Эта мысль не может быть определена правильнее, чем то сделал Ньютон. Я оставляю здесь в стороне определения, принадлежащие представлению движения и скорости (от которых он и заимствовал название флюксий), так как в связи с ними эта мысль лишена надлежащей отвлеченности, но является конкретною, смешанною с несущественными для нее формами. Эти флюксии по объяснению Ньютона (Princ. mat. phil. nat. кн. I, лемма XI Schol.) не неделимы — форма, которою пользовались прежние математики, Кавальери и др., и которая содержит в себе понятие определенного в себе количества — но суть исчезающее делимое. Далее они суть не суммы и отношения определенных частей, но пределы (limites) сумм и отношений. Против этого возражали, что и исчезающие величины не имеют последнего предельного отношения, так как прежде, чем те исчезли, оно не последнее, а когда они исчезли, его уже нет. Но под отношениями исчезающих величин должно разуметь не то отношение, которое {170}до или после их исчезновения, а то, с которым они и исчезают (quacum evanescunt). Равным образом, первое отношение возникающих величин есть то, с которым они возникают.
Как то требовалось тогдашним состоянием научного метода, только что изложенное лишь объясняет, что следует разуметь под тем или иным выражением; но что под ним должно разуметь то или другое, есть собственно субъективное или также историческое требование, не указывающее, чтобы такое понятие в себе и для себя было необходимо и обладало внутреннею истиною. Но вышеприведенное показывает, что установленное Ньютоном понятие соответствует тому, чем оказалась бесконечная величина в предыдущем изложении на основании рефлексии определенного количества внутрь себя. Под нею понимаются величины в их исчезновении, т. е. такие, которые уже суть неопределенные количества, равно как не отношения определенных частей, но пределы отношения. Поэтому как определенные количества для себя, как члены отношения, так и самое отношение, поскольку оно есть определенное количество, должны исчезать; предел отношения величин есть там, где он и есть, и его нет, или, выражаясь точнее, где определенное количество исчезло, и где тем самым сохранено лишь отношение, как качественно-количественное отношение, и его члены, также, как качественно-количественные моменты. Ньютон прибавляет к тому, что от существования последних отношений исчезающих величин не следует заключать к существованию последних, неделимых величин. Ибо это было бы опять-таки скачком от отвлеченного отношения к таким его членам, которые имели бы для себя вне своего отношения известное значение, как неделимые, как нечто, что было бы одним, безотносительным.
В противность этому недоразумению он припоминает, что последние отношения не суть отношения последних величин, но пределы, к которым отношения бесконечно убывающих величин приближаются более, чем всякая данная, т. е. конечная разность, и которых они не могут перейти без уничтожения. Под последнею величиною можно бы было, пожалуй, как сказано, разуметь величину неделимую или одно. Но из определения последнего отношения одинаково исключено представление как безразличного одного, безотносительного, так и конечного определенного количества. Но не потребовалось бы прибегать ни к бесконечному убыванию, которое Ньютон приписывает определенному количеству, и которое означает лишь прогресс в бесконечность, ни к определению делимости, которое не имеет уже здесь никакого непосредственного значения, если бы потребное определение было развито в понятие определения величины, только как момент отношения.
По поводу сохранения отношения при исчезновении соотносящихся определенных количеств встречаются (в другом месте, напр., у Карно — Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitesimal) выражение, что в силу закона непрерывности исчезающие величины продолжают сохранять то отношение, которое было между ними до их исчезно{171}вения. Это представление выражает собою истинную природу дела, поскольку, однако, тут разумеется не непрерывность определенного количества, имеющая место в бесконечном прогрессе и могущая так сохраняться при своем исчезновении, чтобы по ту сторону вновь возникало конечное определенное количество, новый член ряда, непрерывный же прогресс постоянно представляется так, как будто проходятся имеющие еще значение конечные определенные количества. Напротив, в том переходе, который совершается в истинное бесконечное, непрерывное есть отношение; оно настолько непрерывно и сохраняется, что этот переход, собственно говоря, состоит именно в том, что выделяет чистое отношение, а безотносительное определение, т. е. определенное количество, как член отношения, положенное вне этого отношения, еще как определенное количество, исчезает. Это очищение количественного отношения есть поэтому не что иное, как понимание эмпирического существования. Последнее так возвышается над самим собою, что его понятие содержит те же определения, как и оно само, но схваченные в их существенности и в единстве понятия, причем они утрачивают свое безразличное, чуждое понятию существование.
Столь же интересна другая форма ньютонова изложения, касающегося рассматриваемых теперь величин, именно как величин производящих или начал. Производная величина (genita) есть произведение или частное, прямоугольники, квадраты, так же стороны прямоугольников, квадратов, вообще конечная величина. «Рассматривая ее, как переменную, как увеличивающуюся или уменьшающуюся в постоянном движении и течении, он означает ее моментальные приращения или убывания названием моментов. Но последние не должны быть принимаемы за части определенных величин (particulae finitae). Последния суть не самые моменты, но величины, произведенные моментами; последние же должны быть понимаемы, как находящиеся в становлении принципы или начала конечных величин». Определенное количество отличено здесь само от себя, с одной стороны, как продукт или существующее, а с другой — в своем становлении, в своем начале или принципе, т. е. в своем понятии или, что то же самое, в своем качественном определении; в последнем количественные различия, бесконечные приращения или убывания, суть лишь моменты; происшедшее есть лишь перешедшее в безразличие существования и во внешность, определенное количество. Но если философия истинного понятия и должна принять эти связанные с приращениями и убываниями определения бесконечного, то все же следует заметить, что самые формы приращения и т. п. находятся внутри категории непосредственного определения количества и вышеупомянутого непрерывного прогресса, и что поэтому представления приращения, прироста, прибавления с dx или i к х и т. п. должны считаться присущим этим методам коренным недостатком, — постоянным препятствием к возвышению от представления обычного определенного количества к чистому определению количественно-качественного момента.
Вышеприведенным определениям далеко уступает представление без{172}конечно малых величин, связанное с самыми приращением и убыванием. По этому представлению они таковы, что не только они относительно конечных величин, но и высшие их порядки относительно низших, а равно произведения многих их относительно одного, должны быть пренебрегаемы. У Лейбница особенно сильно выступает это требование пренебрежения, находимое также и у предыдущих изобретателей методов, касающихся сказанных величин. Именно это обстоятельство сообщает исчислению, при выигрыше в удобстве, видимость неточности и явной неправильности в ходе его действий. По своему способу популяризовать вещи, т. е. лишать чистоты их понятий и заменять их неправильными чувственными представлениями, Вольф пытался сделать этот прием понятным для рассудка. А именно, он сравнивает пренебрежение бесконечно малыми разностями высших порядков относительно низших с образом действий геометра, измерение которым высоты горы нисколько не делается менее точным, если ветер снесет песчинку с ее вершины, или с пренебрежением высотою домов и башен при вычислениях лунного затмения (Elem. mathes. univ. T. I. Gl. analys. math. p. II, C. I Schol.).
Если суд обычного человеческого рассудка и допускает такую неточность, то все геометры, напротив, отвергают ее. Само собою очевидно, что в науке математики совсем не может быть речи о такой эмпирической точности, и что математическое измерение посредством вычисления или построений и доказательства геометрии, совершенно различно от землемерия, измерения данных на опыте линий, фигур и т. под. Сверх того, как уже было упомянуто, через сравнение результатов, получаемых строго геометрическим путем и посредством метода бесконечно малых разностей, аналитики доказывают, что эти результаты тожественны, и что бóльшая или меньшая степень точности не имеет здесь места. С другой стороны самый прием — пренебрегать величинами вследствие их незначительности — несмотря на оправдание результатами, не может не вызывать протеста. И в этом заключается трудность, побуждающая аналитиков понять и удалить заключающуюся здесь нелепость.
Если суд обычного человеческого рассудка и допускает такую неточность, то все геометры, напротив, отвергают ее. Само собою очевидно, что в науке математики совсем не может быть речи о такой эмпирической точности, и что математическое измерение посредством вычисления или построений и доказательства геометрии, совершенно различно от землемерия, измерения данных на опыте линий, фигур и т. под. Сверх того, как уже было упомянуто, через сравнение результатов, получаемых строго геометрическим путем и посредством метода бесконечно малых разностей, аналитики доказывают, что эти результаты тожественны, и что бóльшая или меньшая степень точности не имеет здесь места. С другой стороны самый прием — пренебрегать величинами вследствие их незначительности — несмотря на оправдание результатами, не может не вызывать протеста. И в этом заключается трудность, побуждающая аналитиков понять и удалить заключающуюся здесь нелепость.
По этому вопросу следует, главным образом, привести мнение Эйлера. Полагая в основание общее определение Ньютона, он настаивает на том, что дифференциальное исчисление рассматривает отношения приращений некоторой величины, причем однако, бесконечно малая разность, как таковая, есть совершенный нуль (Instit. calc. different. Р. I. С. III). Как это следует понимать, видно из вышеизложенного; бесконечно малая разность есть нуль лишь по количеству, а не качественный нуль; но как нуль по количеству она есть лишь чистый момент отношения. Она не есть различие на некоторую величину; но именно потому с одной стороны вообще ошибочно называть эти моменты, именуемые бесконечно малыми величинами, также приращениями и убываниями и разностями. В основе этого определения лежит то предположение, что нечто прибавляется к предварительно данной конечной величине или убавляется от нее, что происходит вычитание или сложение, некоторое арифметическое, внешнее действие. Переход от функции переменной величины к ее дифференциалу должно, напротив, пони{173}мать так, что последний имеет совершенную отличную от нее природу, именно, как было объяснено, что он есть возврат конечной функции к качественному отношению ее количественных определений. С другой стороны, ошибочным оказывается и то, когда говорят, что приращения суть для себя нули, что следует принимать в расчет лишь их отношения; ибо нуль вообще не имеет никакой определенности. Хотя это представление и доходит таким образом до отрицания количественного и определенно высказывает его, но оно не схватывает этого отрицания вместе и в его положительном значении качественно-количественных определений, которые становятся нулями, лишь будучи вырваны из отношения и приняты за определенные количества.
Лагранж (Théorie des fonct. analyt. Introduction) говорит о представлении предельных или последних отношений, что если и возможно представить себе отношение двух величин, покуда они остаются конечными, то в рассудке не получается никакого отчетливого и определенного понятия об этом отношении, коль скоро его члены остановятся нулями. Действительно, рассудок должен возвыситься над тем простым отрицанием, по которому члены отношения, как определенные количества, суть нули, и понять их положительно, как качественные моменты. А то, что Эйлер (там же § 84 и сл.) прибавляет далее относительно данного им определения для того, чтобы показать, что две так называемые бесконечно малые величины, которые должны быть не чем иным, как нулями, находятся однако во взаимном отношении и потому для них допустимы не только знак нуля, но и другие знаки, не может считаться удовлетворяющим мысль. Он хочет обосновать это на различии арифметического и геометрического отношения; при первом мы обращаем внимание на разность, при втором — на частное, и хотя первая между двумя нулями также равна нулю, но этого нельзя сказать о геометрическом отношении; если 2:1=0:0, то по свойству пропорции, так как первый член вдвое более второго, и третий член должен быть вдвое более четвертого; потому на основании этой пропорции отношение 0:0 должно быть равно отношению 2:1. Так и по обычной арифметике n:0=1:0[23], следовательно, n:1=0:0. Однако именно потому что 2:1 или n:1 есть отношение определенных количеств, ему не соответствует ни отношение, ни обозначение 0:0.
Я воздерживаюсь от дальнейших ссылок, так как сказанное в достаточной степени обнаруживает, что они, без сомнения, имеют дело с истинным понятием бесконечного, но что это понятие не выделено и не понято в своей определенности. Поэтому, когда совершается переход к самим действиям, то нельзя ожидать, чтобы в них проявлялось истинное определение понятия; напротив, в нем возвращаются к конечной определенности количества, и действие не может освободиться от представления лишь относительно малого. Исчисление приводит к необходимости подвести так называемые бесконечные величины под обычные арифметические действия сло{174}жения и т. п., применяемые к природе конечных величин, и тем самым хотя бы на мгновение признать первые величины конечными и обращаться с первыми, как со вторыми. Требовалось бы оправдать исчисление в том, что оно, с одной стороны, понижает бесконечные величины в сферу конечности и обращается с ними, как с приращениями или разностями, а с другой стороны, применив к ним формы и законы конечных величин, пренебрегает ими, как определенными количествами.
Я привожу еще наиболее существенное о попытках геометров устранить эти затруднения.
Более старые аналитики не затрудняли себя по этому доводу большими сомнениями; но старания более новых были направлены главным образом к тому, чтобы привести исчисление бесконечных к очевидности собственно геометрического метода и достигнуть в математике строгости доказательств древних (выражение Лагранжа). Но так как принцип анализа бесконечных выше, чем принцип математики конечных величин, то первый сам собою немедленно должен был отказаться от этого рода очевидности; подобно тому, как философия не может притязать на такую отчетливость, какую имеют науки о чувственном, напр., естествознание, или как еда или питье считаются за более рассудительные занятия, чем мышление и понимание. Поэтому можно говорить лишь о старании достигнуть строгости доказательств древних.
Многие пытались совершенно обойтись без понятия бесконечного и достигнуть без него тех же результатов, какие достигаются при его употреблении. Лагранж говорит, например, о методе, изобретенном Ланденом, и объясняет, что этот метод совершенно аналитический и не прибегает к бесконечно малым разностям, но сначала вводит различные значения переменных величин, а потом приравнивает их между собою. Впрочем, Лагранж заявляет, что при этом утрачиваются преимущества, свойственные дифференциальному исчислению, — простота метода и легкость действий. Этому приему отчасти соответствует тот, от которого исходит Декарт в своем методе касательных, о коем будет еще подробнее сказано далее. Здесь можно заметить, — что и теперь уже в общем ясно, — что вообще метод, состоящий в том, чтобы придавать различные значения переменным величинам и затем приравнивать их одну другой, принадлежит другому кругу математических соображений, чем метод самого дифференциального исчисление, и что первым не обращается внимания на подлежащую далее ближайшему рассмотрению особенность того простого отношения, к которому приводится его истинно конкретное определение, — именно отношения производной функции к первоначальной.
Старейшие из новых, напр., Ферма, Барроу и др., которые впервые воспользовались применением бесконечно малых к тому, что впоследствии выработалось в дифференциальное и интегральное исчисление, затем также Лейбниц и др., равным образом Эйлер, постоянно открыто признавали возможным пренебрегать произведениями бесконечно малых разностей так же, {175}как и наивысшими степенями, лишь потому, что они могут считаться исчезающими относительно низших степеней. У всех них это является единственным основоположением, именно определением того, что такое дифференциальные произведения или степени, ибо к этому сводится все теоретическое учение. Прочее есть отчасти механизм действий, отчасти приложение, к которым однако, как будет показано далее, в действительности и сводится главный или, правильнее сказать, единственный интерес. В настоящее время достаточно провести лишь элементарное положение, что по тому же основанию незначительности, как главного положения, касающегося кривых, признается, что элементы кривых, именно приращения абсциссы и ординаты, имеют между собой то же отношение, как подкасательная и ордината; с целью получить подобные треугольники дуга, составляющая с обоими приращениями третью сторону треугольника, правильно названного перед тем характеристическим треугольником, принимается за прямую линию, за часть касательной, и потому одно из приращений за доходящее до касательной. Этими допущениями определения, с одной стороны, возвышаются над свойствами конечных величин; но с другой стороны к признаваемым за бесконечные моментам применяется прием, правомерный лишь относительно конечных величин, при котором мы не имеем права ничем пренебрегать по причине незначительности. Затруднение, тяготеющее над методом, остается при таком образе действия во всей своей силе.