101 головоломка - Перельман Яков Исидорович 4 стр.

Рис. 53. Заготовка для квадрата.

Рис. 54. Еще одна заготовка для квадрата.

59. Четыре колодца

На квадратном участке земли имеются четыре колодца: три рядом, близ края участка, и один в углу (рис. 55) – Участок перешел к четырем арендаторам, которые решили разделить его между собой, но так, чтобы у всех были участки совершенно одинаковой формы и чтобы на каждом из них находился колодец.

Рис. 55. Как разделить землю и колодцы?

Можно ли это сделать?

60. Куда девался квадратик?

В заключение наших занятий с разрезанием фигур покажу читателю интересный пример разрезания, при котором неизвестно куда исчезает кусочек фигуры.

На клетчатой бумаге вычерчиваю квадрат, заключающий 64 маленьких квадратика. Затем провожу косую линию слева направо, начиная с той точки вверху, где сходятся первый и второй квадратики, и кончая правым нижним углом большого квадрата.

Рис. 56. Куда исчез один квадратик?

Противоположный конец этой косой линии разрежет пополам последний квадратик справа, и в нем образуются два треугольничка. Нижний треугольничек обозначим буквой С. Всю левую часть чертежа обозначим буквой А, правую – буквой В. Теперь разрезаю чертеж по косой линии и двигаю правую часть косо вверх по разрезу так, чтобы эта часть поднялась на один ряд квадратиков. Вверху окажется при этом маленький пустой треугольничек, а внизу направо будет выдаваться треугольничек С. Беру ножницы, отрезаю выступающий маленький треугольничек С и помещаю его вверху – там, где остался незанятый треугольник. Он приходится сюда как раз впору. У нас получился прямоугольник, имеющий 7 квадратиков в высоту и 9 квадратиков в ширину. Но 7 х 9 = 63. Значит, наш прямоугольник заключает теперь всего 63 квадратика, между тем как прежде их было 64. Куда же девался один квадратик?

Решения задач 51-60

51. Нужно разрезать флаг по ступенчатой линии, обозначенной на рис. 57а.

Теперь остается только передвинуть нижнюю часть флага вверх на одну ступеньку и сшить. Получается флаг уже не с 12 полосами, а с 10, рис. 57б. Он стал более продолговатым, но ни одного клочка материи не пропало.

Рис. 57 а, б. Как разрезать и перекроить пиратский флаг.

52. Сестра разрезала квадратный кусок материи на 4 части так, как показано на рис. 58а. Пунктиром обозначены линии разреза от вершин квадрата к середине его сторон.

Рис. 58 а, б. Как раскроить квадрат, чтобы из него можно было сшить крест.

Из этих четырех кусков сестра сшила крест (рис. 58 б). Как видите, в нем всего два шва.

53. Вот как сестра сшила крест из обрезков:

Рис. 59. Как сшить крест из обрезков.

54. Способ, каким сестра вырезала малый крест из большого и составила еще один крест из обрезков, показан на рис. 60.

Рис. 60. Как выкроить два малых креста из одного большого.

55. Сделать надо так, как показано на рис. 61. Получаются 6 частей, которые для наглядности пронумерованы.

Рис. 61. Как разделить полумесяц (лунный серп).

56. Решение видно из прилагаемого рис. 62. Обе части разделенной «запятой» равны между собой, потому что составлены из одинаковых частей.

Рис. 63 показывает, как составить круг из двух «запятых» – белой и черной.

Рис. 62. Как разделить «запятую» на две равные (по площади) части.

Рис. 63. Как составить круг из двух «запятых» – белой и черной.

Рис. 64. Развертки куба.

58. Решение первой задачи видно из рис. 65. А вот как составляется квадрат из 5 треугольников (рис. 66). Один треугольник предварительно разрезают, как показано на рис. 66 б.

Рис. 65. Квадрат, составленный из четырех треугольников и одного малого квадрата.

Рис. 66 а, б. Квадрат, составленный из пяти треугольников.

59. Способ раздела земли между четырьмя арендаторами обозначен сплошными линиями на рис. 67.

Рис. 67. Раздел земли и колодцев.

60. Секрет непонятного исчезновения 64-го квадратика открывается сразу, стоит только тщательнее исполнить рисунок.

Рис. 68. Тайна исчезнувшего квадратика.

Вглядитесь пристально в приложенный здесь чертеж – вы заметите, что прямоугольник вовсе не составлен из 64 квадратов, как кажется при неотчетливо исполненном чертеже. Те «квадраты», которые расположены вдоль косой линии разреза, совсем не квадраты: каждая из этих фигур по площади немного больше соответствующего квадратика, из суммы этих избытков и слагается недостающая площадь будто бы исчезнувшего квадратика. Подтасовка выступит яснее, если разграфить фигуру не на 64 квадратика, а всего на 4 х 4 = 16 квадратиков. Наоборот, чем на большее число частей разграфлена фигура, тем труднее уловить ошибку.

Десять замысловатых задач

61. Дешевый сторож

Арендатору большого фруктового сада понадобилось на целые сутки отлучиться как раз в ту пору, когда яблоки поспели и представляли наибольший соблазн для любителей полакомиться на чужой счет. Необходимо было нанять на эти сутки сторожа. Скупой арендатор долго выбирал сторожа подешевле, пока не напал на такого, который вовсе не просил денег, а довольствовался уплатой яблоками. Это понравилось арендатору.

– Сторожить нужно целые сутки без смены и перерыва, никуда не отлучаясь. Поспать успеете потом, когда отдежурите.

– Хорошо, буду без смены. Но платить вам придется не ровно: за каждый следующий час вдвое больше против предыдущего.

Рис. 69

– Это бы можно; но сколько же вы хотите за первый час?

– Уж чего меньше: одно яблоко на первый час дадите, и достаточно. За второй – два яблока положите, и довольно. За третий – четыре, и хватит. За четвертый…

– Ладно, – поспешил согласиться арендатор. – «Если этот чудак так же честен, как нерасчетлив, то я, кажется, сделал выгодное дело: за несколько десятков яблок достал сторожа на целые сутки», – подумал он, уходя. Сторож был нанят, и арендатор спокойно уехал, радуясь тому, что на свете есть люди, не умеющие считать. Когда спустя сутки арендатор возвратился к своему саду, он увидел у ворот телегу, на которую его сторож ссыпал один мешок яблок за другим.

– Это что такое, – накинулся на него арендатор. – Я вас нанимал сторожить, а не грабить. Куда увозите мои яблоки?

– Были ваши, теперь мои, – спокойно ответил сторож. – Забыли, небось, уговор?

– Уговор? Да разве по нашему уговору вам за одни сутки следует яблок целый воз? Считать не умеете…

– И не один воз следует. Сами считать не умеете.

– Не один воз! Что за вздор! Уж не все ли яблоки моего сада?

– Не только вашего. Во всем городе не закупите яблок, чтобы со мной расплатиться. Возов тысячи три понадобится, не меньше.

– Три тысячи возов яблок? За одни сутки? Ничего не понимаю…

62. Крестьянка и паровоз

Машинист железнодорожного состава задолжал крестьянке за молоко и уклонялся от платежа. Молочница долго ждала и наконец придумала, что делать.

Однажды, когда пары были уже разведены и поезд должен был тронуться, она стала у паровоза и заявила машинисту:

– Отдавай сейчас долг, иначе не пущу поезд!

Машинист, разумеется, только усмехнулся, услыхав такую угрозу.

Но женщина не шутя намеревалась не дать поезду тронуться с места.

И что же? Машинист пустил в ход машину, но паровоз ни с места. Машина работает, а поезд стоит, словно заколдованный.

– Отдай деньги – пущу поезд! – с торжеством объявила крестьянка.

Пришлось машинисту заплатить долг полностью; тогда только поезд тронулся.

В чем же состояло «колдовство» молочницы, и как оно было ею снято?

63. Путешествие шмеля

Шмель отправляется в дальнее путешествие. Из родного гнезда он летит прямо на юг, пересекает речку и, наконец, после целого часа пути спускается на косогор, покрытый душистым клевером. Здесь, перелетая с цветка на цветок, шмель остается полчаса.

Теперь надо посетить сад, где он вчера заметил цветущие кусты крыжовника. Сад лежит на запад от косогора, и шмель спешит прямо туда. Спустя 3/4 часа он уже в саду. Крыжовник в полном цвету; на то, чтобы посетить все цветы, уходит полтора часа. А затем, не отвлекаясь в стороны, кратчайшей дорогой летит домой, в родное гнездо.

Рис. 70.

Сколько времени отсутствовал шмель?

Рис. 70.

Сколько времени отсутствовал шмель?

64. Ящик

У меня есть ящик, и я могу вам сказать, что крышка его заключает 120 квадратных дюймов, передняя стенка – 96, а боковая – 80.

Можете ли вы определить, каковы размеры моего ящика, т. е. сколько он имеет в длину, ширину и высоту?

65. Две цепи

Найдены два обрывка железной цепи, составленные из одинаковых звеньев. Один обрывок, будучи растянут, занимает в длину 36 см, другой – 22 см. Толщина кольца – полсантиметра. В длинной цепи на 6 звеньев больше, чем в короткой.

Сколько звеньев в каждом обрывке?

Рис. 71. Мой ящик.

66. Мешки с мукой

Мельнику потребовалось взвесить 5 мешков с мукой. У него имелись весы, но не хватало некоторых гирь, и поэтому невозможно было взвесить меньше, чем 100 кг. Мешки же весили около 60 кг каждый.

Мельник не растерялся и стал взвешивать мешки по два, парами. Из 5 мешков можно составить 10 различных пар: поэтому пришлось сделать 10 взвешиваний. Получился ряд чисел, который приведен здесь в возрастающем порядке:

110 кг, 112 кг, 113 кг, 114 кг, 115 кг,

116 кг, 117 кг, 118 кг, 120 кг, 121 кг.

Но сколько же весит каждый мешок в отдельности? Как это узнать?

Мельник справился с задачей довольно быстро. Вероятно, и вы догадаетесь, как она решается.

67. Три дочери и два сына

Дядя приехал навестить своих двух племянников и трех племянниц, которых давно не видел.

Первыми вышли к нему маленький Володя с сестренкой Женей, и мальчуган гордо объявил дяде, что он в два раза старше своей сестры.

Затем выбежала Надя, и вошедший с нею папа сказал гостю, что обе девочки вдвое старше мальчика.

Когда пришел из школы Алеша, папа объявил, что мальчики вместе вдвое старше обеих девочек.

Позднее всех пришла Лида и, увидев гостя, радостно воскликнула:

– Дядя, вы приехали как раз в день моего рождения! Мне сегодня исполнился 21 год!

– И знаете еще что, – прибавил отец, – я сейчас сообразил, что мои три дочери вместе вдвое старше обоих моих сыновей.

Сколько же лет было каждому сыну и каждой дочери?

68. Две свечи

Внезапно погас электрический свет во всей квартире – испортилась проводка. Чтобы не прерывать работы, я зажег две свечи, стоявшие на моем письменном столе на всякий случай, и при их свете занимался до тех пор, пока проводка не была приведена в исправность.

Спустя день мне понадобилось узнать, на сколько именно времени было прервано электрическое освещение. Я забыл отметить по часам, когда выключили свет и когда его включили снова. Не помнил я и длины свеч. Знаю только, что одна свеча была потолще, такие свечи сгорают целиком за 5 часов, другая – потоньше и могла бы сгореть за 4 часа. Ищу огарки – и не нахожу: домашние выбросили их.

– Какой же они были длины? – спрашиваю у них.

– Один был совсем маленький, а другой побольше.

– Во сколько же раз больше? Вдвое?.. Не помните ли этого? – допытывался я.

– Ровно в четыре раза, – ответили мне. Итак, стало известно только то, что один огарок был в четыре раза длиннее другого. Возможно ли на этом основании определить, сколько времени горели свечи?

69. Девятьсот поклонов

В одной школе обучалось вдвое больше девочек, чем мальчиков. Заведующий ввел обычай: ежедневно поутру каждый мальчик должен был делать поклон заведующему, каждому из своих товарищей-мальчиков и каждой девочке, каждая девочка также должна была делать поклон заведующему, каждой своей подруге и каждому мальчику. Этот церемонный обычай строго соблюдался, и поэтому ежедневно утром можно было насчитать 900 поклонов. Сколько было в школе мальчиков и девочек?

70. Наследство раджи

Некий раджа, умирая, оставил свои брильянты сыновьям. В завещании его дети прочитали: старший сын получает 1 брильянт и седьмую долю всех остальных; второй сын получает 2 брильянта и седьмую долю всех остальных; третий сын – 3 брильянта и седьмую долю всех остальных; четвертый – 4 брильянта и седьмую долю всех остальных и т. д. Таким образом наследство было разделено между сыновьями без остатка.

Сколько сыновей было у раджи и сколько он оставил брильянтов?

Решения задач 61-70

61. Сторож рассчитал совершенно правильно: ему действительно причиталось даже более трех тысяч возов яблок, как это ни невероятно.

В самом деле. Проследим, как возрастало вознаграждение сторожа с каждым часом.

За 1-й час сторож должен был получить яблоко, за 2-й час – 2 яблока, за 3-й час – 4 яблока, за 4-й – 8, за 5-й – 16, за 6-й – 32, за 7-й – 64, за 8-й – 128, за 9-й – 256, за 10-й – 512.

Пока еще вознаграждение как будто не грозит арендатору разорением: за первые 10 часов сторожу причиталось всего около полутысячи яблок.

Но продолжим исчисление.

За 11-й час сторожу следовало 1024 яблока, за 12-й– 2048, за 13-й– 4096, за 14-й– 8192, за 15-й– 16 384.

Накапливается внушительное число яблок, но все же до трех тысяч возов еще далеко.

Далее.

За 16-й час следовало 32 768 яблок.

За 17-й —»-»– 65 536 —»—

За 18-й —»-»– 131 072 —»—

За 19-й —»-»– 262 144 —»—

За 20-й —»-»– 524 288 —»—

Арендатор уже должен сторожу свыше полумиллиона яблок. Но сутки не кончены – остается еще 4 часа.

За 21-й надо было уплатить 1 048 576 яблок

За 22-й —»-»-»– 2 097 152 —»—

За 23-й —»-»-»– 4 194 304 —»—

За 24-й —»-»-»– 8 388 608 —»—

Теперь нужно сложить все эти числа от 1 до 8 388 608. Получаем 16 777 215 яблок. Итак, сторожу за одни сутки следовало согласно уговору почти 17 миллионов яблок! Чтобы только пересчитать такое количество яблок по одному в секунду, понадобилось бы полгода непрерывного счета! Полагая по 10 яблок на килограмм, узнаем, что все причитающиеся сторожу яблоки должны были весить 1 677 721 кг, или 1678 тонн.

Это составило бы вагонов 80, груженных яблоками, или, считая по полтонны на воз, свыше 3000 возов. Не правда ли, можно было найти сторожа и подешевле?

62. Крестьянка не дала поезду отправиться в путь тем, что смазала маслом рельсы впереди паровоза. По скользким рельсам не могут катиться колеса паровоза; они вертятся на одном месте, но не катятся вперед, так как нет трения, благодаря которому колеса словно цепляются за рельсы. Вспомните, как трудно ходить по гладкому льду: ноги скользят, не находя опоры, и мы не можем сдвинуться с места. По той же причине не мог сдвинуться и паровоз. Когда же машинист уплатил долг, крестьянка «сняла колдовство», посыпав смазанные рельсы песком. История эта, конечно, могла произойти только в давнее время; на современных паровозах имеются специальные песочницы, из которых машинист с помощью особого приспособления высыпает песок на рельсы, когда они становятся скользкими, например, от дождя.

63. Задача решалась бы очень просто, если бы было известно, сколько времени понадобилось шмелю на перелет из сада в родное гнездо. Этого в задаче не сказано, но геометрия поможет нам самим узнать необходимые данные.

Начертим путь шмеля. Мы знаем, что шмель летел сначала «прямо на юг» в течение 60 мин. Затем он летел 45 мин «на запад», т. е. под прямым углом к прежнему пути. Оттуда «кратчайшей дорогой», т. е. по прямой линии – обратно к гнезду. У нас получился прямоугольный треугольник ABC, в котором известны оба катета, АВ и ВС, и надо определить третью сторону, – гипотенузу АС. Геометрия учит, что если какая-нибудь величина содержится в одном катете 3 раза, а в другом – 4 раза, то в третьей стороне – гипотенузе – та же величина должна содержаться ровно 5 раз.

Рис. 72. Маршрут шмеля.

Например, если катеты треугольника равны 3 и 4 м, то гипотенуза равна 5 м; если катеты равны 9 и 12 км, то третья сторона равна 15 км и т. п. В нашем случае один катет равен 3x15 мин пути, другой – 4 х 15 мин пути; значит, гипотенуза АС равна 5x15 мин пути. Итак, мы узнали, что из сада к гнезду шмель летел 75 мин, то есть 11/4 часа. Теперь легко уже подсчитать, сколько времени шмель отсутствовал. На перелеты он потратил:

На остановки у него ушло времени:

Итого: 3 часа + 2 часа = 5 часов. 64. Поверхность крышки равна произведению длины ящика и его ширины; поверхность боковой стенки равна высоте х ширину; поверхность передней стенки – высоте х длину. Таким образом,

длина × ширина = 120;

высота × ширина = 80;

Перемножим первые два равенства. Получим:

длина × высота × ширина × ширина = 120 × 80.

Разделим это новое равенство на 3-е:

Сократив дробь и произведя действия, имеем

ширина × ширина = 100.

И, следовательно, ширина ящика равна 10 см. Зная это, легко определить, что высота ящика равна

80: 10 = 8 см, а его длина = 96: 8 = 12 см.

65. Вы не решите этой простой задачи, если не уясните себе сначала, из чего складывается длина цепи. Всмотритесь в рис. 73.

Вы видите, что длина натянутой цепи складывается из полной ширины первого звена, к которой с присоединением каждого нового звена прибавляется не полная ширина звена, а ширина звена без его двойной толщины. Теперь перейдем к нашей задаче.