Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин 20 стр.

Встречается число π и в бесконечных суммах: как впервые наглядно показал Леонард Эйлер, сложение квадратов обратных величин положительных целых значений дает нам

А если мы повторно возведем в квадрат каждое из значений выше, сумма обратных величин четвертой степени окажется равной

Формулу эту можно обобщить, распространив на любой ряд обратных величин всех четных степеней основания числа 2k. В ответе будет фигурировать π2k, умноженное на рациональное число.

А что насчет нечетных обратных величин? В главе 12 мы увидим, что сумма обратных величин положительных значений бесконечна. При любой нечетной степени больше 1 получим что-то наподобие этого:

(это пример для кубов). Сумма здесь будет, по идее, конечной, вот только простой формулы для ее точного вычисления пока никто не нашел.

Невероятно, но факт: π всплывает даже в задачах, связанных с вероятностью. Например, если вы выберете два случайных больших числа, вероятность того, что у них не будет ни одного общего простого множителя, составит чуть больше 60 %. Это приблизительно. А если точно, то 6/π² = 0,6079…. И то, что этот результат является обратной величиной для одной из посчитанных нами чуть выше бесконечных сумм – вовсе не совпадение.

Из чего состоит π?

К тому, что число π немного превышает 3, вы вполне можете прийти самостоятельно – для этого достаточно просто аккуратно все подсчитать. Но сначала нужно найти ответы на парочку вопросов. Во-первых, можно ли доказать соседство π и 3, не проводя специальных измерений? Во-вторых, существует ли для π какое-нибудь более удобоваримое представление (скажем, формула или простая дробь)?

На первый вопрос можно ответить, нарисовав окружность с радиусом 1, площадь который, как нам уже известно, равна π1² = π. На рисунке чуть ниже этот круг вписан в квадрат с длиной сторон, равной 2. Так как площадь квадрата очевидно больше площади круга, получаем, что π должно быть меньше 4.

С другой стороны, в круг можно вписать шестиугольник – так, чтобы все шесть его вершин были расположены на окружности, причем на равном расстоянии друг от друга. Каким будет периметр этого шестиугольника? Разобьем его на шесть треугольников, величина центрального угла каждого из которых составит 360°/6 = 60°, а две стороны будут радиусами круга с длиной, равной 1 (что говорит о том, что все эти треугольники – равнобедренные). Согласно теореме о равнобедренных треугольниках, оставшиеся два угла должны быть равны между собой, то есть величина каждого составит 120°/2 = 60° – так мы узнаем, что треугольники не просто равнобедренные, но еще и равносторонние – с длиной сторон 1. Значит, площадь шестиугольника равна 6. А так как она должна быть меньше длины окружности в 2π (потому что круг очевидно больше шестиугольника), получаем 6 < 2π и π > 3. Так мы и приходим к желаемому

Можно на этом не останавливаться и попытаться еще сильнее сократить возможный разброс – для этого нам понадобятся полигоны с бóльшим количеством сторон. Так, если мы окружим единичный круг не квадратом, а шестиугольником, у нас получится доказать, что π < 2√3 = 3,46….

Еще раз: шестиугольник можно разделить на 6 равносторонних треугольников, каждый из них в свою очередь разбивается на 2 прямоугольных. Если длина меньшего катета равна x, длина гипотенузы составит 2x. По теореме Пифагора x² + 1 = (2x)². Поиски x приводят нас к x = 1/√3. Значит, периметр шестиугольника составит 12/√3 = 4√3, а так как он должен быть больше длины окружности (2π), то π должно быть меньше 2√3 (смотрите-ка, мы пришли к тому же заключению, что и при сравнении площади окружности с площадью шестиугольника).

Следуя той же логике чередования «вписанных» и «описывающих» полигонов, состоящих последовательно из 12, 24, 48 и 96 сторон, один из величайших древнегреческих математиков Архимед сумел доказать, что 3,14103 < π < 3,14271, что сводится к немногим более простой формуле

Есть несколько простых дробей, которые более-менее соотносятся со значением π. Например,

Лично мне больше всего нравится последняя. И не только потому, что она совпадает с π в 6 из всего множества знаков после запятой, но и потому, что использует первые три нечетных числа (причем по два раза и по порядку!): две единицы, две тройки и две пятерки.

Не знаю, как у вас, но у меня руки прямо-таки чешутся найти такую простую дробь, которая полностью бы соответствовала π, – с целыми величинами в роли как числителя, так и знаменателя (чтобы не было соблазна сжульничать и написать что-нибудь вроде Но в 1768 году немец Иоганн Генрих Ламберт доказал, что любые подобные поиски заранее обречены на провал, потому что число π есть величина иррациональная.

Может быть, тогда можно представить его в виде квадратов или кубов простых чисел? Ведь есть же, например, √10 = 3,162…, что очень близко к желаемому результату. Однако в 1882 году другой немецкий математик, Фердинанд фон Линдеман, доказал, что π есть величина не просто иррациональная, но трансцендентная – такая, которая не является корнем ни одного многочлена с целым коэффициентом (число √2, например, будет иррациональным, но не трансцендентным, потому что представляет собой корень многочлена x² – 2).

Впрочем, представить π в простом дробном виде все же можно. Правда, это будет не одна дробь, а сумма или произведение нескольких – вплоть до бесконечности. В главе 12, например, мы увидим, что

Формула эта настолько прекрасна, даже обворожительна, что даже не хочется верить, что π с ее помощью вычислять придется очень и очень долго: после трехсотого элемента мы будем настолько же далеко от заветного 3,14…, насколько далеко от него банальное 22/7.

А вот еще одна недурная попытка, называемая формулой Уоллиса, – представление π в виде бесконечного (то есть считать придется все равно очень долго, пусть и не настолько, насколько в случае с суммой) произведения:

Запомним π (а заодно и τ) во славу его!

Число π продолжает будоражить самые светлые умы и по сей день. С его помощью даже испытывают суперкомпьютеры на быстродействие и точность вычислений – можете себе представить, насколько оно просчитано «в глубину» – на триллионы цифр после запятой. Практического толку от такой точности, конечно, чуть: даже 40 знаков π достаточно, чтобы просчитать размеры пределов наблюдаемой Вселенной с точностью до радиуса одного атома водорода!

Число π – уже почти религия. У ее последователей даже праздник свой есть, он так и называется – День числа π – и празднуется 14 марта (3-й месяц, 14-й день) – в день рождения Альберта Эйнштейна. В честь праздника энтузиасты пекут пироги на математическую тему, надевают маски автора теории относительности и участвуют в конкурсах по воспроизведении наизусть как можно большего количества знаков после тройки и запятой. Рядовой участник такого конкурса помнит, как правило, от нескольких их десятков до нескольких сотен. Рекорд же принадлежит китайскому студенту Чао Лю, добравшемуся в 2005 году до 67 891 цифры! В Книге рекордов Гиннесса говорится, что на одно лишь оглашение числа у него ушло больше 24 часов, на запоминание – около четырех лет.

Вот первые 100 цифр π:

π = 3,141592653589793238462643383279502884197169399375

105820974944592307816406286208998628034825342117067…

Как только люди не пытались сохранить их в памяти! Один из самых популярных методов – составлять предложения-«запоминалки», в которых количество букв в каждом слове равно числовому значению соответствующей цифры. Пожалуй, наиболее известные из них – английские «How I wish I could calculate pi»[23] (охватывает 7 знаков: 3,141592) и «How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics»[24] (а здесь этих знаков уже 15).

Самая, пожалуй, забавная из них – пародия на знаменитого «Ворона» Эдгара Аллана По, созданная в 1995 году Майком Китом[25] для первых 740 знаков числа π. Одна лишь первая строчка (вместе с именем автора и заглавием) покрывает 42 цифры. Слово из 10 букв считается цифрой 0.

Позже Кит переработал и дополнил свой опус – так родилась его знаменитая «Кадеическая каденция»[26] (Cadaeic Cadenza) – уникальное произведение, в котором «зашифровано» 3835 цифр числа π. (Слово «Cadaeic» – тоже своего рода «шифр» π, в основе которого лежат порядковые номера букв латинского алфавита: C – 3, A – 1, D – 4, A – 1, E – 5, I – 9, C – 3. Сейчас оно стало термином, обозначающим жанр подобного рода поэтических экспериментов.) Кроме «Ворона», в нее входят пародии на другие известные стихи, вроде «Бармаглота» Льюиса Кэрролла[27]. Самым грандиозным трудом Кита, без сомнений, является «Во сне: грезы о первом десятке тысяч цифр числа π»

У этого метода есть один существенный недостаток: даже выучив наизусть все эти длинные предложения, стихотворения и целые рассказы, вы вряд ли сможете моментально определить количество букв в произносимых вами словах.

Мне больше по душе другой «шифр» – буквенный, в котором каждая цифра представлена одной или несколькими родственными согласными[28]:

1 = т или д

2 = н

3 = м

4 = р

5 = л

6 = ш, ж, щ или ч

7 = к, х или г

8 = ф или в

9 = п или б

0 = ц, с или з

Представляете, для этой системы тоже есть специальная «запоминалка» (да-да, «запоминалка» для «запоминалки»). Вот что предложил мне мой друг Тони Марлошковипс: буква «т» в своем начертании имеет один вертикальных штрих (буква «д» же является ее звонкой парой); «н» – два штриха; у «м» три точки опоры; «р» – последняя согласная в слове «четыре»; «л» – перевернутая римская цифра V (пять); «ш» – первая буква в слове «шесть» («ж», «ч» и «щ» же связаны с ней кровным фонетическим родством); «г» – зеркальное отражение цифры 7 («к» и «х» же – ее глухие аналоги); «в» и «ф» так же «глазасты», как и восьмерка; «б» – это висящая вверх ногами девятка; ну а «з» звучит как английское «z» в слове «zero», что значит «ноль» («с» и «ц» – члены семьи, группа поддержки). А можно просто взять и запомнить слово ТНМРЛШКВПС – «разбавьте» его гласными, и Тони Марлошковипс станет и вашим другом (жаль только, что воображаемым).

По такой схеме можно превращать цифры и числа в самые настоящие слова. Число 31, например, согласно нашей системе, будет равно буквам «м» и «т» (или «м» и «д»). А значит, его можно «зашифровать» словами

Добавим еще несколько правил. Во-первых, удвоенная согласная читается как одна (просто звучит чуть дольше), поэтому мы будем считать ее одной цифрой. Во-вторых, мы злонамеренно потеряли букву «й». Но, учитывая ее явное происхождение от гласной «и», мы будем преступно полагать ее такой же гласной. А еще обратите внимание, что, хотя одно и то же число может быть представлено (как правило) несколькими словами, для одного слова будет существовать только одно цифровое выражение.

Итак, перейдем к π. Первые три его цифры соответствуют буквам «м», «т» и «р», а это значит, что к ним можно подобрать такие слова, как

Первые 5 цифр π – 31415 – могут превратиться в «мою Тортиллу», а первые 24 цифры – 314159265358979323846264 – соответственно, в

Для следующих с17 цифр – 33832795028841971 – у меня родилось

Вот еще 19 – 33832795028841971

Для следующих 18 – 459230781640628620 – вполне сгодится

И, наконец, еще 22 цифры: 8998628034825342117067:

Вот таким вот нехитрым способом нам удалось в пяти совершенно глупых предложениях «зашифровать» первые 100 цифр числа π.

Буквенная система хорошо помогает, когда нужно запомнить определенную дату или, скажем, номер телефона или счета в банке. Попробуйте – сначала будет немного сложно, но со временем вы привыкнете и сможете запомнить много важных для вас чисел.

Почти все математики единодушны во мнении, что π – одно из самых важных для их науки чисел. Но если вы взглянете на формулы и уравнения, в которых оно фигурирует, вы наверняка заметите, что очень часто его нужно умножать на 2. Для этого произведения было придумано специальное обозначение – греческая буква t («тау», рифмуется с «вау!»):

Очень и очень многие полагают, что тысячи геометрических понятий и формул стали бы куда проще, если бы изначально основывались именно на t, а не на π. Об этом даже целые статьи написаны – например, «π не пройдет!» Боба Палаиса или «Манифест числа t» Майкла Хартла[30]. Суть споров заключается в том, что описание любого круга основывается на значении его радиуса, а при сравнении этой величины с длиной окружности мы получаем C/r = 2π = t. На новейших учебниках стали даже делать пометы «используется число t», что значит, что в них даны не только классические (основанные на π) формулы и представления, но и «новые», привлекающие t. И хотя «переключиться» бывает порой очень и очень непросто, многие профессора и студенты признают, что оперировать t куда легче, чем π. Так или иначе, научное сообщество и просто заинтересованные лица с большим интересом следят за ходом дискуссии и с нетерпением ждут, во что же все это выльется. Поборники t (называющие себя «тауистами») убеждены, что правда на их стороне. При этом к адептам старой религии они настроены вполне миролюбиво, число π уважают и в экстремистских выходках замечены не были.

Вот как выглядят первые сто цифр числа t. Пробелы между ними расставлены в соответствии с приведенной чуть ниже «запоминалкой». Обратите внимание, что начинается все с совершенных чисел 6 и 28 (о них мы говорили в главе 6). Как вы думаете, это совпадение? Конечно же, да. И все равно забавно! Итак,

t = 6,283185307179586476925286766559005768394338798750

211641949889184615632812572417997256069650684234135…

В 2012 году тринадцатилетний мальчишка по имени Итан Браун установил мировой рекорд по воспроизведению наизусть цифр числа t. Он вспомнил их ровно 2012 – по номеру года своего триумфа. Чтобы облегчить себе задачу, он использовал уже описанный нами буквенный «шифр» – но вместо долгих предложений он описывал словами короткие образные ситуации, каждая из которых обязательно состояла из субъекта (подлежащего, выраженного существительным), действия (сказуемого, выраженного личной формой глагола) и объекта (дополнения, выраженного также существительным). Он, правда, немного поменял правила игры, исключив из системы те согласные буквы, которые появляются в окончаниях глаголов (-ет, – ат, – ют и т. д.). Первые семь цифр – 6283185 – превратились в «Женя вымотает вола́». А вот все его «запоминалки» для первой сотни цифр[31]:

Чтобы лучше запомнить эти фразы, Браун использовал мнемотехнику чертогов разума (memory palace), представляя себя бродящим по коридорам собственной школы и заглядывающим в разные кабинеты, в каждом из которых сидело по несколько субъектов, совершающих те странные действия, что были описаны в предложениях. Он придумал 272 ассоциации и «разбросал» их по 60 разным местам. На формулировку «запоминалок» и их заучивание ушло четыре месяца. На чтение «зашифрованных» цифр наизусть – 73 минуты.

Давайте закончим эту главу гимном числу π. Я взял на себя смелость немного дополнить пародию Ларри Лессера под названием «π по-американски». Только имейте в виду, что песенку эту получится спеть всего лишь раз, ведь цифры π по кругу не повторяются.

Глава номер девять Магия тригонометрии

Высшая точка тригонометрии