точно не знаем, будет это прибыль (тогда оптимальное f будет 1) или убыток (тогда оптимальное f будет 0). Мы можем выразить результат следующей сделки только распределением вероятности. Лучшим подходом для трейдеров, применяющих механическую систему, будет расчет f путем использования параметрического метода с помощью регулируемой функции распределения, описанной в этой главе, с приведенными или неприведенными данными. Если есть значительное различие в использовании приведенных данных по сравнению с неприведенными, тогда, вероятно, расчеты сделаны по слишком большой истории сделок, или же данных на уровне текущих цен недостаточно. Для несистемных трейдеров лучшим может оказаться подход планирования сценария.
Теперь вы имеете представление как об эмпирических, так и параметрических методах, а также о некоторых гибридных методах поиска оптимального f. В следующей главе мы рассмотрим проблему поиска оптимального f (параметрическим способом) для случая, когда одновременно открыто несколько позиций.
Глава 5
Введение в методы управления капиталом с использованием параметрического подхода при одновременной торговле по нескольким позициям
В этой книге уже упоминалось об использовании опционов отдельно или совместно с позицией по базовому инструменту для улучшения торговых результатов. Покупка пут-опциона вместе с длинной позицией по базовому инструменту (или просто покупка колл-оп-циона), а иногда даже продажа (короткая продажа) колл-опциона совместно с длинной позицией по базовому инструменту могут ускорить асимптотический геометрический рост. Это происходит потому, что очень часто (но не всегда) использование опционов уменьшает дисперсию в большей степени, чем уменьшает арифметический средний доход. В результате, исходя из фундаментального уравнения торговли, мы получаем большее оценочное TWR. Опционы можно использовать как самостоятельные инструменты, так и вместе с позициями по базовому инструменту для управления риском. В будущем, так как трейдеры все больше концентрируются на управлении риском, опционы, вероятно, будут играть еще большую роль. В книге «Формулы управления портфелем» была рассмотрена взаимосвязь оптимального/и опционов. * В этой главе мы продолжим начатую дискуссию и обсудим торговлю по нескольким позициям, а также поговорим об опционах. Настоящая глава посвящена еще одному методу поиска оптимального/для немеханических торговых систем. Параметрические методы, рассмотренные до этого момента, могут использовать те, кто не применяет механические системы. Допустим, вы не используете механическую систему и применяете метод, описанный в главе 4. Если вы захотите рассчитать эксцесс, то сделать это будет не очень легко (по крайней мере, точное значение эксцесса быстро получить, скорее всего, не удастся). Данная глава предназначена прежде всего для тех, кто использует немеханические методы принятия решений об открытии и закрытии позиций. Трейдерам, использующим эти методы, надо будет рассчитывать не параметры распределения сделок, а значения для волатильности базового инструмента и прогнозируемой цены базового инструмента. Трейдеру, не использующему механическую, объективную систему, будет намного легче получить именно эти величины, чем рассчитать параметры для распределения сделок, которые еще не произошли.
Обсуждение оптимального/и его побочных продуктов для тех трейдеров, которые не используют механическую, объективную систему, мы начнем с рассмотрения ситуации, когда одновременно открыто несколько позиций. Означает ли это, что тот, кто использует механические методы для открытия и закрытия позиций, не может использовать описанные подходы? Нет. В Главе 6 предложен метод поиска оптимальных, одновременно открытых позиций независимо от того, использует трейдер механическую систему или нет. В этой главе рассмотрена ситуация, когда одновременно открыто несколько позиций (с использованием опционов или без), и применяется немеханический подход.
Расчет волатильности
Один из важных параметров, который трейдер, желающий использовать описываемые в этой главе концепции, должен ввести, — это волатильность. Существует два способа определения волатильности. Первый — использование оценки на основе рыночных данных — дает подразумеваемую волатильность. Модели ценообразования опционов, представленные в этой главе, используют волатильность в качестве одного из своих входных параметров для получения справедливой теоретической цены опциона. Подразумеваемая волатильность основывается на предположении, что рыночная цена опциона эквивалентна его справедливой теоретической цене. Волатильность, которая дает справедливую теоретическую цену, равную рыночной цене, и есть подразумеваемая волатильность. Второй метод расчета волатильности основывается на использовании исторических данных. Полученная таким образом историческая волатильность определяется фактической ценой базового инструмента. Хотя волатильность в качестве входного данного в модели ценообразования опционов выражается в годовых процентах, при ее определении используется более короткий временной отрезок, обычно 10-20 дней, а получившийся в результате ответ переводится в годовое значение.