Вы видите, что длина натянутой цепи складывается из полной ширины первого звена, к которой с присоединением каждого нового звена прибавляется не полная ширина звена, а ширина звена без его двойной толщины. Теперь перейдем к нашей задаче.
Мы знаем, что одна цепь длиннее другой на 14 см и имеет на 6 звеньев больше. Разделив 14 на 6, получаем 21/3. Это и есть ширина одного звена, уменьшенная на двойную его толщину. Так как толщина кольца известна – полсантиметра, то полная ширина каждого звена равна 21/3 + 1/2 + 1/2 + 3 1/3 сантиметра.
Теперь легко определить, из скольких звеньев состояла каждая цепь. Из рисунка видно, что если мы отнимем от 36-сантиметровой цепи двойную толщину первого звена, т. е. 1 см, а разность разделим на 21/3, то получим число звеньев в этой цепи:
35: 21/3 = 15.
Рис. 73. Звенья цепи.
Точно так же узнаем число звеньев в 22-дюймовой цепи: 21: 21/3 = 9.
66. Мельник начал с того, что сложил все 10 чисел. Полученная сумма, 1156 кг – не что иное, как учетверенный вес мешков: ведь в нее вес каждого мешка входит 4 раза. Разделив эту величину на 4, узнаем, что пять мешков вместе весят 289 кг.
Для удобства обозначим мешки в соответствии с их весом номерами. Самый легкий мешок получит номер 1, второй по тяжести – 2 и т. д.; самый тяжелый мешок – номер 5. Нетрудно сообразить, что в ряду чисел: 110 кг, 112 кг, 113 кг, 114 кг, 115 кг, 116 кг, 117 кг, 118 кг, 120 кг, 121 кг – первое число составилось из веса двух самых легких мешков, 1 и 2, второе число – из веса мешков 1 и 3. Последнее число есть не что иное как вес двух самых тяжелых мешков, 4 и 5, а предпоследнее – 3-го и 5-го. Итак,
1 и 2 вместе весят 110 кг
1 и 3 —»-»– 112 —»—
3 и 5 —»-»– 120 —»—
4 и 5 —»-»– 121 —»—
Теперь легко узнать сумму весов мешков 1, 2, 4 и 5: она равна 110 кг + 121 кг = 231 кг. Вычтя это число из общей суммы веса всех мешков (289 кг), получаем вес мешка 3, именно 58 кг.
Далее, из суммы веса мешков 1 и 3, т. е. из 112, вычитаем известный уже нам вес мешка 3; получается вес мешка 1: 112 кг – 58 кг = 54 кг.
Точно так же узнаем вес мешка 2, вычтя 54 кг из 110 кг, т. е. из суммы веса мешков 1 и 2. Получаем: вес мешка 2 равен 110 кг – 54 кг = 56 кг.
Из суммы веса мешков 3 и 5, т. е. из 120, вычитаем вес мешка 3, который равен 58 кг; узнаем, что мешок 5 весит 120 кг – 58 кг = 62 кг.
Остается определить вес мешка 4 из суммы весов мешков 4 и 5, т. е. из 121 кг. Вычтя 62 из 121, узнаем, что мешок 4 весит 59 кг.
Итак, вот вес мешков:54 кг, 56 КГ, 58 КГ, 59 КГ, 62 КГ.
67. Мы знаем, что Володя вдвое старше Жени, а Надя и Женя вместе вдвое старше Володи. Значит, годы Нади и Жени, сложенные вместе, вчетверо больше, чем возраст Жени. Отсюда прямо следует, что Надя старше Жени в 3 раза. Далее, мы знаем, что сумма лет Алеши и Володи вдвое больше суммы лет Нади и Жени. Но возраст Володи есть удвоенный возраст Жени, а годы Нади и Жени, сложенные вместе, есть учетверенный возраст Жени. Следовательно, годы Алеши + удвоенный возраст Жени = 8-кратному возрасту Жени, т. е.:
Алеша старше Жени в 6 раз.
Наконец, нам известно, что сумма возрастов Лиды, Нади и Жени равна удвоенной сумме возрастов Володи и Алеши. Имея перед глазами табличку:
Лиде – 21 год.
Надя – в 3 раза старше Жени,
Володя – в 2 раза старше Жени,
Алеша – в 6 раз старше Жени,мы можем сказать, что
21 год + утроенный возраст Жени + возраст Жени = 4-кратному возрасту Жени + 12-кратному возрасту Жени,
или:
21 год + 4-кратный возраст Жени = 16-кратному возрасту Жени.
Значит, 21 год равен 12-кратному возрасту Жени и, следовательно, Жене 21: 12 = 13/4 года. Теперь уже легко определить, что Володе 31 /2 года, Наде – 51/4 и Алеше – 101/2 лет.
68. Для ясности нарисуем рядом две свечи – толстую, которая сгорает за 5 часов, и тонкую, которая сгорает за 4 часа. Заштрихуем сгоревшие части обеих свечей. Легко сообразить, что длина сгоревшей части тонкой свечи (ЕЕ)должна составлять 5/4 длины сгоревшей части толстой (ВС); другими словами, заштрихованный в клетку избыток тонкой свечи (ЕК) составляет по длине 1/4 сгоревшей части толстой (ВС). Но в то же время длина этого избытка равна 1/4 длины толстого огарка (АВ). Другими словами, мы узнали, что 3/4 длины толстого огарка равны 1/ 4 длины сгоревшей части толстой свечи. Значит, 4/4 толстого огарка, т. е. весь огарок, составляет 1/4 × 4/3 = 1/ 3 толстой свечи.
Рис. 74. Две свечи – толстая и тонкая.
Итак, огарок толстой свечи равен 1/ 3 сгоревшей части или 1/ 4 всей длины свечи. Сгорело, следовательно, 3/4 толстой свечи. А так как вся свеча могла сгореть за 5 часов, то 3/4 ее горело в течение
Ответ: свечи горели 33/4 часа.
69. Каждый ученик и ученица ежедневно раскланивались со всеми остальными школьниками и с заведующим. С самими собою, конечно, не раскланивались, зато делали поклон заведующему, так что каждый школьник и школьница ежедневно делали столько поклонов, сколько было детей в школе. Значит, все дети вместе ежедневно делали столько поклонов, сколько будет, если умножить их общее число само на себя.
Итак, мы знаем, что 900 – это число детей, умноженное само на себя. Какое же число, умноженное на себя, составит 900? Очевидно, 30. А так как девочек было вдвое больше, чем мальчиков, то из 30 детей было 20 девочек и 10 мальчиков.
Проверим это. Девочки делают 19 × 20 = 380 поклонов подругам и 20 × 10 = 200 поклонов мальчикам. Мальчики мальчикам делают 9 × 10 = 90 и девочкам – 10 × 20 = 200 поклонов. Итого: 380 + 200 + 90 + 200 = 870 поклонов. Присоединив еще 30 поклонов заведующему, имеем ровно 900.
70. Задачу надо решать с конца. Самый младший сын получил столько брильянтов, сколько было сыновей, и еще 1/7 остальных; но так как остатка никакого не было, то младший сын получил столько брильянтов, сколько было всех сыновей. Далее, предыдущий сын получил брильянтов на один меньше, чем было сыновей, да еще 1/7 остальных брильянтов. Значит, то, что получил самый младший, есть 6/7 этого «остального» (а все «остальное» есть 7/7).
Отсюда вытекает, что число брильянтов самого младшего сына должно делиться на 6 без остатка. Попробуем допустить, что их было 6, и испытаем, подходит ли это число.
Если младший сын получил 6 брильянтов, то значит, он был шестой сын, и всех сыновей было 6. Пятый сын получил 5 брильянтов плюс 1/7 от 7, т. е. 5 + 1 = 6. Далее, 12 камней есть 6/7, оставшегося после четвертого сына , полный остаток – 14 камней, и четвертый сын получил 4 + 1/7; от 14 = 6.
Вычисляем то, что осталось после третьего сына : 18 есть 6/7 этого остатка; значит, полный остаток – 21. Третий сын получил 3 + 1/7 от 21 = 6 брильянтов.
Точно так же узнаем, что на долю второго и первого сына пришлось тоже по 6 камней.
Итак, у раджи было 36 брильянтов и 6 сыновей.
Мы проверили число 6 и нашли, что оно удовлетворяет условиям задачи. Испытав 12, 18 и 24, убедимся, что эти числа не годятся, а больше двух дюжин детей у раджи едва ли могло быть.Десять задач о земле и небе
71. Всюду юг!
Существует шуточный рассказ [2] об одном турке, который будто бы попал однажды в «самую восточную страну». Турок так описывает эту сказочную страну:
«И впереди восток, и с боков восток. А запад? Вы, может быть, думаете, что он все-таки виден, как точка какая-нибудь, едва движущаяся вдали?.. Неправда! И сзади восток! Короче – везде и всюду нескончаемый восток!» Такой страны, которая со всех сторон окружена востоком, конечно, быть не может. Но зато существует такое место на земном шаре, которое отовсюду окружено югом: во все стороны от этого места простирается «один нескончаемый юг».
Это кажется с первого взгляда невозможным, а между тем стоит лишь немного подумать, и вы сообразите, что такое необычайное место на земном шаре существует. В этом удивительном месте развевается теперь английский флаг, и я уверен, что вы даже знаете имя человека, который водрузил его.
Где же находится это место?
Чтобы помочь вам догадаться, я прибавлю, что там не жарко, даже не тепло, хотя во все стороны от него простирается юг.
72. По телефону
В Америке между Нью-Йорком и Сан-Франциско устроено телефонное сообщение, так что жители Нью-Йорка, расположенного на берегу Атлантического океана,
могут переговариваться по телефону с жителями Сан-Франциско, живущими на берегу Тихого океана. Конторы в Северной Америке открыты с 10 часов утра до 4 часов дня.
В течение скольких дневных часов конторские служащие в Нью-Йорке и Сан-Франциско могут вести между собой деловые разговоры по телефону?
73. Где начинаются дни недели?
В воскресенье гости засиделись за полночь.
– Пора уходить, – объявил один, – завтра понедельник, и надо быть рано на службе.
– Завтра вторник, – с улыбкой поправил его хозяин.
– Что вы? Разве сегодня не воскресенье?
– Нет, уже понедельник: ведь сейчас пробило двенадцать часов!
– Что вы? Разве сегодня не воскресенье?
– Нет, уже понедельник: ведь сейчас пробило двенадцать часов!
– А, вот вы о чем! Ну, разумеется, раз полночь наступила, значит, теперь уже понедельник.
– Не везде, – вмешался другой гость, моряк. – Здесь у нас, в Москве, понедельник, но в Ленинграде еще воскресенье: там сейчас половина двенадцатого.
– Правильно, – согласился хозяин, – теперь понедельник только на восток от нас: в Нижнем, в Перми, в Красноярске…
– В Красноярске понедельник начался четыре часа назад, – пояснил моряк. – А в Петропавловске понедельник наступил уже восемь часов назад. Кстати, как вы думаете, где понедельник всего раньше наступает?
– В самом деле! – воскликнул хозяин. – А вот еще интересный вопрос: чем дальше на восток, тем понедельник
наступает раньше. А между тем на запад от нас простирается еще воскресенье. Значит, должна же где-нибудь проходить граница между воскресеньем и понедельником: ведь Земля круглая. Где же эта граница?
– Там, где начинаются дни недели, – ответил моряк.
– Я не знаю, как решается эта задача, – заметила одна гостья, – но мне вспоминается интересный рассказ Эдгара По о «Трех воскресеньях на одной неделе». Два моряка вернулись из кругосветного плавания и сошлись вместе. Один объехал земной шар с запада на восток, другой – с востока на запад; оба оказались в некотором пункте в один и тот же день. Но каждый из двух путешественников называл этот день иначе. Тот, который объехал Землю с запада на восток, совершил лишний оборот вокруг земной оси; он лишний раз видел восход Солнца, и потому он насчитал одним днем больше, чем следует. Он убежден, что воскресенье было вчера, между тем как оно наступило только сегодня. Другой моряк, прибывший с востока и, следовательно, все время двигавшийся против вращения Земли, сделал вокруг земной оси одним оборотом меньше, чем успела за то же время сделать Земля; он видел восход Солнца одним разом меньше, и в его счете дней одного не хватает. Потому он убежден, что воскресенье будет только завтра, хотя оно наступило уже сегодня. Вот и получилось на одной неделе три воскресенья: вчера, сегодня и завтра…
– Это возможно только в фантастическом рассказе, – ответил гостье моряк. – У Жюля Верна, в романе «Вокруг света в 80 дней», герой тоже сбился со счета дней и не подозревал, что приехал на целые сутки раньше. Впрочем, в старину подобные ошибки были возможны. Со спутниками Магеллана произошел именно такой случай: объехав вокруг света, они привезли с собой в Португалию четверг вместо пятницы. Но в наши дни ничего подобного не может случиться.
– Почему же? – раздались голоса.
– Вам это станет ясно, если вы ответите сначала на вопрос: где начинается понедельник?
И в самом деле, читатель, где на земном шаре начинаются дни недели? Где раньше всего происходит смена одного дня другим?
74. Наперегонки с Землей
Может ли человек состязаться с земным шаром в его суточном движении вокруг оси? Может ли человек «перегнать Землю» [3] если не пешком, то, например, на быстро мчащемся автомобиле?
Заодно ответьте и на такие вопросы. Может ли человек, находясь на Земле, увидеть Солнце восходящим с запада? И прав ли был Кольцов, когда восклицал:
75. Закат солнца
Посмотрите на изображенный здесь закат Солнца (рис. 75) и скажите: правильно ли он нарисован?
Рис. 75. Закат Солнца: все ли правильно на рисунке? В этом рисунке есть одна несообразность, которую вам и нужно обнаружить.
76. Турецкий флаг
Вам, конечно, знаком турецкий флаг. На нем изображен серп молодого месяца, а между рогами лунного серпа – звезда.
Рис. 76. Турецкий флаг.
Замечаете ли вы, что в изображении турецкого флага есть явная несообразность? В чем она состоит?
77. Задача-шутка
Где за Земле легче всего живется?
Эта задача похожа на загадку или на задачу-шутку типа: «Почему птица летает?» (По чему? – По воздуху). Но наш вопрос не совсем такого рода. Если хорошенько подумать, то на него можно дать разумный, вполне обоснованный ответ. Какой?
78. Закат Луны
Вы видите на рис. 77 тропический ландшафт со странным изображением лунного серпа у горизонта. Правильно ли нарисована эта картинка? Нет ли здесь какой-нибудь несообразности?
Рис. 77. Закат Луны: все ли правильно на рисунке?
79. Броненосец
Броненосец водоизмещением в 20 000 тонн… Но вы, быть может, не знаете, что такое «водоизмещение» и что такое «тонна»? Водоизмещением называют вес той воды, которую судно вытесняет, когда плавает. А так как плавающее тело, по закону Архимеда, вытесняет ровно столько воды, сколько оно весит, то «водоизмещение» прямо указывает вес самого судна. А что такое «тонна»? Мера веса в 1000 килограммов. Когда вы читаете, что судно имеет «водоизмещение в 20 000 тонн», это значит, что оно само (как и вода, вытесняемая им при плавании) весит 20 000 тонн.
Итак, броненосец водоизмещением в 20 000 тонн, стоявший раньше в Архангельске, прибыл в экваториальные воды. Известно, что с приближением к экватору все тела становятся легче; разница в весе на широте Архангельска и на экваторе равна 1/250 т. е. гиря в 1 кг из Архангельска, перенесенная на экватор, будет весить на 4 г меньше. Можете ли вы сказать, сколько тонн воды будет вытеснять наш броненосец в экваториальных водах?
80. Пароход и пловец на Луне
На Луне все вещи весят в 6 раз меньше, чем на Земле, так как Луна в 6 раз слабее притягивает к себе тела, чем наш земной шар. Килограмм, перенесенный на Луну, весил бы там всего 160 г.
Вообразите, что на Луне существует озеро с пресной водой. На озеро спущен пароход, который в земных пресноводных озерах имеет осадку 3 м. Как глубоко будет сидеть наш пароход в воде лунного озера?
Заодно решите еще и такую задачу: где не умеющий плавать человек может утонуть скорее – в земном озере или в нашем воображаемом лунном?
Решения задач 71-80
71. Место на Земле, откуда во все стороны горизонта простирается юг – это… Северный полюс! И действительно: ведь Северный полюс есть самая северная точка земного шара, и, следовательно, все точки в его окрестности лежат южнее. Когда отважный полярный путешественник Пири в 1912 году водружал в этом пункте английский флаг, их со всех сторон окружал юг: «везде и всюду нескончаемый юг».
72. Не 6 часов, а гораздо меньше, и вот почему. Между Нью-Йорком и Сан-Франциско разница во времени 31/4 часа. Когда нью-йоркские банки открываются, т. е. в 10 часов утра, тогда в Сан-Франциско еще спят: там без четверти 7 часов утра. И только в четверть второго конторский служащий Нью-Йорка может позвать к телефону своего товарища из Сан-Франциско, где сейчас только открылись двери контор. В 4 часа нью-йоркские служащие уже покидают конторы, и жители Сан-Франциско не могут вызвать их по телефону, хотя в этом городе всего только без четверти час. Таким образом, деловые учреждения этих двух городов могут разговаривать между собой в дневное время по 23/4 часа, хотя открыты в течение 6 часов. А если бы существовал телефон между Ленинградом и Петропавловском, то им почти совсем невозможно было бы пользоваться! Между этими городами разница во времени 10 часов, так что, когда ленинградцы бодрствуют, петропавловцы спят, и наоборот. Приходилось бы вставать по ночам, чтобы разговаривать по этому междугородному телефону.
73. В Москве пробило двенадцать – только что наступил понедельник; на запад от Москвы всюду простирается еще воскресенье, а на восток – понедельник. Но на шарообразной Земле восток и запад неизбежно должны встретиться; значит, где-то должна быть граница, отделяющая воскресенье от понедельника.
Эта граница существует в самом деле и называется «линией даты»; она проходит через Берингов пролив и тянется по водам Тихого океана в виде изломанной линии, точное направление которой определено международными соглашениями.
На этой воображаемой линии, прорезающей безлюдные пустыни Тихого океана, и совершается впервые на земном шаре смена дней недели, месяцев, лет. Здесь как бы помещаются входные двери нашего календаря: отсюда приходят на землю воскресенья и понедельники, январи и феврали, здесь же находится колыбель Нового года. Здесь раньше, чем где бы то ни было на земном шаре, наступает каждый новый день недели; родившись, он движется на запад, обегает весь земной шар и снова возвращается к месту своего рождения – на этот раз, чтобы соскользнуть с поверхности нашей планеты и исчезнуть в вечности.
Из стран всего мира наша страна раньше всех принимает на свою территорию каждый новый день: на мысе Дежнева каждое утро «воскресенье», только что родившееся в водах Берингова пролива, вступает в населенный мир, чтобы начать свое шествие через все части света. И здесь же, у восточной оконечности русской Азии, дни умирают, исполнив свою 24-часовую службу.