Различие обоих заключается ближайшим образом в том, что в бесконечном ряду отрицательное находится вне его членов, которые даны лишь как части определенного числа. Напротив, конечному выражению, которое есть отношение, отрицательное имманентно, как взаимная определенность членов отношения, которая есть возврат в себя, относящееся к себе единство, как отрицание отрицания (оба члена отношения суть лишь моменты), и потому имеет определение бесконечности внутри себя. Действительно, обычная так называемая сумма, 2/7 или 1/(1–а), есть таким образом отношение; и это так называемое конечное выражение есть поистине бесконечное выражение. Бесконечный ряд есть в сущности сумма; его цель состоит в том, чтобы изобразить то, что в себе есть отношение, в форме суммы, и данные члены ряда суть члены не отношения, а агрегата. Он есть далее, напротив, конечное выражение, так как он есть несовершенный агрегат и остается по существу чем-то недостаточным. По тому, что заключается внутри его, он есть определенное количество, но вместе с тем меньшее того, чем оно должно быть; за сим и то, чего ему не хватает, есть определенное количество; эта недостающая часть есть в действительности то, что в ряду называется бесконечным, только в том формальном смысле, что она есть недостающая, небытие; по содержанию же своему она есть конечное определенное количество. Лишь то, что есть налицо в ряду вместе с тем, чего ему не хватает, образует то, что есть дробь, то определенное количество, которым она вместе и должна, и не может быть. Слово «бесконечное» и в бесконечном ряду мнится быть чем-то высоким и величественным; это есть род суеверия, суеверия рассудка; мы видели, что оно, напротив, сводится к определению недостаточного.
Следует притом заметить, что существование таких бесконечных рядов, которые не суммируются, есть относительно формы ряда вообще обстоятельство внешнее и случайное. Эти ряды представляют собою высший вид бесконечности, чем ряды суммирующиеся, так как в них оказывается несоизмеримость, т. е. невозможность изобразить содержащееся в них качественное отношение, как определенное количество, даже в виде дроби; но свойственная им форма ряда, как таковая, содержит в себе то же самое определение ложной бесконечности, какое присуще суммируемому ряду.
Только что указанная по поводу дроби и ее ряда превратность выражения имеет место и в том случае, когда математическое бесконечное, и именно не только что рассмотренное, а истинное, называется относительным бесконечным, а обычное метафизическое, под которым разумеется {165}отвлеченное, ложное бесконечное, — абсолютным. В действительности же, наоборот, это, метафизическое бесконечное есть только относительное, так как выражаемое им отрицание таково лишь в противоположность некоторой границе, так что последняя остается пребывать вне его и не снимается им; напротив математическое бесконечное действительно сняло с себя конечную границу, так как ее потусторонность соединена с нею.
В указанном смысле, именно в том, что так называемая сумма или конечное выражение бесконечного ряда именно должна бы была называться бесконечным, установил и пояснил примерами различие понятия истинной бесконечности от ложной главным образом Спиноза. Это его понятие будет наилучше освещено, если я свяжу то, что он говорит о нем, с только что изложенным. Он определяет прежде всего бесконечное, как абсолютное утверждение существования какой-либо природы, а конечное, напротив, как определенность, как отрицание. Абсолютное утверждение некоторого существования должно быть именно понимаемо, как ее отношение к самому себе, вследствие которого оно существует не потому, что существует другое; конечное, напротив — есть отрицание, прекращение, отношение к другому, возникающему вне первого.
Правда, абсолютное утверждение некоторого существования не исчерпывает еще понятия бесконечного; последнее содержит в себе еще то определение, что бесконечность есть утверждение не непосредственное, но лишь восстановленное через рефлексию другого в себе самом, как отрицание отрицательного. Ho y Спинозы субстанция и ее абсолютное единство имеют форму единства неподвижного, т. е. неопосредованного самим собою, форму некоторой оцепенелости, в которой нет еще понятия отрицательного единства себя самого, субъективности.
Математический пример, коим он поясняет истинную бесконечность (Epist. XXIX), есть пространство между двумя неравными кругами, из которых один находится внутри другого, не касаясь его и не будучи ему концентричен. Он придает по-видимому большое значение этой фигуре и тому понятию, примером которого она служит, так что избрал ее даже эпиграфом своей этики. «Математики, говорит он, утверждают, что неравенства, возможные в таком пространстве, бесконечны, не вследствие бесконечного множества частей, так как его величина определенна и конечна, и я могу предположить такое пространство бóльшим или меньшим, но потому что тут природа вещи превосходит всякую определенность». Как видно, Спиноза отвергает то представление о бесконечном, по которому оно представляется, как множество или как незаконченный ряд, и указывает на то, что здесь в приводимом, как пример, пространстве бесконечное не потусторонне, а имманентно и закончено; это пространство есть нечто ограниченное, но именно потому бесконечное, «так как природа вещи превосходит всякую определенность», так как содержащееся тут определение величины не может быть вместе с тем изображено, как определенное количество, или так как по вышеприведенному выражению Канта синтезиро{166}вание не может здесь быть доведено до некоторого — дискретного — определенного количества. Каким образом вообще противоположность непрерывного и дискретного определенного количества приводит к бесконечному, — это имеет быть изложено в одном из следующих примечаний. Бесконечное некоторого ряда Спиноза называет бесконечным воображения; бесконечное же, как отношение к себе самому, — бесконечным мышления или infinitum actu. Оно есть именно actu, оно бесконечно действительно, так как оно закончено в себе и дано. Так ряд 0,285714… или 1+а+а2+а3… есть бесконечное лишь воображения или мнения, ибо он не имеет действительности, ему для того еще чего-то не хватает; напротив 2/7 или 1/(1–а) есть действительно не только то, что дано в приведенных членах ряда, но и в том, чего ему не хватает, чем он только должен быть, 2/7 или 1/(1–а) есть такая же конечная величина, как заключенное между двумя кругами пространство Спинозы и неравенства этого пространства, и, как это пространство, она может быть сделана более или менее. Но отсюда не возникает несообразности большего или меньшего бесконечного, так как это определенное количество целого не касается отношения его моментов, природы вещи, т. е. качественного определения величины; а то, что существует в бесконечном ряду, есть также конечное определенное количество, но кроме того нечто недостаточное. Напротив, воображение остается при определенном количестве, как таковом, и не рефлектирует над качественным отношением, в котором заключается основание данной несоизмеримости.
Несоизмеримость, имеющая место в примере Спинозы, заключает в себе вообще криволинейные функции и приводит к тому бесконечному, которое употребляется математикою при этих функциях, вообще при функциях переменных величин; последнее есть именно то истинное математическое, качественное бесконечное, о котором мыслил Спиноза. Это определение должно быть здесь рассмотрено ближе.
Что касается, во-первых, признаваемой столь важною категории переменности, под которую подводятся входящие в эти функции величины, то они прежде всего должны быть переменными не в том смысле, как в дроби 2/7 оба числа 2 и 7, поскольку вместо них можно поставить также 4 и 14, 6 и 21 и т. д. другие числа до бесконечности без изменения величины дроби. Еще с бóльшим правом в дроби a/b можно вместо а и b поставить любые числа без изменения того, что должно выражать собою a/b. В том смысле, что и вместо х и у в какой-либо функции можно вставить бесконечное, т. е. неисчерпаемое, множество чисел, а и b суть столь же переменные величины, как х и у. Выражение переменные величины поэтому весьма неопределенно и выбрано неудачно для определений величин, {167}имеющих интерес и подвергающихся действиям совсем в иных видах, чем обусловливаемых только их переменностью.
Для того, чтобы выяснить, в чем состоит истинное определение моментов некоторой функции, имеющей интерес для высшего анализа, мы снова должны обозреть указанные выше ступени (развития понятий). В дробях 2/7 или a/b числа 2 и 7, каждое для себя, суть определенные количества, и отношение для них несущественно; а и b также представляют собою такие определенные количества, которые остаются тем, что они суть, и вне отношения. Далее 2/7 и a/b суть постоянные определенные количества, показатели; отношение составляет число, единица которого есть знаменатель, а определенное число — числитель, или обратно; если вместо 2 и 7 вставить 4 и 14, то отношение, как определенное количество, остается тем же самым. Но это существенно изменяется — например в функции y2/x=p; в ней х и у, правда, имеют значение определенных количеств; но определенный показатель присущ отношению не х и у, а только х и у2. Поэтому, как члены отношения, х и у, во-первых, не суть определенные количества, а во-вторых, их отношение не есть постоянное определенное количество (и его не мнят таким же, как при а и b), не постоянный показатель, а, как определенное количество, оно переменно. Это зависит только от того, что х находится в отношении не к у, а к квадрату у. Отношение некоторой величины к степени есть не определенное количество, а по существу качественное отношение; степенное отношение есть такое положение, которое должно считаться основным определением. В уравнении прямой линии у=ах выражение у/x=а есть обыкновенная дробь и показатель; эта функция есть поэтому лишь формально функция переменных величин, иначе сказать х и у здесь то же самое, что а и b в a/b, они не имеют того определения, под которым их рассматривает дифференциальное и интегральное исчисление. Вследствие особенной природы переменных величин с этой точки зрения было бы целесообразно ввести для них также как особое наименование, так и особое обозначение, отличное от обычных неизвестных величин в каждом конечном определенном, так и неопределенном уравнении, — для указания их существенного отличия от таких просто неизвестных величин, которые в себе суть вполне определенные количества или определенная совокупность определенных количеств. Равным образом является лишь недостатком сознания своеобразия того, что составляет интерес высшего анализа, и чем вызвана потребность и изобретение дифференциального исчисления, включение функций первой степени, каково уравнение прямой линии, в составе этого исчисления; придание последнему такого формального характера представляет собою еще и то неудобство, что признается возможным достижение самого по себе правильного требова{168}ния обобщения метода при опущении той специфической определенности, которая обусловливает потребность в нем, так что все сводится к тому, как будто дело идет в этой области лишь о переменных величинах вообще. В рассмотрении и в изложении этих предметов было бы, конечно, гораздо менее формализма, если бы было принято во внимание, что здесь дело идет не о переменных величинах, как таковых, а о степенных определениях.
Но есть еще дальнейшая ступень, на которой математическое бесконечное выступает в своем своеобразии. В уравнении, в котором х и у положены, как определенные ближайшим образом степенным отношением, х и у, как таковые, должны еще означать определенные количества; между тем это значение совершенно утрачивается в так называемых бесконечно малых разностях; dx, dy уже не суть определенные количества и не должны обозначать их, но имеют значение лишь в своем отношении, сохраняют смысл, лишь как моменты. Они уже не есть нечто, если принимать нечто за определенное количество, не суть конечные разности; но они также не суть и ничто, неопределенный нуль. Вне своего отношения они суть чистые нули, но должны быть принимаемы за моменты отношения, за определения дифференциального коэффициента dx/dy.
В этом понятии бесконечного определенное количество завершается в действительности в качественное существование; оно полагается, как истинно бесконечное; оно снимается, не как то или иное определенное количество, но как количество вообще. Но при этом сохраняется количественная определенность, как элемент определенных количеств, как принцип, или, как было также сказано, в ее первом понятии.
Против этого понятия и направлено все то нападение, которому подвергнулось основное определение математики этого бесконечного, дифференциального и интегрального исчисления. Неправильные представления математиков сами послужили поводами к тому, что оно не было признано, в особенности же вина падает тут на неспособность оправдания этого предмета, как понятия. Между тем, как уже было упомянуто выше, математика не может тут обойти понятия; ибо, как математика бесконечного, она не ограничивается конечною определенностью своих предметов, как например поступает чистая математика, когда рассматривает пространство и время их определения и приводит их в соотношения лишь со стороны их конечности; но она приводит принятое ранее и рассмотренное ею определение в тожество с противоположным ему, превращая, например, кривую линию в прямую, круг в многоугольник и т. п. Поэтому действия, к которым она позволяет себе прибегать в дифференциальном и интегральном исчислении, по их природе совершенно противоречат конечным определениям и их отношениям, и находят, стало быть, свое оправдание лишь в понятии.
Если математика бесконечного держится за то, что эти количественные определения суть исчезающие величины, т. е. такие, которые не суть уже какие-{169}либо определенные количества, но не суть и ничто, а сохраняют еще известную определенность относительно другого, то представляется, по-видимому, совершенно ясным, что нет такого так называемого среднего состояния между бытием и ничто. Что можно сказать по поводу этого выражения и так называемого среднего состояния, указано уже по поводу категории становления (примеч. 4). Но, конечно, единство бытия и ничто не есть состояние; состояние было бы таким определением бытия и ничто, в котором эти моменты сочетались бы лишь случайно, как бы вследствие болезни и внешнего воздействия ошибочного мышления; между тем эта середина или это единство, исчезание, которое есть вместе с тем становление, есть, напротив, их единственная истина.
То, что бесконечно, говорят далее, несравнимо, как большее или меньшее, поэтому не может быть отношения бесконечного к бесконечному по порядкам или достоинствам бесконечного, каковые различия бесконечных разностей признаются и в науке. Это уже упомянутое ранее выражение основывается опять-таки на том представлении, что здесь идет речь об определенных количествах, сравниваемых, как определенные количества, и что определения, которые уже не суть определенные количества, не могут находиться между собою в отношении. Между тем именно то, что находится только в отношении, и не есть определенное количество; определенное количество есть такое определение, которое вне своего отношения должно иметь совершенно безразличное существование, быть безразличным к своему различию от чего-либо другого, тогда как, напротив, качественное есть лишь то, что оно есть в своем различии от другого. Все бесконечные величины поэтому не только сравнимы, но суть лишь моменты сравнения или отношения.
Я приведу главнейшие определения, которые дает математика относительно своего бесконечного; из них будет видно, что в основе их лежит мысль, согласная с развитым здесь понятием, но что высказывавшие ее не обосновали ее, как понятие, и в приложении ее прибегли опять-таки к вспомогательным средствам, противоречащим их наилучшим намерениям.
Эта мысль не может быть определена правильнее, чем то сделал Ньютон. Я оставляю здесь в стороне определения, принадлежащие представлению движения и скорости (от которых он и заимствовал название флюксий), так как в связи с ними эта мысль лишена надлежащей отвлеченности, но является конкретною, смешанною с несущественными для нее формами. Эти флюксии по объяснению Ньютона (Princ. mat. phil. nat. кн. I, лемма XI Schol.) не неделимы — форма, которою пользовались прежние математики, Кавальери и др., и которая содержит в себе понятие определенного в себе количества — но суть исчезающее делимое. Далее они суть не суммы и отношения определенных частей, но пределы (limites) сумм и отношений. Против этого возражали, что и исчезающие величины не имеют последнего предельного отношения, так как прежде, чем те исчезли, оно не последнее, а когда они исчезли, его уже нет. Но под отношениями исчезающих величин должно разуметь не то отношение, которое {170}до или после их исчезновения, а то, с которым они и исчезают (quacum evanescunt). Равным образом, первое отношение возникающих величин есть то, с которым они возникают.