191
Основной эффект от эллиптической формы орбит планет состоит по большей части не в самой эллиптичности, а в том, что Солнце находится в фокусе эллипса, а не в центре. Если быть точным, то расстояние между одним из фокусов и центром эллипса пропорционально эксцентриситету, в то время как диапазон изменения расстояний от любой точки на эллипсе до заданного фокуса пропорционален квадрату эксцентриситета, то есть маленький эксцентриситет делает эту разницу расстояний совсем небольшой. Например, для эксцентриситета 0,1 (близкого к эксцентриситету орбиты Марса) наименьшее расстояние от планеты до Солнца всего на 0,5 % меньше, чем наибольшее расстояние. С другой стороны, расстояние от Солнца до центра этой орбиты составляет 10 % среднего радиуса орбиты. (Предлагаю читателю самостоятельно проверить это утверждение автора. – Прим. науч. ред.)
192
J. R. Voelkel and O. Gingerich, Giovanni Antonio Magini's «Keplerian» Tables of 1614 and Their Implications for the Reception of Keplerian Astronomy in the Seventeenth Century, Journal for the History of Astronomy 32, 237 (2001).
193
Имеется в виду Жюль Сезар (Юлий Цезарь) Скалигер, страстный защитник Аристотеля и оппонент Коперника.
194
По кн.: Robert S. Westfall in The Construction of Modern Science – Mechanism and Mechanics (Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1977). P. 10.
195
William H. Donahue, in Johannes Kepler – New Astronomy (Cambridge University Press, Cambridge, 1992), p. 65.
196
Johannes Kepler, Epitome of Copernican Astronomy and Harmonies of the World, trans. Charles Glenn Wallis (Prometheus, Amherst, N.Y., 1995), p. 180.
197
Дальнейший текст показывает, что под средним расстоянием планеты от Солнца Кеплер имел в виду не расстояние, усредненное по времени, по полному периоду обращения планеты, а среднее арифметическое минимального и максимального расстояний между Солнцем и планетой. Как демонстрируется в техническом замечании 18, минимальное и максимальное расстояние от Солнца до планеты равняются, соответственно, (1 – e) a и (1 + e) a, где e – эксцентриситет, и a – половина длинной оси эллипса (или, иначе, большая полуось). Отсюда среднее расстояние равняется просто a. Как доказывается далее в техническом замечании 18, эта же величина является средним расстоянием между Солнцем и планетой, если усреднять по расстоянию, проходимому планетой вдоль своей орбиты.
198
Цит. по: Owen Gingerich, Tribute to Galileo in Padua, International Symposium a cura dell' Universita di Padova, 2–6 Dec. 1992, Vol. 4 (Edizioni LINT, Trieste, 1995).
199
Фокусное расстояние – это длина, которая характеризует оптические свойства линзы. Для выпуклых линз это расстояние позади линзы, на котором проходящие через линзу по параллельным направлениям лучи сходятся в одной точке. Для вогнутых линз фокусное расстояние – это расстояние позади линзы, на котором лучи собрались бы в одной точке, если бы линзы не было, в предположении, что линза превращает эти лучи в параллельные. Фокусное расстояние зависит от кривизны поверхностей линзы и от соотношения скоростей света в воздухе и в стекле (см. техническое замечание 22).
200
Галилео Галилей. Избранные труды: в 2 т. Т. 1 / Пер. и прим. И. Н. Веселовского. – М.: Наука, 1964. С. 14.
201
Угловой размер планет достаточно велик, чтобы лучи с различных точек их дисков, направленные в глаз наблюдателя, проходя сквозь земную атмосферу, располагались на расстояниях, превышающих размер обычных атмосферных возмущений. Таким образом, эффекты нескольких различных возмущений на пути лучей света от отдельных точек диска планеты взаимно не коррелируют и вследствие этого чаще взаимно компенсируются, а не усиливаются. Поэтому мы не видим планеты мерцающими.
202
Галилео расстроился бы, если бы узнал, что именно эти названия прижились в дальнейшем и употребляются в наше время. Так спутники Юпитера назвал в 1614 г. Симон Майр, немецкий астроном, который оспаривал первенство Галилея в их открытии.
203
Галилео Галилей. Рассуждение о телах, пребывающих в воде// Избранные труды: в 2 т. Т. 2/Пер. и прим. И. Н. Веселовского. – М.: Наука, 1964. С. 39.
204
Предположительно, Галилей пользовался не часами, а ориентировался по видимому движению звезд. Поскольку звездам необходимо примерно 24 часа, чтобы совершить видимый оборот вокруг Земли на 360°, изменение положения звезды на один градус указывает на то, что прошла 1/360 часть этого времени, то есть 4 минуты.
205
Современный английский перевод книги: Thomas Salusbury Galileo, Discourse on Bodies in Water, intr. and comm. Stillman Drake.
206
Подробности см.: J. L. Heilbron, Galileo (Oxford University Press, Oxford, 2010).
207
Галилео Галилей. Пробирных дел мастер. – М.: Наука, 1987.
208
Русский пер. цит. по: Кузнецов Б. Г. Галилео Галилей. – М.: Наука, 1964. С. 117.
209
Перевод письма на английский см.: Drake, Discoveries and Opinions of Galileo, pp. 175–216.
210
Дмитриев И.С. Упрямый Галилей. – М.: Новое литературное обозрение, 2018. С. 145.
211
Письма Марии отцу к счастью сохранились. См.: Dava Sobel, Galileo's Daughter (Walker, New York, 1999). Увы, письма Галилея к дочерям утрачены.
212
См.: Annibale Fantoli, Galileo – For Copernicanism and for the Church, 2nd ed., trans. G. V. Coyne (University of Notre Dame Press, South Bend, Ind., 1996); Maurice A. Finocchiaro, Retrying Galileo, 1633–1992 (University of California Press, Berkeley and Los Angeles, 2005).
213
Цит. по: Drake, Galileo, p. 90.
214
Цит. по: Gingerich, Tribute to Galileo, p. 343.
215
Я выступил с докладом на эту тему на том же заседании в Падуя, где Кюн говорил по поводу Аристотеля (цитируется в гл. 4) и где Гингерич, слова которого я привожу здесь, говорил о Галилее. См.: S. Weinberg, в L'Anno Galileiano (Edizioni LINT, Trieste, 1995), p. 129.
216
См.: G. E. R. Lloyd, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, N.S. 10, 50 (1972), напечатано в: Methods and Problems in Greek Science (Cambridge University Press, Cambridge, 1991).
217
Галилео Галилей. Беседы и математические доказательства двух новых наук // Избранные труды: в 2 т. Т. 2/Сост. У. И. Франкфурт; пер. С. Я. Долгова. – М.: Наука, 1964. С. 166.
218
Это справедливо только для малых колебаний маятника, хотя Галилей не упоминал об этом ограничении. Более того, он говорит об изохронизме при отклонениях маятника на 50°–60°, как и при колебаниях с меньшей амплитудой, что говорит о том, что он на самом деле не производил тех экспериментов с маятником, о которых рассказывает.
219
Если говорить буквально, это значило, что любое брошенное тело никогда бы не упало, поскольку, обладая нулевой начальной скоростью в первое бесконечно малое мгновение, оно никуда бы не двинулось. А поскольку скорость пропорциональна пройденному расстоянию, она равнялась бы нулю. Возможно, о скорости, пропорциональной пройденному расстоянию, имеет смысл говорить только после короткого первоначального периода ускорения.
220
Один из аргументов Галилея является ошибочным, потому что относится к средней скорости за период времени, а не к скорости, которая достигается в конце интервала.
221
Это показано в техническом замечании 25. Там объясняется, что, хотя Галилей об этом и не знал, но скорость шара, катящегося по плоскости, не равна скорости тела, свободно падающего с того же расстояния по вертикали, потому что часть энергии, получаемой от вертикального падения, уходит во вращение шара. Но эти скорости будут пропорциональны, так что заключение Галилея о том, что скорость падающего тела пропорциональна затраченному времени, качественно не изменится, если мы примем во внимание вращение шара.
222
См.: Stillman Drake, Galileo (Oxford University Press, Oxford, 1980), p. 33.
223
T. B. Settle, An Experiment in the History of Science // Science 133, 19 (1961).
224
Это заключение Дрейка можно найти в примечании к с.259 книги: Galileo Galilei, Dialogue Concerning the Two Chief World Systems: Ptolemaic and Copernican, trans. Stillman Drake (Modern Library, New York, 2001).
222
См.: Stillman Drake, Galileo (Oxford University Press, Oxford, 1980), p. 33.
223
T. B. Settle, An Experiment in the History of Science // Science 133, 19 (1961).
224
Это заключение Дрейка можно найти в примечании к с.259 книги: Galileo Galilei, Dialogue Concerning the Two Chief World Systems: Ptolemaic and Copernican, trans. Stillman Drake (Modern Library, New York, 2001).
225
См.: Stillman Drake, Galileo at Work – His Scientific Biography (University of Chicago Press, Chicago, Ill., 1978), pp. 128–32; A. J. Hahn, The Pendulum Swings Again: A Mathematical Reassessment of Galileo's Experiments with Inclined Planes // Archive for the History of the Exact Sciences 56, 339 (2002), с репродукцией на p. 344.
226
Carlo M. Cipolla, Clocks and Culture 1300–1700 (W. W. Norton, New York, 1978), pp. 59, 138.
227
Гюйгенс Х. Три мемуара по механике. – М.: Изд. АН СССР, 1951. С. 201.
228
Детальное описание измерений см.: Alexandre Koyré, Proceedings of the American Philosophical Society 97, 222 (1953) и 45, 329 (1955). Также см.: Christopher M. Graney, Anatomy of a Fall: Giovanni Battista Riccioli and the Story of g // Physics Today, Sept. 2012, pp. 36–40.
229
По поводу расногласий относительно законов сохранения см.: G. E. Smith, The Vis-Viva Dispute: A Controversy at the Dawn of Mathematics // Physics Today, Oct. 2006, p. 31.
230
Гюйгенс Х. Трактат о свете, в котором объяснены причины того, что с ним происходит при отражении и преломлении, в частности при странном преломлении исландского кристалла/Пер. с фр., под ред. и с прим. В. К. Фредерикса. – 2-е изд. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. С. 6−7.
231
Цит. по: Steven Shapin in The Scientific Revolution (University of Chicago Press, Chicago, Ill., 1996), p. 105.
232
Ibid, p. 185.
233
См. статью «Leonardo» // Dictionary of Scientific Biography, Charles Coulston Gillespie (Scribner, New York, 1970), Vol. 8, pp. 192–245.
234
Декарт Р. Сочинения: в 2 т. Т. 1 / Сост., ред., вступ. ст. В. В. Соколова. – М.: Мысль, 1989. С. 235.
235
Декарт сравнивал свет с жестким прутом. Когда толкают один его конец, немедленно начинает двигаться и другой. Насчет прутьев он тоже ошибался, хотя и по причинам, в то время неизвестным. Когда толкают один конец прута, с другим ничего не происходит, пока волна сжатия (подобно звуковой волне) не пройдет с одного конца прута на другой. Скорость этой волны возрастает в зависимости от жесткости прута, но Специальная теория относительности Эйнштейна не допускает существования идеально жестких предметов; ни одна волна не может достигнуть скорости, превышающей скорость света. Использование Декартом такого рода сравнения обсуждается Питером Галисоном в статье «Декартовы сравнения: от невидимого к видимому» (Galison P. Descartes comparisons: From the invisible to the visible // Isis. 1984. Vol. 75. P. 311–326).
236
Вольтер. Философские сочинения / Пер. с фр. С. Я. Шейнман-Топштейн. – М: Наука, 1988. С. 134.
237
Декарт Р. Сочинения. Т. 1. С. 250.
238
Напомним, что синус угла – это длина катета, противолежащего данному углу в прямоугольном треугольнике, деленная на длину гипотенузы этого треугольника. Он возрастает при увеличении угла от 0° до 90°, сначала пропорционально самому углу, когда его значения небольшие, а затем растет медленнее.
239
Есть мнение, что аналогия с теннисными мячиками подходит для теории света Декарта, если их сравнить с мельчайшими корпускулами, пронизывающими пространство. См.: John A. Schuster, Descartes Opticien – The Construction of the Law of Refraction and the Manufacture of Its Physical Rationales, 1618–1629, в: Descartes' Natural Philosophy, eds. S. Graukroger, J. Schuster, and J. Sutton (Routledge, London and New York, 2000), pp. 258–312.
240
Аристотель. Сочинения. Т. 3. C. 518.
241
Это делается путем нахождения значения отношения b/R, где ничтожно малые изменения значения b не оказывают влияния на φ, поэтому при таких значениях φ график зависимости φ от b/R в этом месте будет плоским. Это и есть значение b/R, при котором φ достигает максимальной величины (как и любая гладкая кривая, график зависимости φ от b/R, который поднимается до своего максимума, а затем снижается, будет горизонтален в точке максимума. Точка, где кривая не плоская, не может быть максимумом, поскольку если в какой-либо точке кривая растет вправо или влево, то будут точки справа или слева, где значение функции будет выше). Значение φ в промежутке, где кривая зависимости φ от b/R почти плоская, изменяется очень медленно, если мы сдвигаем аргумент b/R, поэтому существует относительно большое количество лучей со значением φ в этом диапазоне.
242
Декарт Р. Сочинения. Т. 1. С. 297.
243
См. Peter Dear, Revolutionizing the Sciences – European Knowledge and Its Ambitions, 1500–1700, 2nd ed. (Princeton University Press, Princeton, N.J., and Oxford, 2009), Chapter 8.
244
L. Laudan, The Clock Metaphor and Probabilism: The Impact of Descartes on English Methodological Thought // Annals of Science 22, 73 (1966). Contrary conclusions were reached in G. A. J. Rogers, Descartes and the Method of English Science // Annals of Science 29, 237 (1972).
245
Richard Watson, Cogito Ergo Sum – The Life of René Descartes (David R. Godine, Boston, Mass., 2002).
246
Когда ему было за пятьдесят, Ньютон нанял в качестве домработницы дочь своей сводной сестры красавицу Катрин Бартон. Несмотря на то что они были близкими друзьями, романтических отношений между ними не было. Вольтер, который был в Англии, когда Ньютон умер, сообщил, что врач Ньютона и «хирург, в руках которого он умер» подтвердили, что у Ньютона никогда не было интимных отношений с женщинами. См.: Вольтер. Философские сочинения. С. 133. Вольтер нигде не указывает, как доктор и хирург узнали об этом.
247
Из речи «Ньютон, Человек», которую Кейнс готовил для собрания Королевского общества в 1946 г. За три месяца до собрания Кейнс скончался, и речь была представлена его братом.
248
См. D. T. Whiteside, ed., General Introduction to Vol. 20, The Mathematical Papers of Isaac Newton (Cambridge University Press, Cambridge, 1968), pp. xi – xii.
249
Вполне сопоставимые усилия Ньютон потратил на эксперименты в алхимии, которую вполне можно было назвать химией, поскольку в те времена разница между ними была незначительной. Как я уже отмечал в связи с Джабир ибн Хайяном в главе 9, до конца XVIII в. не существовало химической теории, которая отвергала бы алхимические превращения, такие как трансформация недрагоценных металлов в золото. Таким образом, хотя работа Ньютона по алхимии не была антинаучной, она не содержала ничего важного.
250
При прохождении света через плоское стекло разделения на разные цвета не произойдет, потому что лучи каждого цвета преломляются под очень маленьким углом и возвращаются на первоначальные направления движения, покидая стекло. Поскольку грани призмы не параллельны, лучи света разных цветов, проходя сквозь призму, преломляются по-разному и, достигая поверхности призмы, выходят из нее под углами, не равными углам преломления или входа, поэтому, когда эти лучи покидают призму, появляются разные цвета.
251
Это натуральный логарифм от 1 + х, то есть степень, в которую постоянная e = 2,71828… должна быть возведена, чтобы в результате получилось 1 + х. Причина такой особенности этого определения в том, что натуральные логарифмы по своим свойствам гораздо проще десятичных логарифмов, где основанием вместо е берется число 10. Например, формула Ньютона показывает, что натуральный логарифм 2 может быть представлен в виде числового ряда 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 +…, тогда как формула десятичного логарифма 2 гораздо более сложна.
252
Из-за пренебрежения членами 3to² и o³ может показаться, что эти расчеты являются только приблизительными, но это неверно. В XIX в. математики научились обходиться без достаточно расплывчатого понятия бесконечно малой величины о и вместо этого стали говорить о точно определенных пределах: скорость – это число, к которому можно приближать функцию [D (t+o) – D (t)] / o настолько, насколько малым нам удобно брать значение o. Как мы увидим далее, Ньютон позже перешел от бесконечно малых величин к современной идее пределов.