Вспомните, что касательный портфель находится на эффективной границе (арифметической или геометрической) портфелей с ограниченной суммой весов в точке с наивысшим отношением Шарпа (уравнение (7.01)). Мы просто повысим рычагом этот портфель и умножим веса каждого из его компонентов на переменную, называемую q, которую можно получить следующим образом:
(7.13) q=(E-RFR)/V,
где Е = ожидаемая прибыль (арифметическая) касательного портфеля;
RFR = безрисковая ставка, по которой вы можете занять или дать взаймы;
V= дисперсия касательного портфеля.
Уравнение (7.13) является достаточно хорошим приближением реального оптимального q.
Следующий пример может проиллюстрировать роль оптимального q. Вспомните, что наш неограниченный геометрический оптимальный портфель выглядит так:
Компонент Вес Toxico 1,025955 Incubeast 0,4900436 LA Garb 0,4024874
Портфель имеет AHPR= 1,245694 и дисперсию 0,2456941. В оставшейся части нашего обсуждения мы будем исходить из того, что RFR = 0 (в данном случае отношение Шарпа этого портфеля, (AHPR-(1 + RFR)) / SD, равно 0,49568).
Теперь, если мы введем те же прибыли, дисперсии и коэффициенты корреляции компонентов в матрицу и рассчитаем, какой портфель находится в точке касания при RFR = 0, когда сумма весов ограничена 1,00 и при отсутствии NIC, то получим следующий портфель:
Компонент Вес Toxico 0,5344908 Incubeast 0,2552975 LA Garb 0,2102117
Этот портфель имеет AHPR = 1,128, дисперсию 0,066683 и отношение Шарпа 0,49568. Отметьте, что отношение Шарпа касательного портфеля, для которого сумма весов ограничена 1,00, при отсутствии NIC, в точности равно отношению Шарпа для нашего неограниченного геометрического оптимального портфеля. Вычитая единицу из полученных AHPR, мы получаем арифметическую среднюю прибыль портфеля. Далее заметим: чтобы для ограниченного касательного портфеля получить прибыль, равную прибыли неограниченного геометрического оптимального портфеля, мы должны умножить веса первого на 1,9195.
0,245694/0,128=1,9195
Теперь, если мы умножим каждый из весов ограниченного касательного портфеля, то получим портфель, идентичный неограниченному геометрическому оптимальному портфелю:
Компонент Вес * 1,9195 = Вес Toxico 0,5344908 1,025955 Incubeast 0,2552975 0,4900436 LA Garb 0,2102117 0,4035013
Множитель 1,9195 получен в результате деления прибыли неограниченного геометрического оптимального портфеля на прибьыь ограниченного касательного портфеля. Как правило, нам надо найти неограниченный геометрический оптимальный портфель, зная только ограниченный касательный портфель. Именно здесь и используется оптимальное q. Если мы допускаем, что RFR = 0, то можно
определить оптимальное q по нашему ограниченному касательному портфелю следующим образом:
(7.13) q=(E-RFR)/V=(0,128-0)/0,066683 = 1,919529715
Несколько замечаний по поводу RFR. Когда речь идет о фьючерсных контрактах, следует приравнять RFR к нулю, так как в действительности мы не занимаем и не ссужаем средства для увеличения или уменьшения активов портфеля. С акциями ситуация иная, и RFR следует принимать во внимание.
Вы часто будете использовать AHPR и дисперсию для портфелей на основе дневных HPR компонентов. В таких случаях необходимо применять не годовую, а дневную ставку RFR. Это довольно простая задача. Сначала необходимо убедится, что годовая ставка является эффективной годовой процентной ставкой. Процентные ставки обычно указываются в годовых процентах, но часто они представляют собой номинальную годовую процентную ставку. Если процентная ставка складывается из полугодовых, квартальных, месячных ставок и т.д., то ставка, заработанная за год, будет больше, чем просто годовая ставка (номинальная). Когда процент суммируется, эффективная годовая процентная ставка может быть определена из номинальной процентной ставки. Полученную эффективную годовую процентную ставку мы и будем использовать в расчетах. Для преобразования номинальной ставки в эффективную ставку следует использовать формулу:
где Е = эффективная годовая процентная ставка;
R = номинальная годовая процентная ставка;
М == число периодов сложения за год.
Предположим, номинальная годовая процентная ставка составляет 9%, и доход по ней пересчитывается каждый месяц по формуле сложного процента. Соответствующая эффективная процентная ставка будет равна:
(7.14) Е = (1+0,09/12)^ 12-1 = (1 + 0,0075)^12-1 ==1,0075^12- 1 = 1,093806898 = 0,093806898
Таким образом, наша эффективная годовая процентная ставка будет немногим больше 9,38%. Теперь, чтобы рассчитать HPR на основе рабочих дней, мы должны найти среднее число рабочих дней 365,2425 /7*5= 260,8875. Разделив 0,093806898 на 260,8875, мы получим дневное RFR = 0,0003595683887.
Если мы на самом деле будем привлекать средства, чтобы получить из ограниченного касательного портфеля неограниченный геометрический оптимальный портфель, необходимо ввести значение RFR в отношение Шарпа, уравнение (7.01), и оптимальное q, уравнение (7.13).
Подведем итог. Допустим, RFR для вашего портфеля не равно 0, и необходимо найти геометрический оптимальный портфель, не рассчитывая ограниченный касательный портфель для этого RFR. Можете ли вы перейти прямо к матрице, установить сумму весов на какое-либо произвольно высокое значение, добавить NIC и найти неограниченный геометрический оптимальный портфель, когда RFR больше О? Да, если вычесть RFR из ожидаемых прибылей каждого компонента, но не из NIC (т.е. ожидаемая прибыль для NIC остается нулевой, что соответствует среднему арифметическому HPR= 1,00). Теперь, решив матрицу, мы получим неограниченный геометрический оптимальный портфель, когда RFR больше 0.
Так как эффективная граница для портфелей с неограниченной суммой весов дает один и тот же портфель с различной величиной рычага, линия CML не может пересекаться или касаться эффективной границы портфелей с неограниченной суммой весов, если же сумма весов ограничена (т.е. равна 1) — это возможно.
Мы рассмотрели несколько способов определения геометрического оптимального портфеля. Например, мы можем рассчитать его эмпирически, что было продемонстрировано в книге «Формулы управления портфелем» и повторено в первой главе этой книги. В данной главе мы узнали, как с помощью параметрического метода рассчитать портфель при любом значении безрисковой ставки.
Теперь, когда мы знаем, как определить геометрический оптимальный портфель, рассмотрим его использование в реальной жизни. Геометрический оптимальный портфель даст нам максимально возможный геометрический рост. В следующей главе мы рассмотрим способы использования этого портфеля при заданных рисковых ограничениях.
Глава 8
Управление риском
Мы познакомились с различными методами расчета оптимального портфеля, с геометрией портфелей и взаимосвязью оптимального количества и оптимального веса. Если торговать портфелем базового инструмента на геометрическом оптимальном уровне и при этом реинвестировать прибыли, то отношение ожидаемого дохода к ожидаемому риску будет максимальным. В этой главе мы поговорим о построении геометрических оптимальных портфелей при заданном уровне риска. Речь пойдет о том, что, какими бы инструментами мы ни торговали, можно выбрать область в спектре риска и добиться максимального геометрического роста для этого уровня риска.
Размещение активов
Следует иметь в виду, что оптимальный портфель, полученный с помощью параметрического метода, будет почти таким же, как и портфель, полученный с помощью эмпирического метода (он подробно рассматривался в главе 1).
В этом случае возможны большие проигрыши по портфелю (т.е. значительные колебания баланса), и единственная возможность избежать значительных убытков — «разбавить» портфель, т.е. добавить к геометрическому оптимальному портфелю какой-либо безрисковый актив. Вышеописанную процедуру мы назовем размещением активов (asset allocation). Степень риска и надежность любой инвестиции является функцией не объекта инвестиций самого по себе, а функцией размещения активов.
Даже портфели, состоящие из акций голубых фишек (blue-chip stocks), находящиеся на уровне неограниченного геометрического оптимального портфеля, могут показать значительные проигрыши. Однако этими акциями следует торговать именно на таких уровнях для максимизации отношения потенциального геометрического выигрыша к дисперсии (риску), чтобы обеспечить достижение цели за наименьшее время. С этой точки зрения торговля голубыми фишками является такой же рискованной, как и торговля контрактами на свинину, а торговля свининой не менее консервативна, чем торговля надежными акциями. То же можно сказать о портфеле фьючерсов или облигаций.
Даже портфели, состоящие из акций голубых фишек (blue-chip stocks), находящиеся на уровне неограниченного геометрического оптимального портфеля, могут показать значительные проигрыши. Однако этими акциями следует торговать именно на таких уровнях для максимизации отношения потенциального геометрического выигрыша к дисперсии (риску), чтобы обеспечить достижение цели за наименьшее время. С этой точки зрения торговля голубыми фишками является такой же рискованной, как и торговля контрактами на свинину, а торговля свининой не менее консервативна, чем торговля надежными акциями. То же можно сказать о портфеле фьючерсов или облигаций.
Наша цель заключается в достижении желаемого уровня потенциального геометрического выигрыша, исходя из данной дисперсии (риска), путем комбинирования безрискового актива с торгуемым инструментом, будь то портфель голубых фишек, облигаций или портфель фьючерсных торговых систем.
Когда вы торгуете портфелем с неограниченной суммой весов, используя дробное f, то находитесь на эффективной границе GHPR для портфелей с неограниченной суммой весов, но слева от геометрической оптимальной точки, которая удовлетворяет любому уравнению с (7.06а) по (7.06д). Таким образом, ваш потенциальный выигрыш по отношению к риску меньше, чем в геометрической оптимальной точке. Это один из способов, с помощью которого вы можете комбинировать портфель с безрисковым активом.
Другой способ размещения активов — разделение вашего счета на два подсчета, активный и неактивный. Они не являются двумя реальными отдельными счетами — это условное разделение. Метод работает следующим образом. Определите первоначальное соотношение двух подсчетов. Допустим, вы хотите создать подсчет, который соответствует f/2, т.е. первоначальное соотношение долей составит 0,5/0,5, таким образом, половина баланса вашего счета будет относиться к неактивному подсчету, а половина к активному подсчету. Допустим, вы начинаете со счета 100 000 долларов, причем 50 000 долларов относятся к неактивному счету, а 50 000 долларов к активному счету, и именно баланс активного подсчета следует использовать для определения количества контрактов для торговли. Подсчета являются гипотетической конструкцией, которая создается для того, чтобы более эффективно управлять деньгами, и в этом случае следует использовать полные оптимальные f. Каждый день из общего баланса счета следует вычитать неактивную сумму (которая остается постоянной каждый день), полученное значение будет соответствовать активному балансу, и именно по нему следует рассчитывать количество контрактов для торговли при полном f.
Теперь допустим, что оптимальное f для рыночной системы А соответствует 1 контракту на каждые 2500 долларов на балансе счета. В первый день активный баланс равен 50 000 долларов, и вы можете торговать 20 контрактами. Если бы вы использовали стратегию, основанную на f/2, то в первый день задействовали это же количество контрактов ($2500/0,5), но при общем балансе счета в 100 000 долларов. Поэтому при стратегии, основанной на f/ 2, в этот день следует также торговать 20 контрактами. Когда изменяется баланс, число контрактов, которыми следует торговать, тоже изменяется. Предположим, вы заработали 5000 долларов, увеличив общий баланс счета до 105 000 долларов. При стратегии половинного f вам следует торговать 21 контрактом. Однако при использовании метода разделения баланса вы должны вычесть постоянную неактивную сумму 50 000 долларов из общего баланса 105 000 долларов. В результате вы получите активную часть баланса в 55 000 долларов и уже на основе этого определите количество контрактов при уровне оптимального f (1 контракт на каждые 2500 долларов на счете). Таким образом, при использовании метода разделения счета вам следует торговать 22 контрактами.
Похожая ситуация возникает и при падении баланса вашего счета. Метод разделения счета уменьшает количество контрактов с большей скоростью, чем это делает стратегия половинного f. Допустим, вы потеряли 5000 долларов в первый день торговли и общий баланс счета уменьшился до 95 000 долларов. При стратегии дробного f вам следует торговать 19 контрактами ($95 000/$5000). Однако при использовании метода разделения баланса активный счет будет равен 45 000 долларов, и вам следует торговать 18 контрактами ($45 000/$2500).
Отметьте, что при использовании метода разделения счета доля оптимального f изменяется вместе с балансом. Сначала определяется доля баланса, которая будет задействована в торговле (в нашем примере мы использовали первоначальную долю 0,5). При повышении баланса доля оптимального f повышается, приближаясь в пределе к 1, когда баланс счета стремится к бесконечности. При падении баланса доля f приближается в пределе к 0, а общий баланс счета при этом стремится к неактивной части. Тот факт, что страхование портфеля встроено в метод разделения баланса, является огромным преимуществом, и об этой особенности мы еще поговорим позже. Так как метод разделения счета использует изменяющееся дробное f, мы назовем такой подход стратегией динамического дробного f, в противоположность стратегии статического дробного f.
Стратегия статического дробного f смещает вас по линии CML влево от оптимального портфеля, если вы используете ограниченный портфель, и при любых изменениях баланса счет будет оставаться у этой точки на линии CML. Если вы используете неограниченный портфель (что является лучшим подходом), то будете на эффективной границе для портфелей с неограниченной суммой весов (так как нет линий CML для неограниченных портфелей) слева от оптимального портфеля. Когда баланс счета изменяется, вы остаетесь в той же точке на неограниченной эффективной границе. Если речь идет об использовании динамического дробного f для ограниченного или неограниченного портфеля, вы начинаете у тех же точек, но, когда баланс счета повышается, портфель сдвигается вправо вверх, а когда баланс понижается, портфель сдвигается влево вниз. Правая граница находится у пика кривой, где доля f равна 1, а левая — у точки, где доля f равна 0.
При размещении активов с помощью метода статического f дисперсия не меняется, так как используемая доля оптимального f постоянна, но в случае с динамическим дробным f дисперсия — переменная величина. В этом случае, когда баланс счета увеличивается, увеличивается также и дисперсия, поскольку возрастает используемая доля оптимального f. Верхней границы дисперсия достигает при полном f, когда баланс счета приближается к бесконечности. При падении баланса счета дисперсия быстро уменьшается по мере приближения используемой доли оптимального f к нулю, когда общий баланс счета приближается к балансу неактивного подсчета, и в этом случае нижняя граница дисперсии равна нулю.
Метод динамического дробного f аналогичен методу, основанному на полном оптимальном f, когда первоначальный размер торгового счета равен активной части баланса. Итак, есть два способа размещения активов: с помощью статического дробного и с помощью динамического дробного f. Динамическое дробное f дает динамическую дисперсию, что является недостатком, но такой подход также обеспечивает страхование портфеля (об этом позднее). Хотя эти два метода имеют много общего, они все-таки серьезно отличаются. Какой же из них лучше? Рассмотрим систему, где дневное среднее арифметическое HPR= 1,0265. Стандартное отклонение дневных HPR составляет 0,1211, поэтому среднее геометрическое равно 1,019. Теперь посмотрим на результаты торговли при статических дробных оптимальных 0, If и 0,2f. Для этого используем уравнения с (2.06) по (2.08):
где FRAC = используемая дробная часть оптимального f;
AHPR = среднее арифметическое HPR при оптимальном f;
SD = стандартное отклонение HPR при оптимальном f;
FAHPR = среднее арифметическое HPR при дробном f;
FSD = стандартное отклонение HPR при дробном f;
FGHPR = среднее геометрическое HPR при дробном f. Результаты будут следующими:
Полное f 0,2 f 0,1 f AHPR 1,0265 1,0053 1,00265 SD 0,1211 0,02422 0,01211 GHPR 1,01933 1,005 1,002577
Теперь вспомним уравнение (2.09а) — ожидаемое время для достижения определенной цели:
где N = ожидаемое количество сделок для достижения определенной цели;
Цель = цель в виде множителя первоначального счета, т.е. TWR;
1n() = функция натурального логарифма.
Сравним торговлю при статическом дробном 0,2f при среднем геометрическом 1,005 с торговлей, основанной на стратегии динамического дробного 0,2f (первоначальный активный счет составляет 20% от общего) при дневном среднем геометрическом 1,01933. Время (так как средние геометрические имеют дневные значения, время измеряется в днях), требуемое для удвоения счета при статическом дробном f, можно найти с помощью уравнения (2.09а):