Само по себе это можно рассматривать просто как способ переформулировать Третий закон Кеплера. В рассуждениях Ньютона о планетах ничто не указывало на связь между силой, удерживающей планеты на их орбитах, и общеизвестными явлениями, связанными с силой тяготения на поверхности Земли. Эта связь появляется после того, как Ньютон начинает рассуждать о Луне. Утверждение Ньютона о том, что он «сравнил Луну на ее орбите с силой притяжения на поверхности Земли и нашел, что они подходят очень хорошо», указывает на то, что он рассчитал центростремительное ускорение Луны и нашел, что оно меньше ускорения свободного падения тел вблизи поверхности Земли в том самом соотношении, которого можно ожидать, если оба эти ускорения обратно пропорциональны квадрату расстояния от центра Земли.
Если быть точнее, Ньютон взял радиус орбиты Луны (хорошо известный по измерению суточного параллакса Луны), равный 60 земным радиусам; в действительности он составляет около 60,2 земных радиуса. Он использовал грубое округление значения радиуса Земли{258}, в результате чего получилось весьма приблизительное значение радиуса орбиты Луны, и, зная, что сидерический период обращения Луны вокруг Земли составляет примерно 27,3 суток, он смог оценить скорость Луны и из нее вывести центростремительное ускорение. Это ускорение оказалось меньше ускорения свободного падения у поверхности Земли на показатель, приближенно (очень приближенно) равный 1/(60)², чего и можно было ожидать, если считать силу, удерживающую Луну на ее орбите, той же, что притягивает тела к земной поверхности, лишь уменьшенной в соответствии с законом обратных квадратов (см. техническое замечание 33). Именно это Ньютон имел в виду, когда говорил о двух силах, что «нашел, что они подходят очень хорошо».
Это был кульминационный шаг в объединении земного и небесного в науке. Коперник поместил Землю среди других планет, тогда как Тихо Браге показал, что в небесах происходят изменения, а Галилей увидел, что поверхность Луны неровная, как и поверхность Земли, но ни одно из этих нововведений не связывало движение планет с силами, которые можно наблюдать на Земле. Декарт пытался понять движение тел в Солнечной системе как результат взаимодействия вихрей в эфире, сравнивая их с вихрями в луже воды на Земле, но его теория не имела успеха. Теперь же Ньютон показал, что сила, которая удерживает Луну на орбите вокруг Земли и планеты на их орбитах вокруг Солнца, – это та же самая сила притяжения, которая заставляет яблоко падать на землю Линкольншира и имеет те же самые количественные характеристики. После этого открытия о разграничении между небесным и земным, которое начиная со времен Аристотеля сдерживало развитие физики, пришлось навсегда забыть. Но от этого открытия все еще было далеко до Закона всемирного тяготения, который гласит, что любое тело во Вселенной, а не только Земля и Солнце, притягивает любое другое тело с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
В аргументах Ньютона все еще зияли четыре огромные прорехи:
1. Сравнивая центростремительное ускорение Луны с ускорением свободного падения тел у поверхности Земли, Ньютон предполагал, что сила, производящая это ускорение, ослабевает обратно пропорционально квадрату расстояния но расстояния от чего? Это не имело большого значения для Луны, которая находится от Земли так далеко, что Земля может быть принята за точку, когда речь идет о движении Луны. Но для яблока, падающего на землю Линкольншира, Земля простирается непосредственно под деревом, от места, расположенного всего в нескольких метрах, до места на противоположной стороне Земли, отдаленного на 12 742 км. Ньютон предполагал, что расстояние, которое соотносится с любым падающим телом у поверхности Земли, – это расстояние до центра Земли, но это не было очевидно.
2. Ньютоновское объяснение Третьего закона Кеплера не принимало во внимание совершенно очевидную разницу между планетами. Каким-то образом не придавалось никакого значения тому, что Юпитер намного больше Меркурия; разница между их центростремительными ускорениями зависела только от расстояния до Солнца. Еще более значительным было то, что ньютоновское сравнение центростремительного ускорения Луны и ускорения свободного падения у поверхности Земли полностью игнорировало разницу между Луной и любым падающим телом, например, яблоком. Почему эта разница не имеет никакого значения?
3. В работе, датированной им 1665–1666 гг., Ньютон интерпретировал Третий закон Кеплера как положение о том, что для любых разных планет произведение центростремительного ускорения на квадраты их расстояний от Солнца будет одинаковым. Но общее значение этого произведения совсем не равно произведению центростремительного ускорения Луны на квадрат ее расстояния до Земли; оно намного больше. Что влияет на эту разницу?
4. Наконец, в своей работе Ньютон считал, что орбиты планет и Луны являются круговыми и небесные тела движутся по ним с постоянной скоростью, хотя Кеплер доказал, что орбиты являются не окружностями, а эллипсами, Солнце и Земля находятся не в центре эллипса, а скорости планет и Луны только приближаются к постоянным.
Начиная с 1666 г. Ньютон пытался разобраться с этими неувязками. Тем временем другие ученые приходили к тем же выводам, что и Ньютон. В 1679 г. старый соперник Ньютона Гук опубликовал свои «кутлеровские лекции», в которых содержались некоторые предположения по поводу движения и притяжения, хотя и без математических доказательств:
«Все любые небесные тела имеют притяжательную или тяготительную силу, направленную к их центрам, вследствие чего они притягивают не только свои собственные части и удерживают их так, чтобы они не разлетались, что мы можем наблюдать на самой Земле, но что они также притягивают и все небесные тела, которые находятся в сфере действия их активности… Вторым предположением является следующее: все любые тела, которые принуждены к прямолинейному и простому движению, будут продолжать свое движение вперед по прямой линии, пока они не будут отклонены некоторыми иными действующими силами и перейдут в движение, описывающее круг, эллипс или другую несоставную кривую линию. Третье предположение утверждает, что эти притягательные силы тем более мощны в своем действии, чем ближе к их центрам окажется тело, на которое оказывается действие»{259}.
Гук написал Ньютону об этих размышлениях, в том числе о законе обратных квадратов. Ньютон отмахнулся, ответив, что не слышал о работе Гука и что «метод бесконечно малого»{260} (имеется в виду математический анализ) необходим для понимания движения планет.
Затем, в августе 1684 г. произошел судьбоносный визит астронома Эдмунда Галлея в Кембридж к Ньютону. Как Ньютон и Гук, а также и Рен, Галлей видел связь между законом обратных квадратов и Третьим законом Кеплера для круговых орбит. Галлей задал Ньютону вопрос о том, какой в действительности будет форма орбиты тела, двигающегося под влиянием силы, которая убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. Ньютон ответил, что орбита получится в форме эллипса, и пообещал выслать доказательство. Позже в том же году Ньютон написал десять страниц под заглавием «Движение тел по орбите», где были описаны основные принципы движения тел под воздействием силы, распространяющейся от центрального тела.
Три года спустя Королевское общество опубликовало «Математические начала натуральной философии» (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) Ньютона, несомненно, величайшую книгу в истории физики.
Перелистывая «Математические начала», современный физик может удивиться, увидев, как мало они напоминают современные сочинения по физике. В книге много геометрических чертежей, но мало уравнений. Создается даже ощущение, что Ньютон забыл обо всех своих достижениях в области математического анализа. Но не совсем. Во многих его чертежах можно увидеть некоторые черты, которые предполагаются как бесконечно малые величины или бесконечные ряды. Например, показывая, как работает закон равных площадей Кеплера для любой силы, исходящей из центра, Ньютон представил, что планета получает из центра бесконечное количество импульсов притяжения к центру, каждый из которых отделяется от другого бесконечно малым промежутком времени. Это просто метод расчета, не только корректный, но быстрый и легкий, проводимый с помощью общих формул математического анализа, хотя нигде в «Математических началах» эти формулы так и не появляются. Ньютоновская математика в этой книге не слишком отличается от математики, которую использовал Архимед для того, чтобы высчитать площадь окружности, или Кеплер – для расчета объема бочек с вином.
Стиль «Математических начал» напоминает читателю стиль «Начал» Евклида. Книга начинается с определений{261}:
Определение I
«Количество материи есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объему ее».
То, что в переводе называется «количеством материи», на латинском у Ньютона называлось massa и сегодня также называется «массой». Здесь Ньютон определяет ее как произведение плотности и объема. Хотя он не дает определение плотности, его определение массы остается полезным, потому что читатели могут принять как само собой разумеющееся, что тела из одного вещества, например, железа при данной температуре, будут иметь одинаковую плотность. Как показал Архимед, измерения удельного веса дают значения плотности по отношению к воде. Ньютон отмечает, что мы выводим массу тела из его веса, но не смешивает понятия веса и массы.
Определение II
«Количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе».
То, что Ньютон называет «количеством движения», сегодня называется «импульсом». Ньютон определяет его как произведение скорости и массы.
Определение III
«Врожденная сила материи есть присущая ей способность сопротивления, по которой всякое отдельное тело, поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения».
Далее Ньютон объясняет, что эта сила пропорциональна массе тела и «если отличается от инерции массы, то разве только воззрением на нее». Иногда мы характеризуем массу по ее роли как то качество, которое сопротивляется изменению движения, и называем ее «инертной массой».
Определение IV
«Приложенная сила есть действие, производимое над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движения».
Здесь определяется общая концепция силы, но еще не дается никакого численного значения, которое мы должны приписать данной силе.
В определениях V–VIII определяется центростремительное ускорение и его свойства.
После определений идет «Поучение» (или пояснение), в котором Ньютон отказывается давать определения пространства и времени, но предлагает их описание:
«I. Абсолютное, истинное математическое время само по себе и по своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется длительностью…
II. Абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему-либо внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным».
И Лейбниц, и епископ Джордж Беркли критиковали это определение времени и пространства на основании того, что только относительное положение во времени и пространстве имеет смысл. В «Поучении» Ньютон объясняет, что обычно мы имеем дело с относительными положениями и скоростями, но теперь он получил новый ключ к понятию абсолютного пространства: в ньютоновской механике ускорение (в отличие от положения и скорости) имеет абсолютное значение. Как может быть иначе? Из повседневного опыта известно, что ускорение оказывает свое влияние, и нет никакой необходимости спрашивать: ускорение относительно чего? Из того, что сила отбросила нас на спинки сидений, мы понимаем, что ускоряемся, если находимся в машине, которая резко набирает скорость, независимо от того, смотрим ли мы в этот момент в окно. Как мы увидим далее, в XX в. точки зрения Ньютона и Лейбница на пространство и время были объединены в Общей теории относительности.
Затем Ньютон переходит к трем знаменитым законам движения:
Первый закон
«Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние».
Это уже было известно Гассенди и Гюйгенсу. Не совсем понятно, почему Ньютон решил выделить это положение в отдельный закон, так как Первый закон является тривиальным (хотя и важным) следствием из Второго.
Второй закон
«Изменение количества движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует».
Здесь под «изменением количества движения» Ньютон имеет в виду изменение импульса[21], который он называет «количеством движения» в определении II. В действительности скорость изменения импульса пропорциональна этой силе. Традиционно мы определяем единицы, в которых измеряется сила, так, что скорость изменения импульса фактически равна силе. Поскольку импульс – это масса, умноженная на скорость, скорость его изменения – это масса, умноженная на ускорение. Таким образом, Второй закон Ньютона определяет, что масса, умноженная на ускорение, равна силе, деленной на ускорение. Но знаменитое равенство F = ma в «Математических началах» так и не появляется; таким образом Второй закон был сформулирован европейскими математиками в XVIII в.
Третий закон
«Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе, взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны».
В истинно геометрическом стиле Ньютон приводит серию следствий, выведенных из этих законов. Самое значимое среди них – следствие III, где формулируется закон сохранения импульса (см. техническое замечание 34).
Закончив с определениями, законами и следствиями, Ньютон в Книге I начинает делать из них выводы. Он доказывает, что только центральные силы (силы, направленные к одной точке в центре) заставляют тело двигаться так, чтобы за равные промежутки времени отсекать равные площади; что центральные силы обратно пропорциональны квадрату расстояния и только такие центральные силы производят движение по коническому сечению, то есть по кругу, эллипсу, параболе или гиперболе; что при движении по эллипсу такая сила создает периоды, пропорциональные 3/2 длины большей оси эллипса (которая, как было упомянуто в главе 11, является усредненным по всей протяженности ее пути расстоянием от планеты до Солнца). Таким образом, центральная сила, обратно пропорциональная квадрату расстояния, отвечает за все три закона Кеплера. Также Ньютон заполняет пробелы в своем сравнении центростремительного ускорения Луны и ускорения свободного падения, доказывая в отделе XII части I книги, что сферическое тело, состоящее из частиц, каждая из которых производит силу, обратно пропорциональную квадрату расстояния, производит общую силу, обратно пропорциональную квадрату расстояния до центра сферы.
В конце отдела I Книги I содержится примечательное «Поучение», в котором Ньютон отмечает, что он больше не полагается на понятие бесконечно малых величин (исчезающих количеств). Он объясняет, что «флюксии», такие как скорости, не являются отношениями бесконечно малых величин, как он ранее описывал их, но вместо этого: «Предельные отношения исчезающих количеств не суть отношения пределов этих количеств, а суть те пределы, к которым при бесконечном убывании количеств приближаются отношения их и к которым эти отношения могут подойти ближе, чем на любую наперед заданную разность»{262}. Это, в сущности, современная идея предела, на которой сегодня основывается математический анализ. Единственное, что несовременно в «Математических началах», так это мысль Ньютона о том, что пределы должны изучаться методами геометрии.
Книга II представляет собой длинное описание движения тел в жидкости, главная цель которого – определение законов, управляющих силами сопротивления для таких тел{263}. В этой книге Ньютон развенчивает теорию вихрей Декарта. Затем он переходит к расчету скорости звуковых волн. Его результат в Предложении 49 (о том, что скорость является квадратным корнем из отношения давления и плотности) верен только по порядку величины, поскольку в то время никто не знал, как учитывать изменения температуры во время расширения и сжатия. Но вместе с расчетами скорости океанских волн это было вызывающим интерес достижением – впервые в истории кто-то воспользовался законами физики, чтобы обеспечить более или менее реалистичный расчет скорости волн какого-либо вида.
Наконец, Ньютон переходит к доказательствам из астрономии в Книге III, которая называется «Система мира». В то время, когда вышло первое издание «Математических начал», существовало всеобщее согласие по поводу правильности Первого закона Кеплера, то есть эллиптической формы орбит планет, но все еще оставались некоторые сомнения по поводу Второго и Третьего законов о том, что радиус-вектор от Солнца до планеты описывает равные площади за равные промежутки времени, и о том, что квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит. Кажется, Ньютон зацепился за законы Кеплера не потому, что они были хорошо сформулированы, а потому что подходили к его собственной теории. В Книге III он отмечает, что спутники Юпитера и Сатурна ведут себя соответственно Второму и Третьему законам Кеплера, что наблюдаемые фазы пяти планет (кроме Земли) доказывают, что они обращаются вокруг Солнца, что все шесть планет подчиняются законам Кеплера и что Луна удовлетворяет Второму закону Кеплера{264}. Его собственные тщательные наблюдения кометы 1680 г. показывают, что она тоже движется по коническому сечению: по эллипсу или гиперболе, в любом случае – очень близко к параболе. Из всего этого (и своих более ранних сравнений центростремительного ускорения Луны и ускорения свободного падения тел около поверхности Земли) Ньютон заключил, что существует центральная сила, подчиняющаяся закону обратных квадратов, которая притягивает спутники Юпитера, Сатурна и Земли к планетам, а также все планеты и кометы – к Солнцу. Из того факта, что ускорение производится силой тяжести независимо от природы тела, которое ускоряется, будь это планета, спутник или яблоко, и зависит только от природы тела, производящего силу, и расстояния между ними, а также учитывая тот факт, что ускорение, производимое любой силой, обратно пропорционально массе тела, на которое оно воздействует, Ньютон пришел к выводу, что сила тяготения, действующая на любое тело, должна быть пропорциональна массе тела, что отменяет зависимость от массы тела при расчетах ускорения. Это создает четкое различие между силой тяготения и магнетизмом, который по-разному действует на тела с разным составом, даже когда они имеют одинаковую массу.