Повинуясь догадке, он осенью 1648 года отправил своего зятя в горы с наполненной ртутью трубкой. На вершине горы ртуть поднялась в трубке значительно меньше, чем на 30 дюймов (рис. 22). Может быть, пустота меньше смущала природу на горе, чем на равнине?
Рис. 22. Эксперимент Паскаля
Для Паскаля это кажущееся странным поведение столбика ртути доказывало, что не отвращение к вакууму поднимало ртуть в трубке. Это был вес атмосферного воздуха — давление на открытую поверхность ртути в сосуде заставляло жидкость подниматься по трубке. Атмосферное давление на поверхность жидкости в сосуде — будь это ртуть, вода или вино — приводит к подъему жидкости в трубке, точно так же, как нажатие на тюбик с зубной пастой заставляет его содержимое выдавливаться из носика. Поскольку атмосфера не может давить с неограниченной силой, ее давление может поднять ртуть в трубке всего на 30 дюймов. На вершине же горы атмосферное давление меньше, так что не может поднять ртуть даже на эту высоту.
Это тонкий момент: вакуум ничего не всасывает, давит именно атмосфера. Однако простой эксперимент Паскаля опроверг утверждение Аристотеля о том, что природа не терпит пустоты. Паскаль писал: «До сих пор нельзя было найти никого, кто придерживался бы этого взгляда: у природы нет отвращения к вакууму, она не делает усилий избежать его и приемлет вакуум без трудностей и сопротивления». Аристотель был побежден, ученые перестали бояться пустоты и начали изучать ее.
Однако Паскаль, преданный янсенист, пытался доказать существование Бога с помощью ноля и бесконечности. Делал он это очень нечестивым способом.
Божественное пари
Паскаль был не только ученым-естествоиспытателем, но и математиком. Как ученый-естествоиспытатель Паскаль изучал вакуум — природу пустоты. В математике Паскаль помог изобрести целую новую область: теорию вероятности. Когда Паскаль соединил теорию вероятности с нолем и бесконечностью, он нашел Бога.
Теория вероятности была изобретена, чтобы помочь богатым аристократам выигрывать больше денег в карты. Теория Паскаля пользовалась огромным успехом, однако его карьере математика не суждено было оказаться долгой. 23 ноября 1654 года Паскаль испытал сильнейшее духовное переживание. Возможно, сказалась старая янсенистская установка на отрицание науки… Какова бы ни была причина, вновь обретенная набожность привела Паскаля к полному отказу от математики и науки. (На короткое время, четырьмя годами позже, когда он не мог спать из-за болезни, Паскаль сделал исключение, занявшись математикой. Боль ослабла. Паскаль полагал, что это знак: Бог не осуждает его занятий.)
Паскаль сделался теологом, но ему не удавалось забыть свое безбожное прошлое. Даже когда дело дошло до утверждения существования Бога, Паскаль обратился к греховным приемам французов-игроков. Паскаль утверждал, что верить в Бога лучше, потому что это выгодная ставка — в прямом смысле слова.
Как он анализировал цену — или ожидание выигрыша — в игре, так он оценивал веру в Христа. Благодаря математическим понятиям ноля и бесконечности Паскаль пришел к заключению, что следует признать существование Бога.
Прежде чем рассмотреть заключенное им пари, стоит проанализировать несколько иную игру. Представьте себе, что имеется два конверта, помеченные буквами «А» и «Б». Прежде чем вам покажут конверты, бросок монеты определит, в каком из них будут деньги: если выпадет орел, то в конверте «А» окажется новенькая купюра в 100 $; если выпадет решка, то деньги в конверте «Б», только уже не 100 $, а 1 000 000 $. Какой конверт вам следовало бы выбрать?
Очевидно, что конверт «Б»! Его ценность гораздо выше. Нетрудно показать это, используя инструмент из теории вероятности, именуемый математическим ожиданием: это мера того, как мы оцениваем стоимость каждого конверта.
Конверт «А» может содержать или не содержать купюру в 100 $, он имеет некоторую ценность, потому что может содержать деньги, но 100 $ он не стоит, потому что вы не можете быть абсолютно уверены, что деньги в нем. Математик взял бы каждое возможное содержимое конверта «А», а затем умножил бы на вероятность соответствующего исхода: 1/2 шанса выиграть 0 $ плюс 1/2 шанса выиграть 100 $ / 1/2 × 0 = 0 $ плюс 1/2 × 100 = 50 $; ожидание — 50 $. Вывод математика был бы — ожидаемая цена конверта «А» — 50 $. В то же время ожидаемая цена конверта «Б» такова: 1/2 шанса выиграть 0 $ плюс 1/2 шанса выиграть 1 000 000 $ / 1/2 × 0 + 1/2 × 1 000 000 = 500 000. Ожидание — 500 000 $. Таким образом, ожидаемая цена конверта «Б» — 500 000 $: в 10 000 раз больше, чем ожидаемая цена конверта «А». Ясно, что если вам предлагается выбрать между двумя конвертами, разумно выбрать конверт «Б».
Пари Паскаля было в точности сходно с этой игрой, за тем исключением, что конверты были другими: христианство и атеизм. (На самом деле Паскаль проанализировал только случай христианства, но случай атеизма был его логическим продолжением.) Допустим на мгновение, что шанс существования Бога — 50 на 50. (Паскаль полагал, что это, конечно, христианский Бог.)
Выбор конверта «Христианство» эквивалентен преданности христианской вере. Если вы выбираете этот путь, имеются две возможности: если вы верующий христианин, а Бога нет, вы просто превращаетесь в ничто после смерти; если же Бог есть, вы отправляетесь на небеса и счастливо живете вечно. Таким образом, ожидаемая цена преданности христианству — 1/2 шанса превратиться в ничто плюс 1/2 шанса попасть на небеса: 1/2 × 0 + 1/2 × ∞ = ∞. Так каково же ожидание? В конце концов, половина бесконечности — все равно бесконечность. Таким образом, цена преданности христианству бесконечна. А что случится, если вы — атеист? Если вы правы, и Бога нет, вы ничего не выигрываете. В конце концов, раз нет Бога, то нет и небес. Однако если вы ошибаетесь, и Бог есть, вы навечно отправляетесь в ад: перед вами отрицательная бесконечность. Таким образом, ожидаемая цена атеистических взглядов такова: 1/2 шанса превратиться в ничто плюс 1/2 шанса отправиться в ад — 1/2 × 0 + 1/2 × –∞ = –∞ Каково же ожидание? Отрицательная бесконечность. Хуже ничего не придумаешь. Разумный человек, несомненно, выберет христианство, а не атеизм. Однако мы сделали допущение: 50 на 50, что Бог существует. Что же будет, если шанс окажется 1 на 1000? Цена преданности христианству составит 999/1000 шанса превратиться в ничто плюс 1/1000 шанса попасть на небеса: 999/1000 . . . . .× 0 + 1/1000 × ∞ = 0 + 1/1000∞ = 1/1000∞ . Каково ожидание? Оно то же самое: бесконечность; для атеиста оно тоже отрицательная бесконечность. Все же гораздо лучше быть христианином. Если бы вероятность составляла 1/10000 . . . . . или 1/1 000 000 , результат был бы тем же. Если нет ни одного шанса, что Бог существует, пари Паскаля — каким оно нам известно — теряет смысл. Ожидаемая цена приверженности христианству составила бы 0 × ∞, а это тарабарщина. Никто не был готов утверждать, что шанс существования Бога равен нолю. Каковы бы ни были ваши взгляды, всегда лучше верить в Бога благодаря магии ноля и бесконечности. Паскаль наверняка знал, как заключать пари, хоть и отказался от математики, чтобы выиграть.
Глава 5 Бесконечные ноли и неверующие математики
Ноль и научная революция
Ноль и бесконечность разрушили аристотелевскую философию, вакуум и бесконечный космос избавили Вселенную от скорлупы и от идеи о том, что природа не терпит пустоты. Древняя мудрость была отброшена, и ученые начали открывать законы, управляющие природными явлениями. Однако перед научной революцией стояла проблема ноля.
В глубине могучего нового инструмента научного мира — дифференциального и интегрального исчисления — таился парадокс. Изобретатели исчисления, Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц, создали мощнейший математический метод благодаря делению на ноль и сложению бесконечного числа нолей. Оба действия были столь же нелогичны, как сложение 1 и 1, чтобы получить 3. Дифференциальное и интегральное исчисление в своих основах отрицали математическую логику. Их принятие было актом веры. Ученые совершили этот прыжок, поскольку дифференциальное и интегральное исчисление есть язык природы. Чтобы в совершенстве понимать этот язык, наука должна была победить бесконечные ноли.
Бесконечные ноли
Проклятие Зенона висело над математикой два тысячелетия. Казалось, что Ахиллес обречен вечно преследовать черепаху, никогда ее не догоняя. В простой загадке Зенона скрывалась бесконечность. Греки были остановлены бесчисленными шагами Ахиллеса. Им не приходило в голову сложить вместе бесконечные части, хотя величина шагов Ахиллеса приближалась к нолю. Греки едва ли могли сложить шаги нулевой величины, не имея понятия ноля. Впрочем, когда Запад принял ноль, математики начали приручать бесконечность и закончили гонку Ахиллеса.
Несмотря на то, что последовательность Зенона имеет бесчисленные члены, мы можем сложить их и все же остаться в области конечных чисел: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/16 +… = 2. Первым человеком, проделавшим такой трюк — сложение бесконечного числа членов для получения конечного результата, — был британский логик XIV века Ричард Суисет. Он взял последовательность 1/2 , 2/4 , 3/8 , 4/16 , …, n/2n, сложил ее члены и получил 2. В конце концов числа, составлявшие последовательность, все больше и больше приближались к нолю; по наивности можно было бы предположить, что это обеспечит конечность их суммы. Увы, бесконечность вовсе не так проста.
Примерно в то же время, когда Суисет получит свой результат, Николя Оресм, французский математик, попробовал сложить другую бесконечную последовательность чисел — так называемую гармоническую серию: 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + … Как и в случаях последовательностей Зенона и Суисета, все члены данной последовательности все больше и больше приближаются к нолю. Тем не менее когда Оресм попытался сложить их, он обнаружил, что сумма становится все больше и больше. Несмотря на то, что отдельные члены последовательности стремятся к нолю, сумма делается бесконечно большой. Оресм показал это, сгруппировав члены: 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) +… Первый член новой последовательности очевидно равен 1/2 ; второй больше 1/2 , так как больше, чем (1/4 + 1/4); третий тоже больше 1/2 , так как больше, чем (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8)… и так далее. Вы продолжаете складывать 1/2, 1/2, 1/2… и сумма становится все больше и больше — до бесконечности. Хотя члены последовательности стремятся к нолю, они стремятся недостаточно быстро. Сумма бесконечной последовательности может быть бесконечно большой, даже если ее члены стремятся к нолю. Однако это еще не самое странное свойство бесконечно большой суммы. Ноль сам не застрахован от странной природы бесконечности.
Представьте себе следующую серию: 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1 + 1… Нетрудно увидеть, что сумма этой серии равна нолю: ведь (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1)… — то же самое, что 0 + 0 + 0 + 0 +…, что, несомненно, дает в сумме ноль. Однако внимание! Сгруппируйте члены серии иначе: 1 + (–1 + 1) + (–1 + 1) + (–1 + 1) +… Это то же самое, что 1 + 0 + 0 + 0 +… и явно равняется 1. Одна и та же сумма бесконечного числа нолей одновременно равна 0 и 1! Итальянский священник отец Гвидо Гранди даже использовал эту серию для доказательства того, что Бог мог создать Вселенную (1) из ничего (0). На самом деле такая серия в сумме может давать что угодно. Чтобы сумма стала равна 5, используйте 5 и –5 вместо 1 и –1, и можно будет доказать, что 0 + 0 + 0 + 0 +… равно 5.
Сложение бесконечного числа объектов друг с другом может приводить к странным и противоречивым результатам. Иногда, когда члены стремятся к нолю, сумма оказывается конечной, прекрасным, нормальным числом вроде 2 или 53. В других случаях сумма делается бесконечно большой. А сумма бесконечной серии нолей может равняться вообще чему угодно. И все это происходило одновременно. Происходило нечто странное, и никто не знал, как же обращаться с бесконечностью.
К счастью, физический мир проявил больше здравого смысла, чем мир математический. Складывать бесконечное число предметов друг с другом удается вполне успешно при условии, что вы имеете дело с чем-то реальным, например, ищете объем бочки вина. 1612 год оказался знаменательным для вина.
Иоганн Кеплер — тот самый, который открыл, что планеты движутся по эллипсам, — провел этот год, заглядывая в винные бочки, потому что понял, что методы виноделов, оценивающих объем бочек, очень грубы. Чтобы помочь торговцам вином, Кеплер расколол — в уме, конечно, — бочку на бесконечное число бесконечно малых кусочков, а потом сложил их, чтобы определить объем. Это может показаться странным способом измерения бочки, но идея оказалась блестящей.
Чтобы несколько упростить проблему, представим себе двумерный, а не трехмерный объект — треугольник. Треугольник на рис. 23 имеет высоту 8 и основание 8. Поскольку площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, она равна 32.
Рис. 23. Оценка площади треугольника
Теперь представьте себе, что вы пытаетесь оценить размер треугольника, вписывая в него маленькие прямоугольники. При первой попытке вы получите площадь в 16 — гораздо меньше действительной площади в 32. Вторая попытка окажется несколько лучше. С помощью трех прямоугольников вы получите площадь в 24. Близко, но вы еще не у цели. Третья попытка дает 28 — еще ближе.
Как вы видите, использование меньших и меньших прямоугольников, ширина которых, обозначенная символом Øx, стремится к нолю, делает результат все более близким к 32, истинной площади треугольника. (Сумма площадей прямоугольников равна ∑f(x)Øx, где греческий символ ∑ означает сумму по соответствующему ряду, а f(x) есть уравнение кривой, к которой стремятся прямоугольники.
В современном написании, при том что x стремится к нолю, мы заменяем ∑ новым символом, ∫, а Øx — dx, что превращает уравнение в ∫f(x)dx — в интеграл.)
В одной из малоизвестных работ Кеплера «Новая стереометрия винных бочек»[25] он делает то же самое для трех измерений, рассекая бочку на плоскости и складывая плоскости друг с другом. Кеплер по крайней мере не боялся стоящей перед ним проблемы: по мере того как Øx приближается к нолю, получение суммы становится эквивалентным сложению бесконечного числа нолей — результат, не имеющий смысла. Кеплер игнорировал эту проблему. Хотя сложение бесконечного числа нолей с точки зрения логики — тарабарщина, ответ, который оно давало, был правильным.
Кеплер был не единственным выдающимся ученым, который рассекал объекты на бесконечно тонкие слои. Галилей тоже размышлял о бесконечности и бесконечно малых величинах. Об этих двух идеях — бесконечно больших и бесконечно малых, превосходящих наше конечное понимание, он писал: «Первых (мы не понимаем) по причине их огромности, вторых — их малости». Однако несмотря на глубокую тайну бесконечных нолей, Галилей чувствовал их могущество. «Представьте себе, чем они становятся, объединившись», — поражался он. Ученик Галилея Бонавентура Кавальери отчасти ответил на этот вопрос.
Вместо винных бочек Кавальери рассекал геометрические объекты. Для Кавальери всякая площадь, как, например, площадь треугольника, состояла из бесконечного числа имеющих нулевую ширину отрезков прямых, а всякий объем — из бесконечного числа имеющих нулевую высоту плоскостей. Эти неделимые отрезки и плоскости подобны атомам площади и объема; дальше делить их нельзя. Как Кеплер измерял объем винной бочки с помощью тонких слоев, так Кавальери складывал бесконечное число неделимых нолей для определения площади или объема геометрического объекта.