Когда все уселись за круглый стол, в центре которого торчал длинный нераскрытый зонтик, Майкл сказал:
– Сейчас я покажу вам, как, имея часы, можно измерить свою широту и долготу.
– Как же? – заинтересовался Андрей, а Галатея, уже успевшая набить рот едой, лишь энергично закивала в знак того, что её это тоже очень интересует.
– Мы это сделаем с помощью зонтика и… – Майкл осмотрел стол, – ветки винограда!
Глаза детей немедленно загорелись. А Майкл оторвал виноградинку от фиолетово-дымчатой кисти и положил её на белую скатерть, на конец тени, которую отбрасывал зонтик. Потом он посмотрел на часы и сказал:
– 12 часов 18 минут. Пока мы обедаем, Солнце пройдёт высшую точку на своём пути. В этот момент тень будет самой короткой, и мы должны засечь это время. Будем измерять длину тени каждые четыре минуты.
Они принялись обедать, не забывая выкладывать по скатерти длинный ряд виноградин. Кое-где чашкам и тарелкам пришлось потесниться, но все, включая Дзинтару, энергично расчищали путь астрономическим ягодам, которые образовали плавную дугу, огибающую зонтик. Майкл прищурил глаз, потом поколдовал с ниткой, привязанной к основанию зонтика, используя её как циркуль, – и указал на одну из виноградин:
– Вот – она ближе всех к зонтику.
Он подсчитал номер этой виноградины от начала наблюдений – одиннадцатая – и заключил:
– Солнце достигло максимальной высоты в двенадцать часов и пятьдесят восемь минут.
– И что дальше? – спросила Галатея, доедая жаркое с картофельным пюре.
– А вот что, – сказал Майкл и взялся за телефон. – Я позвоню своему сыну, Роберту. Он сейчас в Лондоне и, думаю, не откажется нам помочь.
Роберт откликнулся почти сразу.
– Привет, сын, ты сейчас где?
– Гуляю с друзьями по Кембриджу.
– А не мог бы ты съездить в Гринвичскую обсерваторию. Это недалеко от тебя.
– Конечно, могу. А зачем?
– Я прошу тебя засечь время самой короткой тени от какой-нибудь заостренной длинной палки, а также измерить угол тени – вернее, отклонение Солнца от вертикали в этот момент. У нас время самой короткой тени было в 12 часов 58 минут.
Роберт заинтересовался, задал несколько вопросов и замолчал на пару минут. Потом он громко сообщил, что все его приятели, оказывается, давно хотели посмотреть на легендарную Гринвичскую обсерваторию – и что они, все как один, горят желанием принять участие в эксперименте по измерению тени.
Галатея едва дождалась конца разговора Майкла с сыном и нетерпеливо воскликнула:
– Но ведь они опоздали! Время короткой тени уже прошло!
Майкл отрицательно покачал головой:
– Оно прошло на нашей долготе. На долготе Лондона Солнце ещё не забралось на вершину своей траектории.
– Ах, вот оно что… – протянул Андрей и стал горячо объяснять сестре, почему лондонцы отстают от них.
– Давайте измерим угол тени, – сказал Майкл. Он вынул из кармана ключи с брелком и вытянул из брелка тонкую измерительную нить. – Определяем высоту зонтика над поверхностью стола, потом – длину кратчайшей тени. Если длину тени поделить на высоту зонтика, то получим тангенс верхнего угла в треугольнике, образованного зонтиком, тенью на столе и солнечным лучом, который скользнул по концу зонтика. С помощью калькулятора легко вычислим, что угол отклонения солнечного луча от вертикали – 29 с половиной градусов.
– Я не знаю, что такое тангенс! – насупилась Галатея.
– Тангенс – это очень простая штука, я сейчас объясню, – сказал Майкл. – Вот смотри, предположим, что длина нашей тени равна длине зонтика. Чему равен верхний угол в таком треугольнике?
– Это я знаю, – облегченно сказала Галатея. – Такой треугольник стал половиной квадрата, значит, верхний угол стал равен половине прямого угла, или 45 градусам.
– Верно! – просиял Майкл и быстро написал на листке бумаги слева 45 градусов, а справа единицу – результат деления тени на зонтик. – А если длина тени стремится к нулю, то и угол равен нулю! – И Майкл добавил два нуля в таблицу – только в самый низ страницы. – Теперь будем задаваться другими значениями отношения длины тени и зонтика – от единицы до нуля, а потом станем измерять получившиеся углы. Так мы заполним все строчки в таблице. Например, для длины тени вползонтика мы можем измерить верхний угол – и он окажется равным 26,6 градуса. Можешь ли ты, Галатея, заполнить такую таблицу сама, если я дам тебе линейку для черчения треугольников и угломер для измерения углов?
– Конечно, могу, – заявила Галатея. – Это и кошка смогла бы сделать.
– Прекрасно! – улыбнулся Майкл. – Теперь представь, что какой-то древний математик сделал это впервые, посмотрел на получившуюся таблицу и сказал: «Отношение горизонтальной и вертикальной сторон в таком прямоугольном треугольнике является функцией верхнего угла. Отныне пусть эта функция называется тангенсом!»
– Вот так просто? – не поверила ушам Галатея. – Взять составить таблицу примитивных измерений и объявить это тангенсом?
– Да, только надо сделать это первым. А потом надо ввести эту таблицу во все калькуляторы. И теперь, когда я сообщаю калькулятору, что верхний угол в моём треугольнике равен 29 с половиной градусов, то он сразу сверяется с таблицей тангенсов и отвечает, что длина тени составляет… э-э-э… примерно 56,5 процента от длины зонтика.
– Если я возьму и составлю таблицу верхнего угла и отношений горизонтальной тени не к длине зонтика, а к длине наклонной линии в этом треугольнике, это ведь будет другая функция? – спросила недоумевающая Галатея.
– Конечно! – воскликнул Майкл. – Это будет функция, которая называется синусом! Ты самостоятельно переоткрыла новую тригонометрическую функцию!
Галатея польщенно хмыкнула и напряженно впилась взглядом в таблицу.
– Неужели до сих пор не понятно? – поддел её Андрей. – Кошка бы уже поняла!
Потом он повернулся к Майклу и спросил:
– Значит, арктангенс – это наша таблица, только читаемая в другую сторону?
Майкл согласился:
– Да, я могу сначала посмотреть на отношение длины зонтика и тени, а потом найти по таблице величину верхнего угла. Эта процедура будет называться вычислением арктангенса.
– Постойте-постойте! – воскликнула Галатея. – Объясните мне вот что…
Дети спорили про синусы и тангенсы до тех пор, пока не принесли вкуснейшие пирожные и душистый чёрный чай с мятой. А Дзинтара наклонилась к Майклу и тихо сказала:
– Спасибо за то, что открыл для детей тангенс!
Пока то да сё – время пролетело, и позвонил Роберт.
– У нас Солнце достигло максимальной высоты в 1 час и 4 минуты!
Майкл уточнил:
– По гринвичскому времени, которое отстаёт от нашего на целый час, так как располагается в другом часовом поясе?
– Да.
– Итак, гринвичский полдень настал позже нашего на 1 час и 4 минуты. Земля делает оборот в 360 градусов за 24 часа. Следовательно, запаздывание максимального подъёма Солнца на один час соответствует смещению по долготе на 15 градусов, а запаздывание на 4 минуты – на один градус. Значит, между нами и Гринвичским меридианом расположено примерно 16 градусов. А так как долгота Гринвичского меридиана, по взаимному соглашению, – ноль, то это означает, что наша долгота – 16 градусов восточной долготы. Роберт, а какой угол отбрасывала ваша тень в этот момент?
– 41,5 градуса отклонения от вертикали.
– А у нас 29,5. Значит, разница в широтах между нами и Гринвичем – 12 градусов. Каждый моряк знает, что широта Гринвича – 51,5 градуса, и легко найдёт нашу широту – 39,5 градуса северной широты. Если бы у меня были таблицы, в которых было бы указано время достижения максимальной высоты Солнца в Гринвиче каждый день, то я бы смог определить свои координаты без звонка Роберту. Такими таблицами, предсказывающими положение Солнца на год вперёд, и пользовались моряки прошлых веков, замеряя по своим часам время максимальной высоты Солнца в неведомых краях, куда их заносила судьба моряка.
– Здорово! – восхищённо сказал Андрей.
А Галатея недоверчиво покачала головой, попросила принести карту Европы и поползла – или поплыла? – по ней, пыхтя, как древний паровой буксир. Потом спросила:
– Предположим, что мы перелетели из Бельведере-Мариттимо в Валенсию, которая расположена на нашей широте, но возле нулевой долготы. Солнце в Лондоне и в Валенсии достигнет максимальной высоты одновременно?
– Да, между этими городами существует лишь разница в широте. Кстати, ты можешь определить по карте расстояние между Валенсией и Лондоном?
Галатея с помощью линейки и Андрея измерила расстояние между английским Лондоном и испанской Валенсией:
– 1335 километров!
– Отлично! – обрадовался Майкл. – А вот теперь догадайтесь, как можно определить длину окружности Земли, зная, что между широтами Лондона и Валенсии разница в 12 градусов, а расстояние между этими городами составляет 1335 километров? Такую задачку в своё время решил Эратосфен – для двух египетских городов, расположенных примерно на одной долготе.
Дети задумались. Первым сообразил Андрей:
– 12 градусов – это одна тридцатая окружности в 360 градусов! Значит, длина земной окружности в 30 раз больше, чем расстояние между Лондоном и Валенсией. Это будет… 1335 умножить на 30… это будет 40 тысяч километров и ещё… ещё 50 километров!
Майкл восхитился:
– Прекрасный, очень точный результат!
Галатея немедленно надулась на Андрея. А тот сказал:
– Оказывается столько интересного можно узнать, всего лишь измеряя длину тени!
Майкл, кивнув, сказал:
– Астрономическая обсерватория необязательно должна оснащаться телескопом. Даже с помощью простейших приборов можно сделать ценные астрономические измерения. Если определять длину тени на земле в течение года, как это делали древние, то можно вычислить важнейшие астрономические параметры Земли – например, узнать наклон её оси вращения.
– Как это сделать? – заинтересованно спросила Галатея.
– Зимой верхний угол тени от зонтика будет самым большим, летом – самым маленьким. Половина разницы между большим и маленьким углом будет равна углу наклона земной оси.
Галатея была потрясена:
– Я замерю половину угла между зимней и летней тенями от своего зонтика, и это и будет наклон всей нашей огромной Земли? Вот какой я угол найду, таким и будет наклон всей планеты?!
– Да, планета послушается тебя беспрекословно, – улыбнувшись, подтвердил Майкл.
Галатея так и села, распахнув голубые глаза шире некуда.
– А что ещё можно определить по тени?
– Тень – ценнейший астрономический инструмент. С её помощью можно вычислить и период обращения Земли вокруг Солнца.
– То есть – определить длину года? – переспросил Андрей.
Майкл кивнул.
– А зачем её определять? – поинтересовалась Галатея. – Календарь же есть – в году 365 дней.
– Но ведь кто-то составил ПЕРВЫЙ календарь на земле – и этот кто-то был астрономом, наблюдающим за движением Солнца и теней от предметов. Кстати, точная длина года НЕ РАВНА 365 дням, и в этом-то и заключается вся трудность составления календаря. Наблюдая за местом восхода и захода солнца – то есть отмечая направления тени на рассвете и закате, можно определить и дату равноденствия, когда день равен ночи.
– Что ещё? – вошла во вкус Галатея.
Майкл задумался.
– Теоретически, научившись ОЧЕНЬ точно определять длину тени, можно находить и небольшие колебания оси Земли – так называемые колебания Чандлера. Тень – или наклон солнечного луча – может дать информацию и об изменении расстояния Солнце – Земля, то есть об эксцентриситете – или несферичности – земной орбиты. Но я тут не специалист и не уверен, что можно с такой точностью измерить длину расплывчатой тени от Солнца.
– Мама, мы должны забрать наш обеденный стол под астрономические наблюдения с тенью! – решительно заявила Галатея, повернувшись к матери.
– Не отдам! – не менее решительно потрясла головой Дзинтара. – Это мой любимый стол. Я лучше вам покажу ровную бетонную площадку возле фонтана, где вы сможете установить свое оборудование и ловить уползающую тень в своё удовольствие. Но если вы хотите отмечать тень каждые четыре минуты, то вам придется проводить на площадке весь день. А уроки и школа?
– Действительно! – огорчилась Галатея. – Что же делать?
– Не волнуйся, – сказал Андрей. – Я установлю возле зонтика фотоаппарат и запрограммирую его на фотографирование тени каждые полминуты. А после уроков мы просмотрим эти фотографии. Их можно даже превратить в фильм про движение тени. А с процессором в фотоаппарате я договорюсь – и он сам будет измерять нужные углы.
– Молодец! – одобрила изобретательность сына Дзинтара.
Потом Майкл спросил у Галатеи:
– Теперь тебе понятно, как аккуратные часы, которые ходят одинаково в разных точках мира, могут помочь в определении широты и долготы?
– Ну зачем ты спрашиваешь, Майкл! – укоризненно сказала Галатея. – Это же так просто! Проще может быть только тангенс.
Примечания для любопытных
Гибралтар – заморская территория Англии, расположенная на берегу Гибралтарского пролива, отделяющего Европу от Африки.
Ла-Манш, или Английский канал, – пролив между Англией и Францией.
Карл II (1630–1685) – король Англии и Шотландии с 1660 года.
Людовик XIV (1638–1715) – французский король, прозванный «король-солнце». Царствовал 72 года – дольше всех европейских монархов.
Джон Флемстид (1646–1719) – королевский астроном, первый директор Гринвичской обсерватории.
Луиза де Керуаль (1649–1734) – фаворитка короля Карла II.
Клодсли Шовелл (1650–1707) – английский адмирал. Погиб при крушении флагманского корабля.
Джеймс Брэдли (1692–1762) – английский королевский астроном с 1742 года.
Джон Харрисон (1693–1776) – талантливый английский часовщик, который более пятидесяти лет потратил на создание точного морского хронометра.
Леонард Эйлер (1707–1783) – знаменитый математик. Родился в Швейцарии, работал в России и Берлине. Автор более 800 научных работ.
Алекси Клеро (1713–1765) – французский математик и астроном.
Тобиас Майер (1723–1762) – немецкий астроном, известный своими исследованиями Луны.
Невил Маскелайн (1732–1811) – английский астроном, с 1765 года – директор Гринвичской обсерватории. В 1766 году основал британский астрономический ежегодник, публикующий точные эфемериды планет и Луны.
Джеймс Кук (1728–1779) – английский капитан, совершивший два кругосветных путешествия. Открыл Гавайские острова и был убит туземцами в своём третьем плавании вокруг земного шара.
Сет Чендлер (1846–1913) – американский астроном, открывший колебания оси Земли с периодом в 430 дней и размахом в несколько метров. Причина существования таких колебаний до сих пор неизвестна.
Сказка о музыканте Гершеле, который расширил космос вдвое
Ньютон, основатель современной науки и её математических методов, умер в 1727 году, но джинн научного и технического прогресса, которого выпустил на волю фермер Ньютон, продолжал раскручивать маховик истории, всё ускоряя и ускоряя его. Каждый год приносил какое-нибудь яркое достижение в науке и технике:
1728 – английский часовщик Джон Харрисон (1693–1776) сконструировал пружинный маятник с частотой качания, не зависящей от температуры.
1729 – англичанин Джеймс Брэдли открыл аберрацию – смещение звёзд из-за движения Земли и конечности скорости света.
1730 – французский хирург Георг Мартин (1702–1741) сделал первую трахеотомию – операцию с разрезом дыхательного горла.
1731 – английский астроном Джон Бэвис (1695–1771) открыл звёздную туманность Краб (обозначенную позже как объект M1 в каталоге Мессье).
1733 – англичанин Джон Кей (1704–1764) запатентовал «летучий челнок», который революционизировал ткацкую промышленность.
1734 – французский учёный Рене Реомюр (1683–1757) опубликовал книгу о насекомых, основав тем самым науку энтомологию.
1735 – шведский химик Георг Брандт (1694–1768) впервые в истории открыл металл, ранее полностью неизвестный людям, – кобальт. В этом же году английский учёный Джордж Гадлей (1685–1768) догадался, что в земной атмосфере существуют две огромные ячейки циркуляции (ныне ячейки Гадлея): воздух, нагретый на экваторе, поднимается вверх и растекается на большой высоте на север и на юг. На северной и на южной широтах в 30 градусов остывший воздух снова опускается и возвращается к экватору – погреться.
1736 – француз Шарль Мари де ла Кондамин (1701–1774), математик и путешественник, во время своего путешествия по джунглям Амазонки увидел, как индейцы собирают и изготавливают каучук.
1738 – швейцарец Даниил Бернулли (1700–1782) заложил основы теории газов, предположив, что они состоят из мелких и быстрых частиц материи.
* * *1738 год был отмечен и тем, что у немецкого музыканта Гершеля, который увлекался звёздным небом, родился сын Вильгельм. Мальчик был музыкально одарён и к четырнадцати годам уже профессионально играл на скрипке и гобое. Вильгельм служил музыкантом в военном оркестре. Ему было всего девятнадцать, когда его полк послали в Англию. Его младшая сестра Каролина Лукреция Гершель была двенадцатью годами моложе Вильгельма и очень любила своего старшего брата. Когда он уезжал за море, в далёкую страну, девочка безутешно плакала. И Вильгельм поклялся сестре, что он обязательно вернётся за ней.
Клятвы, данные детям, никто из взрослых не держит – чего только не скажешь второпях, чтобы ребёнок не плакал?
– Это неправда! Мама, ты всегда выполняешь свои обещания! – возмутилась Галатея.
– Я стараюсь, но так написано в сказке, которую я читаю, – улыбнулась Дзинтара и продолжила: – Война, сотрясавшая Европу, развеяла по разным странам всех братьев Каролины. Отец семейства умер, и повзрослевшую Каролину ждало безрадостное будущее. В восемнадцатом веке девушкам из бедных семей не полагалось думать о серьёзной профессии. Их обычным уделом были мечты о замужестве, кухня и шитьё.