Первый жрец. Я лжец и не знаю, почему существует нечто, а не ничто.
Второй жрец. Я рыцарь и не знаю, почему существует нечто, а не ничто.
Знал ли в действительности кто-нибудь из жрецов, почему существует нечто, а не ничто?
157. Есть ответ!
Сейчас вы наконец узнаете правильный ответ на Вопрос Вопросов.
Одному из двух жрецов был известен правильный ответ на Вопрос Вопросов, и, когда философ спросил у него: «Почему существует нечто, а не ничто?» — он ответил так: «Существует нечто, а не ничто».
Какое поразительное заключение следует из такого ответа?
Решения
142. Предположим, что B — рыцарь. Тогда первый остров называется Майя и, кроме того, A — лжец. Следовательно, высказанное A утверждение ложно, и поэтому не верно, что B — рыцарь и первый остров называется Майя. Но по предположению B — рыцарь, значит, первая часть утверждения истинна. Отсюда мы заключаем, что вторая часть утверждения ложна. Следовательно, первый остров не Майя. Итак если B — рыцарь, то первый остров должен и быть, и не быть островом Майя. Полученное противоречие доказывает, что B — лжец.
Так как B лжец, то A также лжец (поскольку A утверждает, что B — рыцарь). Высказанное B утверждение, как всякое утверждение лжеца, ложно, поэтому не верно, что A — лжец и первый остров называется Майя. Но первая часть утверждения истинна (так как A — лжец). Следовательно, вторая часть утверждения должна быть ложной, и первый остров — не остров Майя.
143. Ясно, что A — лжец (высказанное A утверждение не может принадлежать рыцарю). Так как B согласен с A, то B также лжец. Поскольку высказанное A утверждение ложно, то не верно, что: 1) A и B — оба лжецы и что 2) второй остров называется Майя. Но высказывание (1) истинно, поэтому высказывание (2) должно быть ложно. Итак, второй остров — не остров Майя.
144. Так как B согласен с A, то A и B либо оба рыцари, либо оба лжецы. Если бы они оба были рыцарями, то было бы не верно, что по крайней мере один из них лжец. Но тогда высказанное A утверждение было бы ложно, что невозможно, так как A — рыцарь. Следовательно, A и B — оба лжецы. Это означает, что высказанное A утверждение ложно. Но первая часть его должна быть истинной (если A и B — оба лжецы, то по крайней мере один из них лжец). Значит, вторая часть утверждения должна быть ложной. Следовательно, третий остров — не остров Майя.
145. Островитянин A — заведомый лжец, так как высказанное им утверждение не может принадлежать рыцарю. Если B — рыцарь, то из высказанного им утверждения следует, что четвертый остров — не остров Майя. Если же B — лжец, то первая часть высказанного A утверждения истинна. Но все утверждение A ложно (так как A — лжец), поэтому должна быть ложной его вторая часть. Следовательно, и в этом случае четвертый остров — не остров Майя.
146. Как и в предыдущей задаче, A должен быть лжецом, а B может быть либо рыцарем, либо лжецом, но и в том и в другом случае пятый остров — не остров Майя.
147. Если бы A был лжецом, то обе альтернативы высказанной им дизъюнкции были бы ложными, вследствие чего B был бы лжецом. В свою очередь это означало бы, что обе альтернативы высказанной B дизъюнкции ложны, и A должен бы быть рыцарем. Полученное противоречие показывает, что A — рыцарь. Следовательно, его утверждение истинно, и либо B — рыцарь, либо шестой остров называется Майя. Если вторая альтернатива истинна, то шестой остров, разумеется, остров Майя. Предположим, что истинна первая альтернатива, то есть что B — рыцарь. Тогда его утверждение истинно: «Либо A — лжец, либо этот остров называется Майя». Но A не лжец, поэтому первая альтернатива ложна. Следовательно, вторая альтернатива истинна, и шестой остров — остров Майя.
Вкратце часть наших рассуждений сводится к следующему. Мы установили, что либо B — рыцарь, либо шестой остров — остров Майя. Но, кроме того, нам известно, что если B — рыцарь, то шестой остров — остров Майя. Следовательно, шестой остров — остров Майя.
Итак, остров Майя после долгих поисков найден!
148. Если бы E был лжецом, то было бы верно, что либо E — лжец, либо C и D однотипны. Это означало бы, что лжец высказал истинное утверждение. Поскольку это невозможно, то E- рыцарь. Значит, его утверждение истинно, поэтому либо он лжец, либо C и D однотипны, а так как он не лжец, то C и D однотипны.
Предположим, что C был бы лжецом. Тогда A и B оба были бы лжецами. Высказанное D утверждение было бы истинным, поэтому D был бы рыцарем. Таким образом, C был бы лжецом, а D — рыцарем, что противоречит их однотипности. Следовательно, C должен быть рыцарем. Значит, D также рыцарь. Так как C — рыцарь, то A и B оба не могут быть лжецами, из чего мы заключаем, что либо X, либо Y — правильная карта. Предположим, что X — правильная карта. Тогда A — рыцарь, а B — лжец вопреки истинному утверждению, высказанному D, о том, что либо A — лжец, либо B — рыцарь. Следовательно, X не может быть правильной картой. Значит, Y — правильная карта.
149. Если бы сидящий на троне был лжецом, то он был бы либо лжецом, либо обезьяной. Следовательно, его высказывание было бы истинным вопреки тому, что он лжец. Значит, сидящий на троне — рыцарь, его высказывание истинно, и он либо лжец, либо обезьяна. Так как он нелжец, то он обезьяна. Итак, сидящий на троне — обезьяна и рыцарь.
150. Ясно, что сидящий на троне не рыцарь. Значит, он лжец, и его высказывание ложно. Следовательно, он либо рыцарь, либо человек. Так как он не рыцарь, то он человек. Итак, сидящий на троне — человек и лжец.
151. Предположим, что сидящий на троне был бы лжецом. Тогда было бы верно, что он не обезьяна и не рыцарь одновременно. Следовательно, его высказывание было бы истинным, и мы получили бы лжеца, способного высказывать истинные утверждения. Полученное противоречие показывает, что сидящий на троне — рыцарь. Следовательно, верно, что он не обезьяна и не рыцарь. Если бы он был обезьяной, то он был бы обезьяной и рыцарем. Значит, он человек. Итак, сидящий на троне — человек и рыцарь.
152. B не может быть лжецом, так как в противном случае его утверждение было бы истинным. Значит, B — рыцарь, поэтому его утверждение истинно, и A должен быть лжецом. Тогда утверждение A ложно, и A и B — оба люди. Следовательно, A — человек и лжец, а B — человек и рыцарь.
153. B должен быть лжецом, так как рыцарь не мог бы высказать утверждение B. Следовательно, A и B оба не могут быть лжецами, поэтому A — рыцарь. Значит, его утверждение истинно, и A и B — оба обезьяны. Итак, A — обезьяна и рыцарь, B — обезьяна и лжец.
154. Предположим, что B был бы рыцарем. Тогда A также был бы рыцарем (так как B утверждает, что A — рыцарь), и, следовательно, B должен бы быть лжецом и обезьяной. Полученное противоречие показывает, что B — лжец. Из его утверждения мы заключаем, что A также лжец. Так как первое утверждение, высказанное A, ложно, то не верно, что B — лжец и обезьяна. Но B — лжец. Следовательно, не верно, что B — обезьяна, поэтому B — человек и лжец. Из второго утверждения, высказанного A, следует, что A — обезьяна. Итак, A — обезьяна и лжец.
155. Прежде всего докажем, что G — рыцарь. Для этого достаточно доказать, что его утверждение истинно, то есть что если C — рыцарь, то F также рыцарь. Мы докажем это тем, что выведем из посылки «С — рыцарь» заключение «F также рыцарь». Итак, предположим, что C — рыцарь. Тогда A и B — оба рыцари. Следовательно, X — дверь, ведущая во Внутреннее святилище, и либо дверь Y, либо дверь Z ведет во Внутреннее святилище.
Случай 1: дверь Y ведет во Внутреннее святилище. Тогда обе двери X и Y ведут во Внутреннее святилище. В этом случае D — рыцарь.
Случай 2: дверь Z ведет во Внутреннее святилище. Тогда обе двери X и Z ведут во Внутреннее святилище. В этом случае E — рыцарь.
Итак, либо D, либо E должен быть рыцарем. Следовательно, высказанное F утверждение истинно, поэтому F — рыцарь.
Итак, из посылки «С — рыцарь» мы вывели заключение «Р — рыцарь». Следовательно, верно, что если C — рыцарь, то Р — рыцарь. Именно это и утверждал G. Значит, G — рыцарь.
Докажем теперь, что высказанное H утверждение истинно. По словам H, если G и H — оба рыцари, то A — рыцарь. Предположим, что H — рыцарь. Тогда G и H — оба рыцари. Кроме того, верно, что если G и H — оба рыцари, то A — рыцарь (именно так утверждал H, а он по предположению рыцарь). Значит, если H — рыцарь, то 1) G и H — рыцари; 2) если G и H — рыцари, то A — рыцарь.
Из (1) и (2) следует, что A — рыцарь. Таким образом, если H — рыцарь, то A — рыцарь. Именно это утверждал H, поэтому H должен быть рыцарем. Его утверждение истинно, и так как G и H — рыцари, то A — рыцарь.
Итак, мы установили, что A — рыцарь. Следовательно, дверь X действительно ведет во Внутреннее святилище, и нашему философу надлежит выбрать дверь X.
156. Первый жрец не может быть рыцарем, он должен быть лжецом. Поскольку его высказывание ложно, то не верно, что он лжец и не знает ответа на Вопрос Вопросов. Но он лжец, поэтому первая часть высказанной им конъюнкции истинна. Значит, вторая часть конъюнкции должна быть ложной, поэтому первый жрец знает ответ. Таким образом, первый жрец — лжец и знает ответ на Вопрос Вопросов.
156. Первый жрец не может быть рыцарем, он должен быть лжецом. Поскольку его высказывание ложно, то не верно, что он лжец и не знает ответа на Вопрос Вопросов. Но он лжец, поэтому первая часть высказанной им конъюнкции истинна. Значит, вторая часть конъюнкции должна быть ложной, поэтому первый жрец знает ответ. Таким образом, первый жрец — лжец и знает ответ на Вопрос Вопросов.
Относительно второго жреца нельзя сказать ничего определенного. Он либо рыцарь, не знающий ответа на Вопрос Вопросов, либо лжец. Во всяком случае (и это имеет решающее значение для решения следующей задачи), если он знает ответ на Вопрос Вопросов, то он лжец.
157. Из решения предыдущей задачи нам известно, что первый жрец знает ответ на Вопрос Вопросов и лжет, а второй жрец, если он знает ответ на Вопрос Вопросов, — лжец. По условиям задачи тот из жрецов, кто изрек: «Существует нечто, а не ничто», знал правильный ответ. Следовательно, тот, кто дал такой ответ, лжец, и высказанное им утверждение ложно. Ничто не существует!
Итак, в результате самоотверженного поиска ответа на Вопрос Вопросов, которому наш философ посвятил всю свою жизнь, выяснилось неожиданно, что «ничто не существует». Должно быть, в этот ответ вкралась какая-то ошибка: если из ничего ничего не возникает, то откуда взялся жрец, высказавший подобное утверждение?
Более правильное заключение, к которому можно прийти на основании полученного ответа, состоит в том, что остров Ваал, описанный в нашей книге, не может существовать. Считаю своим долгом обратить внимание читателя на одну тонкость. Я отнюдь не утверждаю, что остров Ваал не существует (это было более или менее ясно с самого начала). Я высказываю более сильное логически неопровержимое утверждение: остров Ваал не может существовать. Действительно, если бы остров Ваал не существовал и история, которую я вам поведал, была бы истинной, то, как было показано, отсюда следовало бы, что ничто не существует. Следовательно, не существовало бы и острова Ваал, и мы пришли бы к противоречию. Значит, остров Ваал не может существовать.
Самое любопытное во всей истории — это то, что вплоть до последней задачи (№ 157) все, о чем я рассказывал вам, сколь бы неправдоподобно оно ни звучало, было логически вполне допустимо. Но стоило мне сообщить вам условия последней задачи, как соломинка переломила спину верблюду!
XI. Остров зомби
А. «Бал» и «да»
На небольшом островке неподалеку от Таити колдуны вуду напустили порчу на половину населения и превратили ее в зомби. Нужно сказать, что зомби на этом острове ведут себя несколько необычно. Они ничуть не похожи на безмолвные тени или на духов смерти. Зомби двигаются и разговаривают так же, как и люди. Единственное, чем они отличаются от людей, — необыкновенным пристрастием ко лжи. Зомби всегда лгут, в то время как люди, обитающие на острове, говорят только правду.
Дочитав до этого места, вы, должно быть, подумали: «К чему столько слов? Не проще ли сразу сказать, что перед нами добрый старый остров рыцарей и лжецов?» Не торопитесь с выводами, читатель: на острове зомби все обстоит гораздо сложнее! Дело в том, что хотя все его жители в совершенстве владеют английским языком, древнее табу запрещает им употреблять иноязычные слова. На любой вопрос, требующий ответа либо «да», либо «нет», жители острова отвечают либо «бал», либо «да» (на их родном языке эти слова соответствуют более привычным для нас «да» и «нет»). Беда лишь в том, что мы не знаем, какое из слов «бал» и «да» означает «нет» и какое — «да».
158.
Однажды я встретил коренного жителя острова и спросил у него: «Означает ли „бал“ по-нашему „да“?» Тот ответил: «бал».
а) Можно ли из нашего разговора заключить, что означает слово «бал»?
б) Можно ли из нашего разговора заключить, кто мой собеседник: зомби или человек?
159.
Представьте себе, что, гуляя по острову, вы встретили одного из туземцев. Можно ли с помощью одного вопроса выяснить, что означает слово «бал»? (Напомним, что ваш собеседник на все ваши вопросы будет отвечать либо «бал», либо «да», причем слово «да» на местном наречии лишь в силу случайного совпадения созвучно утвердительному ответу «да».)
160.
Предположим, что вас не интересует, чему именно соответствует слово «бал» (отрицанию или утвердительному ответу), но вы хотите знать, с кем вы разговариваете: с зомби или с человеком. Можно ли выяснить это, задав собеседнику лишь один вопрос?
161. Как заставить колдуна сказать «бал».
Вы находитесь на том же острове, что и в предыдущих задачах, и хотите жениться на дочери царька местного
племени. Царец намерен отдать свою дочь замуж только за человека, отмеченного печатью разума, поэтому вам предстоит выдержать испытание, состоящее в следующем.
Вы должны задать колдуну какой-нибудь вопрос на свое усмотрение. Если колдун ответит «бал», то вы получите в жены дочь царька. Если же на ваш вопрос колдун ответит «да», вам придется искать себе невесту в другом месте.
Кто именно колдун (человек или зомби), неизвестно. Какой вопрос следует задать колдуну, чтобы независимо от того, означает ли «бал» нет или да, колдун ответил «бал»?
162.
Эта задача потруднее предыдущих. Разнесся слух, что на острове зарыт клад. Вы прибываете на остров и, прежде чем приступать к поискам, хотите выяснить, действительно ли кем-то был зарыт клад или нет. Все туземцы великолепно осведомлены относительно того, существует ли клад в действительности. Можно ли, задав любому туземцу лишь один вопрос, выяснить, стоит ли заниматься поисками клада? Напомним, что туземец может ответить вам либо «бал», либо «да», и вам необходимо по его ответу прийти к заключению независимо от того, что именно означает слово «бал» (или «да») на местном наречии.
Б. На сцене снова появляется инспектор Крэг
163. Суд.
На языке племени, населяющего остров, расположенный неподалеку от острова зомби, слова «бал» и «да» означают «да» и «нет», но одинаково звучащие слова не обязательно должны совпадать по смыслу. Одни жители острова отвечают на вопросы «бал» и «да», другие, нарушая древнее табу, предпочитают говорить по-английски (и отвечают «да» и «нет»).
По некоторым не выясненным до конца причинам все члены любого семейства на этом острове однотипны. В частности, любые два брата либо оба зомби, либо оба люди.
Против одного из коренных жителей острова выдвинуто обвинение в измене родине. Учитывая особую важность дела, было принято решение вызвать из Лондона инспектора Крэга. Три основных свидетеля A, B и C были коренными жителями острова. Следующий отрывок взят из стенограммы судебного заседания. Допрос свидетелей ведет инспектор Крэг.
Вопрос (свидетелю A). Подсудимый не виновен?
Ответ (свидетеля A). Бал.
Вопрос (свидетелю B). Что означает «бал»?
Ответ (свидетеля B). «Бал» означает «да».
Вопрос (свидетелю C). Свидетели A и B — братья?
Ответ (свидетеля C). Нет.
Второй вопрос (свидетелю C). Подсудимый не виновен?
Ответ (свидетеля C). Да.
Виновен или не виновен подсудимый?
164.
Можно ли в предыдущей задаче определить, однотипны ли свидетели A и B?
165. Полузомби.
После окончания суда инспектор Крэг посетил соседний остров. Одну часть коренного населения этого острова составляли обыкновенные люди, другую — зомби, а третью — так называемые полузомби. К числу последних относились те жители острова, на которых колдуны напустили порчу, но лишь с частичным успехом: полузомби иногда лгали, иногда говорили правду. На языке островитян наши привычные слова «да» и «нет», как и на языках племен, населявших соседние острова, звучали, как «бал» и «да» (но означало ли слово «бал» согласие или отрицание, было неизвестно). Отвечая на вопросы, туземцы иногда говорили «да» и «нет», а иногда переходили на родной язык и говорили «бал» и «да».
Инспектор Крэг задал одному туземцу следующий вопрос: «Если кто-нибудь спросит вас, означает ли „бал“ — да и вы вздумаете отвечать на своем родном языке, то ответите ли вы „бал“?»
Туземец ответил, но инспектор Крэг не записал его ответ и не отметил, на каком языке он был дан. В его записной книжке осталась лишь пометка о том, что из полученного ответа Крэг сумел заключить, кем был туземец: зомби, полузомби или человеком.
Что ответил туземец инспектору Крэгу и на каком языке: на английском или на своем родном?
166. Что за ответ?
В другой раз на том же острове инспектор Крэг повстречал другого туземца и спросил у него: «Если кто-нибудь спросит вас, верно ли, что дважды два — четыре, и вы вздумаете отвечать на своем родном языке, то ответите ли вы „бал“?»