Рис. 2.6. Трудно представить себе, что пространство может быть конечным. Если оно где-то заканчивается, то что находится дальше, за его краем?
Однако в середине XIX века математики Карл Фридрих Гаусс, Янош Бойяи и Николай Лобачевский независимо друг от друга открыли, что существуют и другие логические возможности для однородного трехмерного пространства. Бойяи в восторге писал отцу: «Из ничего я создал странный новый мир». Новые пространства подчиняются новым правилам: так, они более не обязаны быть бесконечными, каковым представлялось пространство Евклиду, а углы треугольника не обязательно дают в сумме 180°. Представьте себе треугольники на двумерных поверхностях трехмерных фигур. Сумма трех их углов больше 180° на сфере (рис. 2.7, слева), 180° на цилиндре (в середине) и меньше 180° на гиперболоиде (справа). Более того, двумерная поверхность сферы конечна, хотя на ней нет ничего похожего на край.
Этот пример показывает, что правила евклидовой геометрии могут нарушаться на поверхности, если она не плоская. Однако идеи Гаусса и других математиков были еще радикальнее: пространство может быть искривленным само по себе, даже если оно не является поверхностью чего-либо! Предположим, вы – слепой муравей, желающий знать, по какой из фигур на рис. 2.7 вы ползаете. Вы чувствуете себя так, будто живете в двумерном пространстве, поскольку не можете выйти в третье измерение (оторваться от поверхности), но это не препятствует вашей детективной работе: вы по-прежнему можете определить прямую линию (как кратчайший путь между двумя точками), а значит, и суммировать величины трех углов треугольника. Например, если вы получите 270°, то воскликнете: «Это больше 180°, значит, я на сфере!» Чтобы еще больше впечатлить друзей-муравьев, вы даже можете рассчитать, как далеко нужно пройти по прямой, чтобы вернуться в исходную точку. Иными словами, все обычные для геометрии объекты – точки, прямые, углы, кривые и т. д. – можно строго определить, оставаясь в двумерном пространстве безо всяких ссылок на третье измерение. Это означает, что математики могут строго определить кривизну двумерной поверхности, даже если третьего измерения не существует: двумерное пространство может быть искривленным само по себе, не являясь поверхностью чего-либо.
Рис. 2.7. Если нарисовать треугольники на этих поверхностях, сумма их углов окажется больше 180° (слева), 180° (посередине) и меньше 180° (справа). Эйнштейн считал, что в нашем трехмерном физическом пространстве для треугольников возможны все эти варианты.
Вероятно, математическое открытие неевклидовых пространств полтора столетия назад казалось большинству людей не более чем абстракцией, не имеющей практического отношения к нашему физическому миру. Затем Эйнштейн выдвинул общую теорию относительности, которая, по сути, утверждала, что мы – муравьи. Теория Эйнштейна позволяет нашему трехмерному пространству быть искривленным без всякого скрытого четвертого измерения, в котором оно искривлялось бы. Так что на вопрос, в пространстве какого типа мы живем, нельзя ответить, исходя из одной логики, как надеялись сторонники Евклида. Решить эту задачу можно, лишь выполнив измерения, например построив в космосе огромный треугольник (скажем, из лучей света) и проверив, равна ли сумма его углов 180°. В гл. 4 я расскажу, как мы с коллегами развлекались, проделывая это. Ответ оказался близок к 180° для треугольников размером с Вселенную, но значительно превосходящим 180°, если большую часть треугольника занимает нейтронная звезда или черная дыра. Так что форма нашего физического пространства сложнее, чем в трех примерах на рис. 2.7.
Вернемся к детскому вопросу о конечности пространства. Мы видим, что теория Эйнштейна позволяет пространству быть конечным далеко не таким глупым способом, как на рис. 2.6: оно может быть конечным за счет искривленности. Например, если наше трехмерное пространство искривлено подобно поверхности четырехмерной гиперсферы, то, будь у нас возможность достаточно далеко уйти по прямой линии, мы в конце концов вернулись бы домой с противоположной стороны. Мы не упали бы с края трехмерного пространства, поскольку у него нет края, как нет края и у сферы, по которой ползет муравей (рис. 2.7).
В действительности, Эйнштейн позволяет нашему трехмерному пространству быть конечным, даже если оно не искривлено. Цилиндр на рис. 2.7 в математическом смысле плоский: если нарисовать треугольник на бумажном цилиндре, сумма его углов составит 180°. Чтобы убедиться в этом, вырежьте из цилиндра треугольник: он ровно ляжет на стол. Со сферой или гиперболоидом это не получится сделать без складок или разрывов бумаги. Но хотя цилиндр на рис. 2.7 кажется плоским для муравья, ползущего по небольшому участку, цилиндр замкнут на себя: муравей может вернуться домой, обойдя его вокруг по прямой линии. Математики называют подобные характеристики связности пространства его топологией. Они дали определение плоскому пространству, замкнутому на себя по всем измерениям, и назвали такое пространство тором. Двумерный тор имеет такую же топологию поверхности, как у баранки. Эйнштейн допускает, что физическое пространство, в котором мы живем, представляет собой трехмерный тор и является в таком случае плоским и конечным. Или бесконечным.
Обе эти возможности прекрасно согласуются с лучшей имеющейся у нас теорией о пространстве – общей теорией относительности Эйнштейна. Но какое оно? В гл. 4 и 5 мы найдем свидетельство того, что пространство все-таки бесконечно. Но поиск ответа на детский вопрос приводит нас к другой проблеме: чем в действительности является пространство? Хотя все мы сначала думаем о пространстве как о чем-то физическом, образующем ткань нашего материального мира, теперь мы видим, что математики говорят о пространствах как о математических сущностях. Для них изучение пространства – то же самое, что изучение геометрии, а геометрия – просто часть математики. Вполне можно считать, что пространство – это математический объект в том смысле, что все внутренне присущие ему свойства – такие как размерность, кривизна и топология – математические. Мы рассмотрим этот аргумент в гл. 10.
В этой главе мы, изучив свое положение в пространстве, обнаружили, что Вселенная гораздо больше, чем казалось нашим предкам. Чтобы по-настоящему понять, что происходит на огромных расстояниях, можно вести наблюдения с помощью телескопов. Однако определить свое место в пространстве недостаточно. Нам необходимо знать и свое место во времени.
Резюме
• Раз за разом люди убеждались, что физическая реальность гораздо больше, чем мы представляли, что известный нам мир входит в состав куда более грандиозных структур: нашей планеты, Солнечной системы, Галактики, сверхскопления галактик и т. д.
• Общая теория относительности (ОТО) Эйнштейна допускает, что пространство может тянуться бесконечно.
• ОТО допускает альтернативные варианты: пространство конечно, но не имеет границы, так что если вы будете двигаться достаточно долго и быстро, то сможете вернуться с противоположной стороны.
• Ткань нашего физического мира, пространство само по себе может быть чисто математическим объектом в том смысле, что все имманентно присущие ему свойства (размерность, кривизна и топология) – математические.
Глава 3. Наше место во времени
Откуда взялась Солнечная система? Однажды в школе, во втором классе, мой сын Филипп вступил в полемику по этому вопросу. Разговор был примерно таким:
– Я думаю, Солнечную систему создал Бог, – сказала одноклассница.
– Мой папа говорит, что она возникла из гигантского молекулярного облака, – перебил Филипп.
– А откуда взялось гигантское молекулярное облако? – спросил другой мальчик.
– Может быть, Бог создал гигантское молекулярное облако, а после гигантское молекулярное облако породило Солнечную систему, – сказала девочка.
Бьюсь об заклад: с тех пор, как на Земле появились люди, они вглядываются в ночное небо и удивляются, откуда все взялось. Как и в прошлом, есть вещи, которые мы знаем, и вещи, которых мы не знаем. Нам многое известно о том, что существует здесь и сейчас, а также мы довольно много знаем о событиях, близко отстоящих в пространстве и времени – скажем, что находится у нас за спиной или что мы ели на завтрак. Двигаясь вдаль и в прошлое, мы в конце концов сталкиваемся с пределами своего знания. В предыдущей главе мы видели, как человеческая изобретательность постепенно отодвигала этот предел все дальше в пространстве. Теперь рассмотрим, как люди отодвигали эту границу во времени.
Почему Луна не падает на Землю? Ответ на этот вопрос станет для нас отправной точкой.
Как появилась Солнечная система?
Всего четыре столетия назад поиски ответа на этот вопрос казались безнадежными. Было открыто местоположение важнейших объектов, видимых невооруженным глазом: Солнца, Луны, Меркурия, Венеры, Марса, Сатурна и Юпитера. Работа Николая Коперника, Тихо Браге, Иоганна Кеплера и других астрономов также позволила разобраться в движении этих объектов. Оказалось, что Солнечная система напоминает отлаженный часовой механизм. Не было признаков того, что он в некоторый момент был запущен и однажды остановится. Но действительно ли он вечный? Если нет, откуда он появился? Насчет этого люди оставались в неведении.
В искусственных часовых механизмах, создававшихся в то время на продажу, законы, управляющие движением зубчатых колес, пружин и других деталей, были вполне ясны и позволяли рассчитать их поведение в будущем и в прошлом. Можно было предсказать, что часы продолжат тикать с постоянной частотой, а также что они в конце концов остановятся из-за трения, если их не завести. Осмотрев их, можно было, скажем, узнать, что их заводили в прошлом месяце. Существуют ли аналогичные точные законы, описывающие и объясняющие движение небесных тел, со своими подобными трению эффектами, которые постепенно изменяют Солнечную систему и могут указать, когда и как она образовалась?
Казалось, что ответ на этот вопрос – твердое «нет». Здесь, на Земле, мы добились прочного понимания того, как движутся в пространстве предметы – от брошенного камня до валуна, запущенного катапультой, или пушечного ядра. Однако законы, управляющие небесными телами, казались отличными от законов, управляющих объектами здесь, на Земле. Если Луна подобна гигантскому камню, то почему она не падает, как обычные камни? Классический ответ состоял в том, что Луна – это небесное тело, а небесные тела подчиняются иным законам. Скажем, она не подвержена земному притяжению и поэтому не падает. Некоторые шли дальше и предлагали следующее объяснение: небесные объекты ведут себя так, потому что они идеальны. Они имеют идеальную сферическую форму, поскольку именно сфера – идеальная фигура. Они движутся по круговым орбитам, поскольку окружность тоже идеальна. А падение стало бы столь неидеальным событием, насколько это вообще возможно. На Земле несовершенство повсеместно: трение замедляет движение, огонь сжигает, люди – смертны. В небесах, напротив, движение кажется не подверженным трению, Солнце не прогорает, и вообще нет никаких признаков конца.
Но эта безупречная репутация небес не выдержала испытания. Анализируя измерения Тихо Браге, Иоганн Кеплер установил, что планеты движутся не по окружностям, а по эллипсам, которые представляют собой вытянутые, а значит, не столь совершенные модификации окружностей. В свои телескопы Галилей увидел, что совершенство Солнца нарушается безобразными черными пятнами, а Луна – это не гладкая сфера, она покрыта горами и гигантскими кратерами. Почему же она не падает?
В конце концов на этот вопрос ответил Исаак Ньютон. Он выдвинул гипотезу насколько простую, настолько и радикальную: небесные тела подчиняются тем же законам, что и объекты на Земле. Да, конечно, Луна не падает, как брошенный камень, – но что если обычный камень тоже можно бросить так, чтобы он не падал? Ньютон знал, что камни падают наземь, а не улетают вверх, к Солнцу, и связал это с большей удаленностью Солнца и с тем, что гравитационное притяжение объекта ослабевает с расстоянием. Так можно ли метнуть камень вверх так, чтобы он ускользнул от земного притяжения прежде, чем тому хватит времени, чтобы поменять направление его движения на обратное? Сам Ньютон не мог этого сделать, но он понял, что гипотетическая суперпушка справилась бы с этим, придав камню достаточную скорость. Это значит, что судьба запущенного по горизонтали ядра зависит от его скорости (рис. 3.1): оно врежется в землю, только если его скорость меньше некоей магической величины. Если стрелять ядрами, придавая им все большую скорость, они, прежде чем упасть, будут пролетать все дальше, пока не достигнут скорости, при которой они будут сохранять высоту над Землей постоянной, не падая, а обращаясь вокруг Земли по окружности, – как Луна! Зная силу притяжения у земной поверхности из экспериментов с падающими камнями, яблоками и т. д., Ньютон смог вычислить магическую скорость: она составила колоссальные 7,9 км/с. Предположив, что Луна подчиняется тем же законам, что и пушечное ядро, ученый рассчитал скорость, необходимую ей, чтобы удерживаться на круговой орбите. Единственное, чего не хватало Ньютону – правила, позволяющего понять, насколько слабее земное притяжение в окрестностях Луны. Более того, поскольку Луна затрачивает один месяц на прохождение окружности, длину который вычислил Аристарх, Ньютон уже знал ее скорость: около 1 км/с, как у пули из автомата M16. И тут он сделал замечательное открытие: если предположить, что сила гравитации ослабевает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли, то скорость, которая позволяет Луне двигаться по круговой орбите, точно совпадает с ее измеренной скоростью! Ньютон открыл закон гравитации и обнаружил, что он универсален, то есть применим не только здесь, на Земле, но и в небесах.
Рис. 3.1. Пушечное ядро (г), выпущенное со скоростью более 11,2 км/с, улетает от Земли и никогда не возвращается (если пренебречь сопротивлением воздуха). При чуть меньшей скорости (в) оно выходит на эллиптическую орбиту вокруг Земли. Если выстрелить горизонтально со скоростью 7,9 км/с (б), орбита ядра будет идеальной окружностью, а если стрелять с меньшей скоростью (а), оно в конце концов упадет на Землю.
Внезапно все элементы головоломки встали на свои места. Ньютон, применяя закон тяготения вкупе с математическими законами движения, которые он сформулировал ранее, смог объяснить движение не только Луны, но и планет вокруг Солнца. Он даже сумел математически доказать, что в общем случае орбиты являются эллипсами, а не окружностями. Кеплер считал это обстоятельство необъяснимым.
Как и большинство великих прорывов в физике, законы Ньютона дали ответ на гораздо большее число вопросов, чем те, которые привели к их открытию. Например, они объяснили приливы: гравитационное притяжение Луны и Солнца сильнее действует на морские воды, которые ближе к ним, заставляя воду плескаться по мере вращения Земли. Законы Ньютона также показывают, что общее количество энергии сохраняется, так что если где-нибудь появилась энергия, она не могла появиться из ниоткуда, а должна была поступить откуда-нибудь. Приливы растрачивают массу энергии (часть ее можно собрать с помощью приливных электростанций), но откуда берется вся эта энергия? Большей частью из вращения Земли, которое замедляется трением: если вы иногда чувствуете, что вам не хватает времени в сутках, просто подождите 200 млн лет, и тогда день удлинится до 25 часов!
Следовательно, трение воздействует даже на движение планет, и это отменяет идею вечности Солнечной системы. В прошлом Земля должна была вращаться быстрее, и можно рассчитать, что система Земля – Луна не старше 4–5 млрд лет: в противном случае Земля должна была бы в прошлом вращаться настолько быстро, что центробежные силы разорвали бы ее на части. Вот, наконец, и первый намек на происхождение Солнечной системы: у нас есть оценка времени совершения преступления!
Ньютоновский прорыв подтолкнул человеческий ум к покорению космоса: он показал, что мы можем сначала открывать физические законы, производя эксперименты здесь, на Земле, а затем экстраполировать эти законы для объяснения того, что происходит в небесах. Хотя Ньютон сначала применил этот подход только к движению и гравитации, идея распространялась со скоростью степного пожара, и со временем ее стали применять к свету, газам, жидкостям, твердым телам, электричеству и магнетизму. Люди экстраполировали свои открытия не только на макромир, на космос, но и на микромир, обнаруживая, что многие свойства газов и других веществ можно объяснить, применяя к атомам, из которых те состоят, ньютоновские законы движения. Научная революция началась. Она приблизила и Промышленную революцию, и информационную эру. Прогресс, в свою очередь, позволил построить мощные компьютеры, которые помогают науке развиваться, решая физические уравнения и находя ответы на многие интересные вопросы, прежде ставившие нас в тупик.
Законы физики можно применять по-разному. Часто мы хотим применять имеющиеся знания для предсказания будущего, как при прогнозировании погоды. Однако уравнения точно так же можно решать и в обратную сторону, применяя современные знания, чтобы пролить свет на прошлое, как при реконструкции затмения, которое Колумб наблюдал на Ямайке. Третий способ состоит в том, чтобы вообразить гипотетическую ситуацию и применить физические уравнения для расчета того, как она будет изменяться с течением времени, – так, например, при моделировании запуска ракеты к Марсу определяется, достигнет ли она намеченной цели. Этот третий подход дал новые ключи к загадке происхождения Солнечной системы.