Однако в книге Буля содержалась одна идея, которой предстояло стать очень плодотворной. Речь идет о понимании тесной связи логики с понятием классов или множеств. Вспомним, что булева алгебра в равной степени применима к классам и к логическим утверждениям. В самом деле, когда все члены одного множества X – еще и члены другого множества Y (X — подмножество Y), это можно выразить в виде логической импликации в виде «если X, то Y». Например, то, что все кони – подмножество множества всех четвероногих животных, можно написать в виде логического утверждения «Если X – конь, то он четвероногое животное».
В дальнейшем усовершенствованием и расширением булевой алгебры логики занимались многие ученые, однако полностью исследовал подобие между логикой и множествами и вывел всю эту концепцию на принципиально новый уровень Готлоб Фреге (рис. 48).
Рис. 48
Фридрих Людвиг Готлоб Фреге родился в Германии, в городе Висмаре, где и его отец, и мать в разное время были директорами старшей школы для девочек. Он изучал математику, физику, химию и философию, сначала в Йенском университете, потом еще два года в Геттингенском университете. Получив образование, он в 1874 году начал читать в Йене лекции и на протяжении всей своей профессиональной карьеры преподавал там математику. Несмотря на солидную педагогическую нагрузку, Фреге в 1879 году сумел напечатать свою первую революционную работу по логике[125]. Небольшая книга называлась «Исчисление понятий, или Подражающий арифметике формальный язык чистого мышления» (в научном обиходе ее обычно называют «Begriffsschrift»). В ней Фреге разработал оригинальный логический язык, который затем развил в двухтомном труде «Основные законы арифметики» («Grundgesetze der Arithmetic»). Задачи, которые ставил перед собой Фреге, были, с одной стороны, очень узкими, но с другой – необычайно честолюбивыми. Первоначально он сосредоточился на арифметике и хотел показать, что даже такие знакомые понятия, как натуральные числа 1, 2, 3…, можно свести к логическим конструкциям. Таким образом, Фреге полагал, что можно доказать все истины арифметики при помощи нескольких логических аксиом. Иными словами, по Фреге даже утверждения вроде 1 + 1 = 2 – не эмпирические истины, основанные на наблюдении: они выводятся из логических аксиом. Книга «Begriffsschrift» Фреге оказала такое влияние, что современный гарвардский логик Уиллард Ван Орман Куайн (1908–2000) однажды написал: «Логика – наука очень старая, а с 1879 года еще и великая».
Стержневым понятием философии Фреге было представление о том, что истина не зависит от человеческого суждения. В «Основных законах арифметики» он пишет (Frege 1893, 1903): «Быть истинным – не то же самое, что считаться истинным в глазах одного человека или даже всех, и одно ни в коем случае не сводится к другому. Нет никакого противоречия в том, что истинно что-то, что все считают ложным. Под “законами логики” я подразумеваю не психологические законы, по которым люди считают что-то истинным, а законы истины… они [законы истины] – краевые камни, заложенные в фундамент вечности, и наше мышление может перелиться через них, но не сдвинуть их с места».
Логические аксиомы Фреге имеют общий вид «для всех… если… то». Например, одна из аксиом выглядит так: «для всех p, если не (не-р), то р»[126]. В целом эта аксиома гласит, что если утверждение, противоречащее рассматриваемому, ложно, то само утверждение истинно. Например, если утверждение, что вам не надо останавливать машину на красный сигнал светофора, ложно, то вам совершенно точно надо останавливать машину на красный сигнал светофора. Чтобы в полной мере развить логический «язык», Фреге дополнил набор аксиом очень важным новым инструментом. Он заменил традиционный «субъектно-предикатный» стиль классической логики понятиями, позаимствованными у математической теории функций. Позволю себе краткое объяснение. Когда математическое выражение записывают как f (x) = 3x + 1, это означает, что f – это функция переменной x, а значение этой функции можно получить, умножив значение переменной на 3 и прибавив к результату 1. Фреге определил свои так называемые концепты как функции. Например, предположим, что вы хотите обсудить концепт «ест мясо». Этот концепт будет символически описан функцией F (x), и значение этой функции будет «истина», если x – лев, и «ложь», если x – олень. Если речь идет о числах, то концепт (функция) «меньше 7» пометит все числа, равные и больше 7, как «ложь», а все числа меньше 7 – как «истину». Фреге называл объекты, для которых тот или иной концепт принимал значение «истина», «подпадающими под» этот концепт.
Как я уже отметил, Фреге был убежден, что любое утверждение, имеющее отношение к натуральным числам, можно познать и вывести исключительно на основе логических определений и законов. Подобным же образом он начал свое описание темы натуральных чисел, не требуя никакого априорного понимания идеи «числа». Например, на логическом языке Фреге два концепта равномощны (то есть с ними ассоциируется одно и то же число), если есть взаимно однозначное соответствие между объектами, «подпадающими под» один концепт, и объектами, «подпадающими под» другой. То есть крышки от мусорных баков равномощны самим мусорным бакам (если у каждого бака есть крышка), и это определение не требует никакого упоминания о числах. Затем Фреге предлагает интереснейшее логическое определение числа 0. Представьте себе концепт F, который по определению «не тождествен самому себе». Поскольку любой объект должен быть тождествен самому себе, то под концепт F не подпадают никакие объекты. Иначе говоря, F (x) – ложь для любого объекта x. Привычное всем нам число нуль Фреге определил как «мощность концепта F». Затем он определил все натуральные числа в терминах сущностей, которые назвал объемами (Frege 1884). Объем концепта – это класс всех объектов, подпадающих под этот концепт. Человеку, далекому от логики как науки, переварить такое определение, пожалуй, сложновато, но на самом деле все очень просто. Например, объем концепта «женщина» – это класс всех женщин. Обратите внимание, что объем класса «женщина» сам по себе не женщина.
Вероятно, вам интересно, как это абстрактное логическое определение помогает определить, скажем, число 4. По Фреге, число 4 – это объем (или класс) всех концептов, под которые подпадают четыре объекта. Так что к этому классу, а следовательно, к числу 4, принадлежит и концепт «быть лапкой песика по имени Снупи», и концепт «прабабушка Готлоба Фреге».
Программа Фреге произвела настоящую сенсацию, однако были у нее и серьезные недостатки. С одной стороны, идея применять концепты – самую суть мышления – к построению арифметики была просто гениальной. С другой – Фреге не разглядел в собственной системе понятий весьма существенные противоречия. В частности, доказано, что одна из его аксиом, так называемый «Основной закон V», ведет к противоречию и поэтому безнадежно ошибочна. Сам по себе закон довольно невинен: он гласит, что объем концепта F идентичен объему концепта G тогда и только тогда, когда под концепты F и G подпадают одни и те же объекты. Однако 16 июня 1902 года разорвалась бомба: Бертран Рассел (рис. 49) написал Фреге письмо, где привел некий парадокс, доказывавший, что Основной закон V приводит к противоречию. Судьба распорядилась так, что письмо Рассела пришло как раз тогда, когда второй том «Основных законов арифметики» готовился к печати. Потрясенный Фреге поспешил сделать к рукописи откровенное примечание: «Едва ли для ученого что-то может быть неприятнее, чем обнаружить, что самые основы его рассуждений рухнули, когда работа уже завершена. Именно в такое положение поставило меня письмо мистера Бертрана Рассела, когда книга была уже практически в печати». Самому же Расселу Фреге, как человек благородный, написал: «Открытое Вами противоречие стало для меня величайшей неожиданностью – и вынужден признаться, что я даже испугался, поскольку оно сотрясло самые основы, на которых я намеревался выстроить арифметику».
Как странно, однако, что один-единственный парадокс оказал такое разрушительное воздействие на целую программу, целью которой было заложить основы математики, но, как отметил Уиллард Ван Орман Куайн, «Не раз и не два в истории случалось так, что открытие парадокса становилось поводом для основательной реконструкции самого фундамента мысли». Именно такой повод и предоставил парадокс Рассела.
Рис. 49
Рис. 49
Парадокс Рассела
Теорию множеств создал практически в одиночку немецкий математик Георг Кантор. Вскоре стало понятно, что множества играют в математике настолько фундаментальную роль и настолько тесно переплетены с логикой, что любые попытки выстроить математику на основе логики с необходимостью предполагали, что ее будут строить на аксиоматической основе теории множеств.
Рис. 50
Класс или множество – это просто набор объектов. Объекты не обязательно должны быть как-то связаны. Вполне можно говорить об одном классе, в который входят все объекты из следующего списка: телесериалы, которые шли в 2003 году, белый конь Наполеона и понятие истинной любви. Элементы, принадлежащие к определенному классу, называются членами этого класса.
Большинство классов объектов, с которыми вы, скорее всего, сталкиваетесь, не члены самих себя. Например, класс всех снежинок сам по себе не снежинка, класс всех антикварных карманных часов – не антикварные карманные часы и так далее. Однако бывают и такие классы, которые приходятся членами сами себе. Например, класс «все, что не антикварные карманные часы» – член самого себя, поскольку этот класс совершенно точно не антикварные карманные часы. Подобным же образом класс всех классов – член самого себя, поскольку он, очевидно, класс. А как насчет класса «всех тех классов, которые не члены самих себя»[127]?
Назовем этот класс R. Так принадлежит R к самому себе (к классу R) или нет? Очевидно, что R не может принадлежать R, поскольку в таком случае он нарушал бы определение членства в R. Но если R не принадлежит сам к себе, то, по определению, он должен быть членом R. Поэтому, как и в случае с деревенским цирюльником, мы обнаруживаем, что класс R одновременно и принадлежит, и не принадлежит R, а это логическое противоречие. Именно об этом парадоксе Рассел и написал Фреге. Поскольку эта антиномия подрывала сам процесс, по которому могли определяться классы или множества, программе Фреге был нанесен смертельный удар. Хотя Фреге и сделал несколько отчаянных попыток исправить свою систему аксиом, к успехам это не привело. Напрашивался катастрофический вывод: оказывается, формальная логика вовсе не надежнее математики, а напротив, гораздо больше подвержена фатальным противоречиям.
Примерно в то же время, когда Фреге разрабатывал свою программу логицизма, итальянский математик и логик Джузеппе Пеано разработал несколько иной подход. Пеано хотел основать арифметику на аксиоматическом фундаменте. Поэтому он отталкивался от формулировки набора простых лаконичных аксиом. Например, первые три его аксиомы гласили (пер. В. Целищева).
1. Ноль есть число.
2. Последующий элемент каждого числа есть число.
3. Никакие два числа не имеют одного и того же последующего элемента.
Сложность в том, что хотя система аксиом Пеано и в самом деле позволяет воспроизвести известные законы арифметики (если ввести дополнительные определения), на ее основе невозможно дать однозначное определение натуральных чисел.
Следующий шаг проделал Бертран Рассел. Рассел считал, что первоначальная идея Фреге – вывести арифметику из логики – это правильный путь. Поставив перед собой нелегкую задачу, Рассел в соавторстве с Альфредом Нортом Уайтхедом (рис. 50) создали невероятный шедевр логической мысли – фундаментальный трехтомный труд «Основания математики» («Principia Mathematica»)[128]. Эта книга стала самым авторитетным трудом в истории логики за исключением разве что «Органона» Аристотеля (на рис. 51 приведен титульный лист первого издания).
Рис. 51
В «Основаниях» Рассел и Уайтхед отстаивали ту точку зрения, что математика в целом зиждется на проработке и развитии законов логики и между ними нет четкого разграничения[129]. Однако, чтобы добиться самодостаточного описания, им нужно было каким-то образом обуздать антиномии, или парадоксы (вдобавок к парадоксу Рассела нашлись и другие). Это требовало очень хитроумных логических манипуляций. Рассел считал, что эти парадоксы возникают исключительно из-за «порочного круга», когда сущности определяют в терминах класса объектов, который сам содержит определяемую сущность. Вот как он об этом писал: «Если я говорю “Наполеон имел все качества, которые сделали его великим полководцем”, я должен определить “качества” таким образом, который не включал бы то, о чем я сейчас говорю, то есть “обладание всеми качествами великого полководца” не должно быть качеством в предположенном смысле». Чтобы избежать этого парадокса, Рассел предложил «теорию типов», в которой класс (множество) принадлежит к более высокому логическому типу, чем его члены[130]. Например, все отдельные игроки футбольной команды «Далласские ковбои» принадлежали бы к типу 0. Сама команда «Далласские ковбои», класс игроков, принадлежала бы к типу 1. Национальная футбольная лига, класс команд, была бы типа 2, а совокупность лиг, если бы таковая существовала, – типа 3 и так далее. По этой системе сама идея класса, который является членом самого себя, не ложна и не истинна, а просто бессмысленна. Поэтому парадоксы наподобие парадокса Рассела в системе Рассела и Уайтхеда не встречаются.
Нет никаких сомнений, что «Основания» – монументальное достижение в логике, однако едва ли можно считать этот труд долгожданными основами математики. Теорию типов Рассела многие считают несколько искусственным способом избавиться от проблемы парадоксов[131], причем этот способ сам по себе приводит к разным неприятным осложнениям. Например, рациональные числа, то есть простые дроби, принадлежат, как выяснилось, к более высокому типу, чем натуральные числа. Чтобы избежать некоторых таких осложнений, Рассел и Уайтхед ввели дополнительную аксиому, так называемую аксиому сводимости, которая сама по себе вызывает серьезные противоречия и недоверие.
Математики Эрнст Цермело и Абрахам Френкель предложили более изящные способы искоренить парадоксы. Они, в сущности, сумели снабдить теорию множеств самодостаточной системой аксиом и воспроизвести большинство результатов этой теории. На поверхностный взгляд сбылась мечта платоников – по крайней мере, отчасти. Если теория множеств и логика и в самом деле две стороны одной медали, значит, прочный фундамент теории множеств обеспечивает и прочный фундамент логики. А если к тому же почти вся математика выводится из логики, это придает математике своего рода объективную надежность, которую, кроме всего прочего, можно было бы привлечь для объяснения эффективности математики.
К сожалению, ликовали платоники недолго, поскольку их почти сразу же постиг тяжелый случай дежавю.
Опять неевклидов кризис?!
В 1908 году немецкий математик Эрнст Цермело (1871–1953) прошел по пути, очень похожему на тот, который проложил Евклид около 300 года до н. э.[132]. Евклид сформулировал несколько недоказуемых, но, как предполагалось, самоочевидных постулатов о точках и линиях, а затем на их основании выстроил геометрию. Цермело – который независимо нашел парадокс Рассела еще в 1900 году – предложил способ выстроить теорию множеств на таком же аксиоматическом фундаменте. В его теории парадокс Рассела обходился при помощи тщательного отбора принципов конструирования, исключавших противоречивые идеи вроде «множества всех множеств». Систему Цермело в 1920-е годы развил и дополнил израильский математик Абрахам Френкель (1891–1965), в результате чего была создана так называемая теория множеств Цермело-Френкеля (важные коррективы внес и Джон фон Нейман в 1925 году)[133]. Все складывалось почти идеально, оставалось лишь доказать непротиворечивость, однако очень скоро возникли неприятные подозрения. Была одна аксиома – аксиома выбора, – которая, в точности как знаменитый «пятый постулат» Евклида, не давала математикам спокойно спать. На простом и понятном языке аксиома выбора гласит: если Х – набор (множество) непустых множеств, можно выбрать по одному члену из каждого множества в Х и сформировать из них новое множество Y[134]. Легко убедиться, что это утверждение истинно, если набор X не бесконечен. Например, если у нас сто коробок и в каждой лежит по крайней мере по одному стеклянному шарику, можно запросто взять по шарику из каждой коробки и сформировать новое множество Y, в которое войдут сто стеклянных шариков. В таком случае нам и особой аксиомы не нужно – мы можем доказать, что такой выбор возможен. Это утверждение верно и для бесконечных наборов Х, если только мы можем точно указать, как именно мы делаем выбор. Представьте себе, например, бесконечный набор непустых множеств натуральных чисел. Членами этого набора могут быть множества вроде {2, 6, 7}, {1, 0}, {346, 5, 11, 1257}, {все натуральные числа от 381 до 10 457} и тому подобные. В каждом множестве натуральных чисел всегда есть одно самое маленькое число. Поэтому наш выбор вполне можно однозначно описать следующим образом: «Из каждого множества мы выбираем наименьший элемент». В таком случае опять же можно обойтись без аксиомы выбора. Сложности возникают с бесконечными наборами в тех случаях, когда мы не можем определить способ выбора. В таких случаях процесс выбора никогда не кончается, и существование множества, в котором содержится ровно по одному элементу из каждого члена набора X, становится вопросом веры.