175. Существует только один способ: 55: 5 + 5 = 16.
176. Толщина слоя мякоти равна поперечнику косточки. Значит, поперечник вишни в 3 раза больше поперечника косточки. Отсюда объем вишни больше объема косточки в
3 × 3 × 3 = 27 раз.
И следовательно, объем мякоти больше объема косточки в
27 — 1 = 26 раз.
177. Окружность большой дыни (72 см) превышает окружность меньшей (60 см) в 24/20, т. е. в 11/5 раза. Таково же и отношение ее поперечника к поперечнику меньшей дыни. Значит, по объему первая дыня больше второй в раз.
Если меньшая дыня стоит 25 рублей, то большая должна стоить 25 × 216: 125 = 216: 5 = 43 руб. 20 коп., между тем ее продают всего за 40 руб. Ясно, что ее купить выгоднее, чем меньшую.
178. Затычка искомой формы изображена на рис. 189. Вы можете заткнуть ею и квадратное, и круглое, и крестообразное отверстие.
Рис. 189.
179. Модель весом 1 кг гораздо выше стакана, потому что, как это ни неожиданно, она имеет высоту 11/2 метра! В самом деле, модель меньше самой башни по объему во столько раз, во сколько 1 кг меньше 8 000 000 кг, т. е. в 8 000 000 раз. Значит, высота модели меньше высоты башни в такое число раз, которое, будучи дважды умножено само на себя, составит 8 000 000. Этому условию удовлетворяет число 200. Разделив высоту Эйфелевой башни, 300 м, на 200, получим 11/2 м. Результат довольно странный. Полутораметровое железное изделие весит всего 1 кг. Это объясняется тем, что Эйфелева башня, при своих больших размерах, сооружение необыкновенно легкое, как говорят, ажурное.
180. Загадка объясняется тем, что один конец ленты, прежде чем приклеить его к другому, один раз повернули. Легко убедиться на опыте, что тогда получается кольцо, ползая по которому, муха может обойти обе его стороны, ни разу не переступая через края.
Рис. 190.
Еще десять задач
181. Кто больше?
Двое человек считали в течение часа всех прохожих, которые проходили мимо них по тротуару. Один из считавших стоял у ворот дома, другой — прохаживался вперед и назад по тротуару.
Кто насчитал больше прохожих?
182. Возраст моего сына
Сейчас мой сын моложе меня втрое. Но пять лет назад он был моложе меня в четыре раза. Сколько ему лет?
183. Состязание
Две парусные лодки участвуют в состязании: требуется преодолеть 24 версты туда и обратно в кратчайшее время. Первая лодка прошла весь путь с равномерной скоростью 20 верст в час; вторая двигалась туда со скоростью 16 верст в час, а обратно — со скоростью 24 версты в час.
Победила на состязании первая лодка, хотя, казалось бы, вторая лодка должна была при движении в одном направлении отстать от первой ровно на столько, на сколько она опередила ее на обратном пути и, следовательно, прийти одновременно с первой. Почему же она проиграла?
184. По реке и по озеру
Плывя вниз по реке, гребец преодолевает 5-верстное расстояние за 10 мин. Возвращаясь, он проплывает то же расстояние за один час. Следовательно, 10 верст он проплывает за 1 ч 10 мин.
А сколько времени ему понадобится, чтобы проплыть 10 верст в стоячей воде озера?
185. От Энска до Иксграда
Плывя по течению, пароход делает 20 верст в час; плывя против течения — всего 15 верст в час. На путь от пристани г. Энска до пристани г. Иксграда он затрачивает на 5 часов меньше, чем на обратный путь.
Как далеко от Энска до Иксграда?
186. Всмятку и вкрутую
Хозяйка сварила 5 яиц: два вкрутую и три всмятку. Но она забыла отметить, какие именно яйца сварены вкрутую и какие всмятку, и подала их к столу на одном блюде.
Вы наудачу берете с блюда два яйца. Стоит ли биться о заклад, ставя один рубль против пяти, что вам попадутся оба крутых яйца?
187. Игральная кость
Вот игральная кость (рис. 191): кубик с обозначенными на его гранях очками от 1 до 6. Петр бьется о заклад, что если бросить кубик 4 раза подряд, он упадет единицей кверху только один раз.
Владимир же утверждает, что единица при четырех бросках либо совсем не выпадет, либо же выпадет больше одного раза.
У кого из них больше шансов выиграть спор?
Рис. 191.
188. Семеро друзей
У одного человека было 7 друзей. Первый посещал его каждый вечер, второй — каждый второй вечер, третий — каждый третий вечер, четвертый — каждый четвертый вечер и т. д. до седьмого друга, который являлся каждый седьмой вечер.
Часто ли случалось, что этого человека в один и тот же вечер навещали все семеро друзей?
189. Продолжение предыдущей
В те вечера, когда друзья собирались все вместе, хозяин угощал их вином, и приятели чокались друг с другом попарно. Сколько раз при этом звучали бокалы, сталкиваясь между собой?
Рис. 192.
190. Основание Карфагена
Об основании древнего города Карфагена существует следующее предание. Дидона, дочь тирского царя, потеряв мужа, убитого ее братом, бежала в Африку и высадилась со многими жителями Тира на ее северном берегу. Здесь она купила у нумидийского царя столько земли, «сколько занимает воловья шкура». Когда сделка состоялась, Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие ремешки и окружила ими участок земли. Благодаря такой уловке она получила участок, достаточный для сооружения крепости. Так, гласит предание, возникла крепость Карфаген, вокруг которой впоследствии был построен город.
Попробуйте вычислить, какую площадь могла занимать крепость, если считать, что воловья шкура имеет поверхность 4 м2, и принять ширину ремешков, на которые Дидона ее изрезала, равной одному миллиметру.
Решения задач 181-190
181. Оба насчитали одинаковое число прохожих. Действительно, тот, кто стоял у ворот, считал следовавших в обе стороны, зато тому, кто ходил, навстречу попалось вдвое больше людей.
182. Если сын теперь втрое моложе отца, то отец старше его на удвоенный возраст. Но и пять лет назад он был, конечно, старше сына на утроенный нынешний возраст сына. С другой стороны, так как тогда отец был старше сына в 4 раза, то он был старше его на утроенный тогдашний возраст сына. Следовательно, удвоенный нынешний возраст сына равен его утроенному прежнему возрасту или, что то же самое, сын теперь в 11/2 раза старше, чем был 5 лет назад. Отсюда легко сообразить, что 5 лет — это половина прежнего возраста сына и, значит, пять лет назад ему было 10 лет, а теперь — 15.
Итак, сыну теперь 15 лет, отцу 45. Пять лет назад отцу было 40 лет, а сыну 10, т. е. вчетверо меньше.
183. Вторая лодка опоздала потому, что двигалась со скоростью 24 версты в час меньше времени, чем со скоростью 16 верст в час. Действительно, со скоростью 24 версты в час она двигалась 24: 24 = 1 час, а со скоростью 16 верст в час 24: 16 = 11/2 часа. Поэтому на пути туда лодка потеряла времени больше, чем выгадала на обратном.
184. По течению гребец плывет со скоростью полверсты в минуту, против течения — со скоростью 1/12 версты в минуту. В первую скорость включена скорость самого течения, у второй она вычтена. Следовательно,
т. е.
версты в час
— это собственная скорость гребца.
И значит, в стоячей воде гребец преодолеет 10 верст за минуты.
Обычный ответ: в озере гребец проплывет 10 верст за то же время, что и в реке, так как потеря скорости будто бы восполняется выигрышем ее — совершенно не верен (см. предыдущую задачу).
185. Плывя по течению, пароход делает 1 версту в 3 минуты; плывя против течения — 1 версту в 4 мин. На каждой версте пароход в первом случае выгадывает 1 мин. А так как на всем расстоянии он выгадывает во времени 5 ч, или 300 мин, то, следовательно, от Энска до Иксграда 300 верст. Действительно,
300:15–300:20 = 20–15 = 5.
186. Для удобства перенумеруем яйца:
крутое № 1. К1
крутое № 2. К2
всмятку № 1. С1
всмятку № 2. С2
всмятку № 3. С3
Из этих яиц можно составить следующие 10 пар:
К1К2 К2С1 С1С2
К1С1 К2С2 С1СЗ
К1С2 К2С3 С2СЗ
К1С3
Мы видим, что только одна пара — первая — состоит из крутых яиц, остальные 9 не дают требуемого сочетания.
Значит, у вас только 1 шанс из 10 взять пару крутых яиц; в остальных 9 случаях из 10 вы проигрываете. И если вы ставите 1 руб., то ваш партнер, имеющий 9 шансов из 10 выиграть, должен для уравнения шансов поставить не 5, а 9 рублей.
Значит, у вас только 1 шанс из 10 взять пару крутых яиц; в остальных 9 случаях из 10 вы проигрываете. И если вы ставите 1 руб., то ваш партнер, имеющий 9 шансов из 10 выиграть, должен для уравнения шансов поставить не 5, а 9 рублей.
187. При четырех бросаниях число всевозможных положений игральной кости равно 6 × 6 × 6 × 6 = 1296. Допустим, что при первом бросании выпало единичное очко. Тогда при трех следующих бросаниях число всевозможных положений кубика, благоприятных для Петра (т. е. число выпаданий любых очков, кроме единичного), равнялось 5 × 5 × 5 = 125. Для Петра также возможно 125 благоприятных расположений, если единичное очко выпадает только при втором, только при третьем или только при четвертом бросании. Итак, существует 125 + 125 + 125 + 125 = 500 различных возможностей того, что единичное очко при четырех бросаниях появится один и только один раз. Неблагоприятных же возможностей имеется 1296 — 500 = 796 (так как таковыми являются все остальные случаи).
Мы видим, что у Владимира шансов выиграть больше (796 против 500), чем у Петра.
188. Нетрудно сообразить, что все семь друзей могли одновременно встречаться у хозяина через такое число дней, которое делится и на 2, и на 3, и на 4, и на 5, и на 6, и на 7. Наименьшее из таких чисел есть 420. Следовательно, друзья собирались вместе только один раз в 420 дней (14 месяцев).
189. Каждый из восьми присутствующих (хозяин и 7 его друзей) чокается с 7-ю остальными; всего сочетаний по два имеется 8 × 7 = 56. Но каждая пара учитывалась дважды (например, пары 3-й гость с 5-м и 5-й с 3-м рассматривались как разные). Следовательно, бокалы звучали 56: 2 = 28 раз.
190. Если площадь воловьей шкуры 4 м2 или 4 000 000 мм2, а ширина ремня 1 мм, то общая длина вырезанного ремня (если Дидона вырезала его из шкуры по спирали) — 4 000 000 мм, т. е. 4000 м, или 4 км. Таким ремнем можно окружить квадратный участок площадью 1 км2.
Обманы зрения
191. Две дуги
На рис. 193 изображены две дуги с короткими штрихами. Которая дуга сильнее изогнута: верхняя или нижняя?
Рис. 193. Что кривее?
192. Три полоски
Какая из трех бумажных полосок, изображенных на рис. 194, самая длинная?
Рис. 194. Что длиннее?
193. Два корабля
Перед вами (рис. 195) два корабля: пароход и парусник. У кого из них палуба длиннее?
Рис. 195. Равны ли палубы?
194. Где середина?
Школьника спросили, где находится середина высоты начерченного здесь треугольника (рис. 196). Он указал место, обозначенное на фигуре черточкой. Поправьте мальчика, определив середину на глаз, а затем проверьте его и себя, линейкой.
Рис. 196. Где середина?
195. Два прямоугольника
Школьник начертил два прямоугольника, пересеченные прямой линией, и утверждал, что эти прямоугольники равны (рис. 197). Почему он думал, что они равны?
Рис. 197. Одинаковы ли эти прямоугольники?
196. Шляпа иностранца
Я показывал своим знакомым картинку, представленную здесь на рис. 198, и они утверждали, что прямоугольник, описанный около шляпы иностранца, имеет форму квадрата. В чем их ошибка?
Рис. 198. Квадрат ли здесь?
197. Продолжить линию
Если продолжить прямую линию аb (рис. 199), то куда она упрется: выше точки с или ниже?
Рис. 199. Куда упрется линия?
198. Что длиннее?
Какая из линий ab, cd и ef (рис. 200) самая длинная?
Рис. 200. Сравните аb, сd и ef.
199. Поместится ли?
Поместится ли в промежутке между АВ и CD (рис. 201) изображенный здесь кружок?
Рис. 201. Поместится ли кружок между АВ и CD?
200. Два кружка
На рис. 202. вы видите два заштрихованных кружка, которые кажутся одинаковых размеров. Однако вы натренировали свой глазомер предыдущими упражнениями и, конечно, не попадете впросак.
Вам нетрудно будет ответить на вопрос: какой кружок больше?
Рис. 202.. Какой кружок больше?
Ответы на задачи 191-200
191. Обе дуги одинаковы.
192. Все полоски одинаковой длины.
193. Палубы у обоих кораблей имеют одинаковую длину.
194. Середина указана правильно.
195. Потому что они действительно равны.
196. Ошибки нет: фигура вокруг шляпы квадрат.
197. Прямая упрется в точку С.
198. Все три линии одинаковой длины.
199. Нет, не поместится.
200. Это тоже задача-ловушка. Кружки равны.
Примечания
1
Данные относятся к 1924 г. — Прим. ред.
2
Данные относятся к 1924 г. — Прим. ред.
3
В издании Я. И. Перельман ВЕСЕЛЫЕ ЗАДАЧИ, Астрель, М 2003, другая иллюстрация — прим. верст.
4
сантиметровой — прим. верст.
5
Козьмы Пруткова.
6
Точнее, не перегнать, а отстать, т. е. двигаться по поверхности Земли в сторону, обратную ее движению, так быстро, чтобы увеличить для себя продолжительность суток.
7
Человек может перегнать Землю и пешком — в 50 км от полюса.
8
Отсюда ясно, между прочим, что часто встречающееся в учебниках определение поверхности как «границы тела» несостоятельно; поверхность Мебиуса никакого тела ограничивать не может, а между тем это — поверхность..
9
Рис. 99 — прим. верстальшика
10
93 — прим. верст.
11
Водоизмещение корабля равно наибольшему грузу, который он может поднять (включая и вес самого судна). Тонна — около 60 пудов (1 пуд =16 кг. — Прим. ред.).
12
Я не сообщил этой цифры в условии задачи потому, что сама величина потери — 8-я, 10-я или 20-я часть — для решения задачи не имеет значения.
13
Для удобства их лучше наклеить на четыре стороны квадратного бруска.
14
Столько горошин помещается в кубическом сантиметре при рыхлой упаковке; при более же плотной укладке, когда часть горошины располагается в промежутке между соседними, горошин помещается больше.
15
Впрочем, полвека тому назад один английский учитель чистописания выполнил такую работу: он аккуратно расставил в толстой тетради миллион точек, по тысяче в каждой странице.
16
Эта задача заимствована из старинного русского учебника математики Ефима Войтяховского, изданного в конце XVIII века.