Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин 27 стр.

Продифференцировав обе стороны и применив правило дифференцирования произведения, получаем

Разделив всех члены уравнения на xn и перенеся первый член в другую часть уравнения, получаем

что и требовалось доказать.◻

Следовательно, если y = 1/x = x–1, то y' = −1/x², если y = 1/x² = x–2, то y' = −2x–3 = −2/x³, и т. д.

Помните, в 7 главе мы искали такое положительное значение x, при котором функция

показала бы минимальное значение? Тогда мы нашли решение с помощью геометрии, показав, что результат может быть достигнут при x = 1. Но можно решить эту задачу значительно проще: это значит, что y' = 0, это дает нам 1 – 1/x² = 0, а единственная положительная величина, которая удовлетворяет этому условию, – x = 1.

Что касается тригонометрических функций, то их дифференцировать ничуть не сложнее. Обратите внимание, что для доказательства следующей теоремы нам нужно, чтобы углы были выражены в радианах.

Теорема: Если y = sin x, то y' = cos x, а если y = cos x, то y' = –sin x. Другими словами, производная синуса равна косинусу, а производная косинуса – синусу со знаком минус.

Доказательство: Для доказательства нам потребуется следующая лемма (лемма – это подсобная, подготовительная теорема, с помощью которой можно доказать более сложное и серьезное утверждение).

Лемма:

Здесь утверждается, что значение любого угла h, равного чуть больше, чем 0 (в радианах), будет близко к значению h, в то время как значение косинуса будет близко к 1. С помощью калькулятора, например, можно выяснить, что sin 0,0123 = 0,0122996…, а cos 0,0123 = 0,9999243…. С помощью этой леммы можно продифференцировать любой синус или косинус. Тождество sin (A + B) из главы 9 говорит нам, что

А так как h → 0, то, согласно нашей лемме, это уравнение превращается в (sin x)(0) + (cos x)(1) = cos x. Подобным же образом

И снова h → 0 дает нам (cos x)(0) – (sin x)(1) = –sin x, что и требовалось доказать.◻

То, что можно доказать с помощью такого вот графика:

На единичной окружности, часть которой изображена выше, R = (1, 0), а P = (cos h, sin h), где h есть небольшой угол с положительным значением. В прямоугольном треугольнике OQR

Рассмотрим сектор OPR, имеющий клинообразную форму. Площадь единичной окружности равна π1² = π, сектор OPS – ее часть, выражаемая дробью h/(2π). Следовательно, площадь сектора OPR составляет π(h/2π) = h/2.

Так как сектор OPR содержит в себе треугольник OPS, а тот, в свою очередь, – треугольник OQR, сравнение их площадей дает нам

Для положительных значений a, b и c, если a < b < c, то 1/c < 1/b < 1/a. Следовательно,

А так как h → 0, и cos h, и 1/cos h будут стремиться к 1, что и требовалось доказать.

◻

С помощью полученного результата и нескольких алгебраических формул (включая cos² h + sin² h = 1) можно доказать, что

◻

Производные синуса и косинуса – ключи к дифференцированию тангенса.

Теорема: Если y = tan x, то y' = 1/(cos²x) = sec²x.

Доказательство: Предположим, что u(x) = tan x = (sin x)/(cos x). Тогда

Продифференцировав обе части и применив правило дифференцирования произведения функций, получим

Разделим все члены на cos x и решим уравнение для tan' (x):

в котором предпоследнее значение получается в результате деления тождества cos 2x + sin 2x = 1 на cos 2x.

Доказательство правила дифференцирования частного: Так как u(x)g(x) = f(x), продифференцировав обе части уравнения, в соответствии с правилом дифференцирования произведения получим

Умножив все на g(x), получим

Заменим g(x) u(x) на f(x) и решим уравнение для u'(x), что приведет нас к искомому результату.◻

Теперь мы умеем дифференцировать многочлены, показательные и тригонометрические функции. Также мы научились дифференцировать их суммы, произведения и частные. Но есть еще сложные функции – функции от функций, с которыми тоже нужно уметь обращаться. Правило дифференцирования сложной функции иначе называют цепным правилом. Согласно ему, например, если f(x) = sin x, а g(x) = x³, то

Не перепутайте: это не то же самое, что

Теорема (цепное правило): Если y = f(g(x)), то y' = f'(g(x))g'(x).

Например, если f(x) = sin x, а g(x) = x³, то f'(x) = cos x, а g'(x) = 3x². Согласно цепному правилу, при y = f(g(x)) = sin (x³)

Обобщая, можно сказать, что при y = sin (g(x)) y' = g'(x) cos(g(x)). Та же логика подсказывает нам, что y = cos (g(x)) имеет производную y' = –g'(x) sin (g(x)).

Обобщая, можно сказать, что при y = sin (g(x)) y' = g'(x) cos(g(x)). Та же логика подсказывает нам, что y = cos (g(x)) имеет производную y' = –g'(x) sin (g(x)).

С другой стороны, функция y' = –g'(x) sin (g(x)), согласно цепному правилу, выглядит так:

Обобщим и это: цепное правило говорит нам, что при y = (g(x))n y' = n(g(x))n–1g'(x). А что насчет y = (x3)5?

что полностью соответствует правилу дифференцирования произведения функций.

Продифференцируем y = √(x2 + 1) = (x² +1)½.

Со степенными функциями дело обстоит ничуть не сложнее. Так как ex является собственной производной, то при y = eg(x) имеем

Например, производная y = ex³ – y' = (3x²)ex³.

Обратите внимание, что функция y = ekx имеет производную y' = kekx = ky. Это одна из причин, почему показательные (экспоненциальные) функции так важны – они появляются, когда скорость роста функции пропорциональна величине ее значения. По этой причине показательные функции часто связаны с процессами в финансовой сфере и в биологии.

Натуральный логарифм ln x обладает одним интересным свойством:

при любом значении x, большем 0. Чтобы найти его, логарифма, производную, воспользуемся цепным правилом. Допустив, что u(x) = ln x, получим eu(x) = x. Продифференцировав обе части этого уравнения, получаем u'(x)eu(x) = 1. Но поскольку eu(x) = x, u'(x) = 1/x. Другими словами, если y = ln x, тогда y' = 1/x. Вновь применив цепное правило, получаем: если y = ln (g(x)), то

Давайте соберем все найденное с помощью цепного правила в таблицу:

Хотите применить все это на практике? Вот вам задачка, практичней некуда. Корова Клара пасется в километре на север от реки (оси x), в 3 километрах на запад и в километре на юг от коровника. Наевшись и нагулявшись, она решила попить водички и пойти домой. Естественно, ей хочется сделать это все как можно быстрее. Где именно ей нужно спуститься к реке, чтобы максимально сократить путь?

Предположим, что корова решила двинуться с луга (то есть из стартовой точки (0, 1)) к месту водопоя (то есть к точке (x, 0)) напрямик. Согласно теореме Пифагора (или формуле расстояния), длина ее маршрута до реки составит √(x² + 1), а до амбара, находящегося в точке B = (3, 2), – √((3 – x)² + 4) = √(x² – 6x + 13). Значит, задача сводится к нахождению такого значения x в диапазоне от 0 до 3, при котором достигается минимальное значение функции

Продифференцировав это уравнение (с помощью цепного правила) и приравняв его к 0, получим

Проверить это можно, взяв x = 1, тогда левая часть уравнения превращается в 1/√2 – 2/√8, что и в самом деле равно 0 (а можно добавить x/√(x² + 1) справа, возвести обе части в квадрат и умножить члены крест-накрест – после нескольких сокращений вы придете к x = 1).

Неплохим вариантом будет метод отражения, уже знакомый нам по главе 7. Представьте, что вместо коровника (точка B = (3, 2)) корова пошла к его отражению (точка B' = (3,–2)), как показано на следующем рисунке.

Расстояние до B' абсолютно такое же, как и до B. Любой отрезок, соединяющий точку, расположенную на севере от реки, с ее «отражением», расположенным к югу от реки, неизбежно пересечет ось x. Кратчайшим маршрутом в этом случае будет прямая линия от (0, 1) до (3, –2) (с наклоном –3/3 = –1), пересекающая ось x при x = 1. И никаких квадратных корней!

Фокус-покус: ряд Тейлора

Доказывая в конце прошлой главы уравнение Эйлера, мы воспользовались тремя загадочными формулами:

Перед тем как разбираться, как мы пришли к этому, давайте немного поиграем. Интересно, что получится, если взять отдельно каждый член ряда ex и продифференцировать? Правило дифференцирования степенной функции говорит нам, что производной функции x4/4! будет (4x3)/4! = x3/3! то есть предшествующий член ряда! Другими словами, продифференцировав ряд ex, мы вновь получим ряд ex, что полностью соответствует тому, что мы знаем о показательной функции ex!

Последовательно дифференцируя x – x3/3! + x5/5! – x7/7! +…, получаем 1 – x2/2! + x4/4! – x6/6! +…, что соотносится с тем, что производная синуса – это косинус. Справедливо и обратное: производная косинуса – это синус со знаком минус. А еще этот ряд лишний раз доказывает, что cos 0 = 1, и поскольку каждая степень в нем выражена четным числом, значение cos (–x) будет равно cos x. Впрочем, нам это уже известно (например, (–x)4/4! = x4/4!). Следуя той же логике, мы можем прийти к sin 0 = 0, а поскольку каждая степень выражена нечетным числом, sin (–x) = –sin x, как мы и предполагали.

Теперь давайте попытаемся понять, откуда, собственно говоря, берутся эти формулы. Мы знаем, как найти производные наиболее популярных функций. Но бывают такие ситуации, когда одну и ту же функцию нужно продифференцировать несколько раз, разыскав ее вторую (f''(x)), третью (f'''(x)) и т. д. производную. f''(x) выражает крутизну наклона функции (то есть ее вогнутость) в точке (x, f(x)), f'''(x) делает то же для второй производной и т. д.

Для этого имеются специальные формулы. Они называются рядами Тейлора, потому что первым, кто ввел их в оборот, был английский математик Брук Тейлор (1685–1731). Для функции f(x) с производными f'(x), f''(x), f'''(x) и т. д. мы имеем

при любом значении x, «достаточно близком» к 0. Что значит «достаточно близком»? В некоторых функциях – например, ex, sin x или cos x – x может быть практически любой величиной. Но есть и такие функции (мы встретимся с ними чуть позже), которые имеют смысл только при очень маленьких значениях x.

Проследим, как меняется формула для f(x) = ex. Так как ex равна своей собственной первой (равно как и второй, и третьей и т. д.) производной, следовательно

то есть ряд Тейлора для ex превращается в 1 + x + x2/2! + x3/3! + x4/4! +…, как и предполагалось. При небольшом значении x нам достаточно посчитать лишь несколько членов ряда, чтобы получить точную аппроксимацию верного ответа.