Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин 26 стр.

позволяющее узнать отношение приращения функции к приращению аргумента.

Для примера возьмем линию y = 2x + 3 и две ее точки с координатами (0, 3) и (4, 11). Ее наклон составит = (11 – 3)/(4 – 0) = 8/4 = 2 – тот же ответ, к которому мы можем прийти с помощью уравнения прямой.

Теперь рассмотрим функцию y = x² + 1, изображенную на графике внизу. Это не прямая: мы можем проследить, как постоянно меняется ее наклон. А вот касательная, проходящая через точку (1, 2) – прямая. Попробуем определить ее наклон.

Для этого нам нужны хотя бы две точки. Что же делать? Придется взять еще одну линию – такую, которая пересекает кривую функции как минимум дважды (так называемую секущую). Приняв x = 1,5, мы получаем y = (1,5)² + 1 = 3,25. Согласно уже рассмотренной нами формуле, наклон секущей составляет

Для более точного результата переместим вторую точку как можно ближе к (1, 2). Скажем, если x = 1,1, то y = (1,1)² + 1 = 2,21, а наклон секущей – m = (2,21 – 2)/(1,1 – 1) = 2,1. Посмотрите на таблицу: при постепенном приближении второй точки к (1, 2), наклон секущей будет столь же постепенно приближаться к 2.

Посмотрим, что происходит, когда x = 1 + h (при h ≠ 0), но лишь чуть-чуть отличается от x = 1. Тогда y = (1 + h)² + 1 = 2 + 2h + h², а наклон секущей составит

То есть при приближении h к 0 наклон графика функции будет приближаться к 2. В записи это выглядит так:

Подобным представлением мы хотим сказать, что предел 2 + h при значении h, стремящемся к 0, равен 2. Так мы и узнаем наклон касательной к кривой y = x² + 1 в точке (1, 2) – 2.

А вот как все это выглядит в обобщенном виде. Нам нужно найти наклон касательной к кривой y = f(x) в точке (x, f(x)). Как видно на графике, наклон секущей, проходящей через точку (x, f(x)) и соседнюю с ней (x + h, f(x + h)), составляет

Представим наклон касательной, проходящей через точку (x, f(x)), как f′(x):

Выглядит не очень-то понятно, поэтому давайте возьмем парочку более конкретных примеров. Для прямой линии y = mx +b, а f(x) = mx + b. Чтобы найти f(x + h), нужно заменить x на x + h – это позволит нам подсчитать f(x + h) = m(x + h) + b. Следовательно, наклон секущей равен

Наклон касательной будет равен m при любом значении x, поэтому f′(x) = m. Объясняется это тем, что линия y = mx + b всегда имеет наклон m.

Обратимся к производной функции y = x². Согласно только что сформулированному определению,

а так как h стремится к 0, f′(x) должно быть равно 2x.

При f(x) = x³ получаем

а так как h стремится к 0, f′(x) должно быть равно 3x².

Поиск производной функции f′(x) на основании функции y = f(x) называется дифференцированием. Впрочем, все не так сложно, как кажется: потренировавшись как следует и найдя производные нескольких простых функций, мы легко сможем определить их и для сложных функций. И, что самое приятное, никаких пределов! А вот и подходящая теорема.

Теорема: Если u(x) = f(x) + g(x), то u′(x) = f′(x) + g′(x). Другими словами, производная суммы есть сумма производных. Также если с – действительное число, производная cf(x) равна cf′(x).

Как следствие, мы можем утверждать, что, поскольку y = x³ имеет производную 3x², а y = x² – производную 2x, производная y = x³ + x² будет равна 3x² + 2x (например, производная функции y = 10x³ – 30x²).

Доказательство: Предположим, что u(x) = f(x) + g(x). Тогда

Положив h → 0 в качестве предела для обеих частей этого уравнения, получим

Обратите внимание, что, применяя этот предел справа, мы исходим из предположения, что предел суммы равен сумме пределов. Доказывать это мы, пожалуй, не станем – просто доверимся здравому смыслу, говорящему, что при приближении значений a и b к A и B значение a + b будет приближаться к A + B. Та же логика подсказывает нам, что предел произведения равен произведению пределов, а предел частного равен частному пределов. Но то, что справедливо для пределов, необязательно будет справедливо для производных. Например, производная произведения не равна произведению производных.

Что же касается второго утверждения нашей теоремы, то при v(x) = cf(x)

что и требовалось доказать.◻

Чтобы продифференцировать функцию f(x) = x4, сначала распишем ее в следующем виде: f(x + h) = (x + h)4 = x4 + 4x³h + 6x²h² + 4xh³ + h4. Коэффициенты выглядят знакомо, правда? 1, 4, 6, 4, 1… Это же числа из 4 ряда треугольника Паскаля (см. главу 4)! Следовательно,

а так как h → 0, получается, что f′(x) = 4x³. Видите закономерность? Производные x, x², x³ и x4 равны 1, 2x, 3x² и 4x³ соответственно. Применение того же алгоритма к бо́льшим степеням приводит нас к одному важному правилу. (Кстати, другое популярное обозначение производной – y′. Так и будем писать.)

Теорема (правило дифференцирования степенной функции): При n ≥ 0

Например,

а

С помощью этого закона можно дифференцировать даже функции-константы, вроде y = 1, потому что 1 = x0, а y = x0 имеет производную 0x–1 = 0 при любом значении x. Это объясняется тем, что линия y = 1 является горизонтальной. Исходя из правила дифференцирования степенной функции и предыдущей теоремы, мы сможем дифференцировать любой многочлен. Например, если

то

Правило дифференцирования степенной функции верно и при отрицательных значениях n. Например, если

Аналогичным образом, если

Аналогичным образом, если

Жаль только, что доказать это нам пока что не по силам.

Перед тем как дифференцировать более сложные функции, применим уже полученные знания в не менее интересных и полезных целях. Например, в целях оптимизации.

Максимум против минимума

Дифференциация нужна для того, чтобы выяснять, где функция достигает своего максимума, а где – минимума. При каком, например, значении x парабола y = x² – 8x + 10 достигает своей низшей точки?

Как вы, наверняка, помните, проведенная через нее касательная должна иметь наклон 0. Так как y' = 2x – 8, уравнение 2x – 8 = 0 приведет нас к минимуму при x = 4 (кстати, y = 16 – 32 + 10 = –6). Для y = f(x) значение x, удовлетворяющее f'(x) = 0, называется критической точкой функции f. Функция y = x² – 8x + 10, например, имеет только одну критическую точку – x = 4.

Где же максимум? В нашем примере его попросту нет: значение y-координаты для x² – 8x + 10 может быть сколь угодно большим. Ограничить его можно одним единственным способом – определив для x пределы значений. Возьмем для примера 0 ≤ x ≤ 6. Тогда при x = 0 y будет равен 10, а при x = 6 – −2, то есть критической точкой для этой функции является x = 0. Обобщение этого приводит нас к одной очень важной теореме.

Теорема (теорема об экстремуме функции в точке): Если дифференцируемая на отрезке функция y = f(x) принимает максимальное или минимальное значение в точке x*, то x* должна быть либо критической точкой f, либо граничной точкой отрезка.

Давайте на секунду вернемся в начало главы, к задаче с лотком. Нам нужно, по сути, максимизировать функцию

где x должен находиться в диапазоне от 0 до 6. Нам нужно найти такой x, при котором значение y будет наибольшим. Так как наша функция представляет собой многочлен, ее производную можно найти как

Следовательно, ее критическими точками будут x = 2 и x = 6.

А так как мы знаем, что при объеме, равном 0, и конечных точках, равных 0 и 6, объем будет минимальным, нам остается только одна критическая точка – x = 2. Именно она и даст нам максимум – y = 128 см³.

Правила дифференцирования

Чем больше функций мы продифференцируем, тем больше задач сможем решить. Пожалуй, самой важной функцией в исчислении является показательная функция y = ex. Ее особенность в том, что она равна собственной производной.

Теорема: Если y = ex, то y' = ex.

Почему f(x) = ex соответствует f'(x) = ex? Смотрите, в чем секрет. Сначала обратите внимание на то, что

Вспомним, что е, по сути, есть

что означает, что с увеличением n значение члена (1 + 1/n)n будет все ближе и ближе подходить к e. Теперь предположим, что h = 1/n. При очень большом значении n h = 1/n находится очень близко к 0. Следовательно, при h, близком к 0,

Возведя обе части в степень h (и помня, что (ab)c = abc), получаем

А есть ли еще такие функции, которые равны своим производным? Есть. Но все они сводятся к y = cex, где c заменяется любым действительным числом (в том числе и 0, который превращает функцию в постоянную y = 0).

Не так давно мы выяснили, что при сложении функций производная суммы равна сумме производных. А что насчет умножения? Увы, но производная произведения не равна произведению производных. Тем не менее посчитать ее не очень сложно – для этого достаточно воспользоваться несложной теоремой.

Теорема (правило дифференцирования произведения функций): Если y = f(x)g(x), то

Например, согласно правилу дифференцирования произведения, чтобы продифференцировать y = x3ex, нам нужно взять f(x) = x³ и g(x) = ex. В результате у нас получится

Обратите внимание, что при f(x) = x3 и g(x) = x5 их произведение, согласно тому же правилу, составит x3x5 = x8. Производная же будет выглядеть как

что полностью соответствует правилу дифференцирования степенной функции.

Доказательство (правило дифференцирования произведения функций): Предположим, что u(x) = f(x)g(x). Тогда

А дальше творим истинно математическое волшебство – добавляем к числителю 0, но не привычным способом, а с помощью прибавления и вычитания f(x + h)g(x):

Так как h → 0, в результате имеем f(x)g'(x) + f'(x)g(x), что и требовалось доказать.◻

Но доказанное правило полезно не только в этом конкретном случае – с его помощью можно найти производные других функций. Мы уже доказали, что правило дифференцирования степенной функции верно при положительных значениях показателя степени. Давайте посмотрим, как оно поведет себя при дробных и отрицательных значениях.

Например, согласно правилу дифференцирования степенной функции

Сможем ли мы доказать его с помощью правила дифференцирования произведения? Предположим u(x) = √x. Тогда

Продифференцировав обе стороны и применив правило дифференцирования произведения, получаем

Следовательно, как мы и предполагали.

Правило дифференцирования произведения при отрицательных значениях степени гласит, что y = x−n будет иметь производную Чтобы это доказать, возьмем u(x) = x−n, где n ≥ 1. Согласно определению, при x ≠ 0