И на этот раз инспектор Крэг не записал, что ответилтуземец («бал», «да», «нет» или «да»). В его записной книжке помечено лишь, что из полученного ответа инспектор Крэг смог заключить, с кем он разговаривал: с зомби, полузомби или с обыкновенным человеком.
Что ответил туземец на вопрос инспектора Крэга?
Решения
158. Из нашего разговора невозможно заключить, что означает «бал», но можно с уверенностью сказать, что мой собеседник должен быть человеком.
Предположим, что «бал» означает «да». Тогда «бал» — правдивый ответ на вопрос, означает ли «бал» по-нашему «да». Следовательно, в этом случае мой собеседник должен быть человеком.
Предположим теперь, что «бал» означает «нет». Тогда наше обычное «нет» — правдивый ответ на вопрос, означает ли «бал» по-нашему «да». Следовательно, «бал» — правдивый ответ на языке туземцев на заданный мною вопрос. Значит, и в этом случае мой собеседник должен быть человеком. Итак, независимо от того, означает ли «бал» по-нашему «да» или «нет», мой собеседник — человек.
159. Достаточно спросить у туземца, человек ли он. Поскольку все коренные жители острова считают для себя за честь называться людьми, то повстречавшийся вам туземец, будь он человеком или зомби, на ваш вопрос ответит утвердительно. Если он ответит «бал», то «бал» означает «да». Если же он ответит «да», то «да» означает «да» (а «бал» — «нет»).
160. Достаточно задать первому встречному такой же вопрос, как в задаче 158, то есть спросить: «Означает ли „бал“ по-нашему „да“?» Если «бал» действительно означает «да», то правильный ответ на ваш вопрос должен гласить «бал». Поэтому человек ответит «бал», а зомби ответит «да». Если же «бал» не означает «да», то и в этом случае правильный ответ на ваш вопрос должен гласить «бал». Следовательно, и в этом случае человек ответит вам: «бал», а зомби скажет «да».
161. Заставить колдуна ответить «бал» можно несколькими способами. Например, вы можете спросить у колдуна, верно ли, что «бал» — правдивый ответ на вопрос, является ли колдун человеком. Можно доказать, что колдуну не останется ничего другого, как ответить «бал». Чтобы несколько упростить последующие рассуждения, обозначим через H вопрос «Вы человек?». Позволю себе напомнить, что вы не спрашиваете у колдуна, правилен или неправилен вопрос H. Вас интересует нечто другое: правилен ли ответ «бал» на вопрос H.
Случай 1: колдун — человек. Если «бал» означает «да», то «бал» — правильный ответ на H. Так как колдун — человек, то на ваш вопрос он даст правдивый ответ, то есть скажет «бал». Если же «бал» означает «нет», то «бал» — неправильный ответ на H. Следовательно, колдун, правдиво отвечая на ваш вопрос, скажет «бал» (что в данном случае будет означать «нет»). Таким образом, на ваш вопрос человек всегда ответит «бал» независимо от того, означает ли «бал» на туземном наречии «да» или «нет».
Случай 2: колдун — зомби. Если «бал» означает «да», то «бал» — неправильный ответ на H. Поскольку колдун — зомби, то он солжет и скажет, что «бал» — правильный ответ на H. Следовательно, на ваш вопрос колдун ответит «бал» (что означает «да, ответ правильный», то есть несомненную ложь). Если же «бал» означает «нет», то «бал» — правильный ответ на H. Следовательно, колдун солжет и скажет, что «бал» — неправильный ответ на H, то есть скажет «бал» (что в данном случае будет означать «нет»). Таким образом, на ваш вопрос зомби ответит «бал» независимо от того, означает ли «бал» на туземном наречии «да» или «нет».
Существуют и другие вопросы, позволяющие решить задачу. Приведем лишь два из них.
а) Верно ли, что либо вы человек и «бал» означает «да», либо вы зомби и «бал» означает «нет»?
б) Верно ли, что вы человек в том и только в том случае, если «бал» означает «да»?
162. Можно, причем не одним, а многими способами. Например, можно спросить у первого встречного: «Если кто-нибудь спросит у вас, есть ли на острове клад, ответите ли вы „бал“?» Как будет показано, если на острове есть клад, то туземец ответит «бал». Если же клада на острове нет, то туземец ответит «да» (оба ответа не зависят как от того, будет ли встретившийся вам островитянин человеком или зомби, так и от того, что именно означают в действительности слова «бал» и «да»).
Обозначим для краткости через G вопрос «Есть ли клад на этом острове?».
Случай 1: туземец — человек, и «бал» означает «да». Предположим, что на острове есть клад. Тогда на вопрос G туземец ответил бы «бал». Будучи человеком, повстречавшийся вам местный житель правдиво сказал бы вам, что он ответил бы «бал». Поэтому на заданный вами вопрос туземец ответит «бал». Предположим теперь, что клада на острове нет. Тогда на вопрос G туземец не ответил бы «бал» и, будучи человеком, сообщил бы вам, что он не ответил бы. Следовательно, на ваш вопрос туземец ответит «да».
Случай 2: туземец — зомби, и «бал» означает «да». Предположим, что на острове есть клад. Тогда «бал» — правдивый ответ на вопрос G, поэтому туземец, будучи зомби, не ответил бы на G словом «бал». В ответ на ваш вопрос он солгал бы, сказав, что ответил бы на G «бал». Таким образом, туземец ответил бы вам «бал». Предположим теперь, что никакого клада на острове нет. Тогда «бал» — неправильный ответ на вопрос G, поэтому зомби на вопрос G ответил бы «бал». Но вам он солгал бы и сказал, что на вопрос G он бы не ответил «бал». Следовательно, в этом случае туземец ответил бы на ваш вопрос «да».
Случай 3: туземец — человек, и «бал» означает «нет». Предположим, что на острове есть клад. Тогда «бал» — неправильный ответ на вопрос G, поэтому человек в ответ на G не сказал бы «бал». Следовательно, в ответ на ваш вопрос туземец правдиво сообщил бы, что на вопрос G он бы не ответил «бал». Следовательно, на ваш вопрос туземец ответил бы «бал».
Если же клада на острове нет, то «бал» — правильный ответ на вопрос G. Поэтому человек ответил бы на вопрос G «бал». Значит, на ваш вопрос человек ответил бы «да» (что означает «да, я ответил бы „бал“ на вопрос G»).
Случай 4: туземец — зомби, и «бал» означает «нет». Предположим, что на острове есть клад. Тогда на вопрос G туземец ответил бы «бал», но вам бы солгал, сказав, что он не ответил бы «бал». Следовательно, на ваш вопрос туземец ответил бы «бал». Предположим теперь, что на острове нет никакого клада. Тогда на вопрос G туземец ответил бы «да» и, следовательно, не ответил бы «бал». Вам же туземец солгал бы, сказав, что он ответил бы на G «бал». Значит, на ваш вопрос туземец ответил бы «да».
Итак, если на острове есть клад, то в каждом из четырех случаев вы услышите в ответ на свой вопрос «бал». Если же никакого клада на острове нет, то на ваш вопрос туземец ответит «да».
Приведенный нами вопрос — не единственный. Ту же задачу можно решить, задав первому встречному туземцу и другой вопрос, например: «Верно ли, что вы человек в том и только в том случае, если „бал“ — правдивый ответ на вопрос, есть ли на острове клад?»
163. Прежде всего я докажу, что свидетель C не может быть зомби. Предположим, что C — зомби. Тогда A и B должны быть братьями. Следовательно, они либо оба зомби, либо оба люди. Предположим, что A и B — люди. Тогда «бал» означает «да», поэтому A на вопрос, не виновен ли подсудимый, дал утвердительный ответ. Следовательно, подсудимый не виновен. Предположим теперь, что A и B — зомби. Тогда «бал» означает «нет», а поскольку A — зомби и на вопрос, не виновен ли подсудимый, отвечает отрицательно, то подсудимый не виновен. Итак, если C — зомби, то подсудимый не виновен (независимо от того, кто такие A и B — зомби или люди). С другой стороны, если C — зомби, то подсудимый должен быть виновен, так как C утверждает, что подсудимый не виновен, и мы приходим к противоречию. Следовательно, C не может быть зомби, и поэтому C — человек. А поскольку C утверждает, что подсудимый не виновен, то тот действительно не виновен.
164. Так как C — человек, то A и B не братья. Разумеется, это не обязательно означает, что A и B разнотипны: они вполне могут быть однотипными, не будучи братьями. Более того, они должны быть однотипными. Действительно, если бы они были разнотипными, то подсудимый непременно оказался бы виновным. В этом читатель без труда может убедиться сам.
165. Единственный из четырех возможных ответов («бал», «да», «да» и «нет»), который не могли бы дать ни человек, ни зомби, — это «нет». Действительно, если бы туземец был либо человеком, либо зомби и ответил бы инспектору Крэгу по-английски, то он должен был бы ответить «да». Если бы он ответил на родном языке, то, если «бал» означает «да», сказал бы «бал» (независимо от того, кто он — человек или зомби), а если «бал» означает «нет», сказал бы «да». (Доказательство этих утверждений я предоставлю читателю.) Следовательно, получив любой ответ, кроме «нет», инспектор Крэг не мог бы определить, кем был спрошенный им туземец. А поскольку инспектор сумел установить, кем был туземец, то полученный им ответ гласил «нет», и туземец был полузомби.
166. И в этой задаче, так же как и в предыдущей, туземец должен быть полузомби, а единственный ответ, по которому Крэг мог установить, кто его собеседник, должен быть «да» (на туземном наречии). Если бы туземец ответил по-английски, то Крэг не мог бы установить, с кем он разговаривает, так как и человек, и зомби на его вопрос ответили бы «да», если «бал» означает «да», и «нет», если «бал» означает «нет». Туземец, ответивший «бал», мог бы оказаться либо человеком, либо зомби, либо полузомби.
XII. Жив ли Дракула?
А. В Трансильвании
Несмотря на свидетельства очевидцев, подкрепленные ссылками на литературные источники, у меня были веские основания сомневаться в том, что с графом Дракулой Задунайским удалось разделаться, когда в могилу этого упыря забили осиновый кол. Я решил отправиться в Трансильванию и самостоятельно докопаться до истины. Отправляясь в дальние края, я ставил перед собой следующие три задачи: 1) выяснить, жив ли граф Дракула; 2) если его нет в живых, взглянуть на его бренные останки; 3) если он жив, то встретиться с ним.
Прибыв в Трансильванию, я вскоре обнаружил, что около половины ее населения составляют люди, а другую половину — упыри. Отличить упыря от человека по внешнему виду невозможно, но люди (по крайней мере в Трансильвании) всегда говорят правду, а упыри всегда лгут. Положение необычайно усложняется еще и тем, что половина обитателей Трансильвании лишились рассудка и придерживается превратных представлений о действительности: все истинные утверждения безумцы считают ложными, а все ложные утверждения — истинными. Другая половина обитателей находится в здравом уме и трезво судит о том, что истинно и что ложно. Таким образом, жители Трансильвании подразделяются на четыре типа:
1) люди в здравом уме;
2) люди, лишившиеся рассудка;
3) упыри в здравом уме;
4) упыри, лишившиеся рассудка.
Человек в здравом уме изрекает только истины. Человек, лишившийся рассудка, всегда лжет. Упырь в здравом уме также всегда лжет. Упырь, лишившийся рассудка, изрекает только истины. Например, человек в здравом уме скажет, что дважды два — четыре. Человек, лишившийся рассудка, скажет, что дважды два не равно четырем (поскольку он убежден, что дважды два действительно не равно четырем). Упырь в здравом уме скажет, что дважды два не равно четырем (поскольку он знает, что дважды два равно четырем, и умышленно лжет). Наконец, упырь, лишившийся рассудка, скажет, что дважды два — четыре (поскольку он убежден, что дважды два не равно четырем, и умышленно лжет).
167.
Однажды мне повстречался трансильванец, который заявил:
«Либо я человек, либо я в здравом уме».
Кем он был в действительности?
168.
Другой трансильванец заявил: «Я не человек в здравом уме».
Кем он был?
169.
Еще один трансильванец заявил: «Я человек, лишившийся рассудка.»
Однотипен ли он с трансильванцем из предыдущей задачи?
170.
Однажды я спросил у встречного: «Вы упырь, лишившийся рассудка?» Он ответил (либо «да», либо «нет»), и я узнал, к какому типу он принадлежал.
Кем он был?
171.
Однажды я встретил трансильванца, который заявил: «Я упырь».
Можно ли на основании этой фразы определить, был ли он человеком или упырем? Можно ли на основании той же фразы установить, в своем ли он уме или лишился рассудка?
172.
Некий трансильванец заявляет: «Я лишился рассудка».
а) Можно ли на основании этой фразы определить, в здравом ли он уме?
б) Можно ли на основании той же фразы установить, человек он или упырь?
173. Хитроумная задача.
Утверждение «если Q, то P» называется обратным утверждению «если P, то Q». Существуют два утверждения X и Y, такие, что каждое из них обратно другому, причем:
1) X не следует из Y, а Y — из X;
2) стоит любому жителю Трансильвании высказать любое из утверждений, как из этого следует, что другое утверждение должно быть истинным.
Можете ли вы привести два таких утверждения?
174.
Пусть X — любое утверждение и некий трансильванец считает, что он считает X истинным. Следует ли отсюда, что X должно быть истинным? Предположим, что наш трансильванец не считает, что он считает X истинным. Следует ли отсюда, что X должно быть ложным?
175.
Предположим, что некий трансильванец заявляет: «Я считаю X истинным». Следует ли отсюда, что X должно быть истинным, если наш трансильванец — человек? Следует ли отсюда, что должно быть ложно, если наш трансильванец — упырь?
Решение этой задачи устанавливает некий важный общий принцип!
176.
Однажды мне встретились два трансильванца A и B. Я спросил у A: «В — человек?» A ответил: «Думаю, да». Тогда я спросил у B: «Как вы думаете, A — человек?» Что ответил B? (Предполагается, что B ответил либо «да», либо «нет».)
177.
Назовем трансильванца надежным, если он либо человек в здравом уме, либо упырь, лишившийся рассудка, и ненадежным, если он либо человек, лишившийся рассудка, либо упырь в здравом уме. Надежные трансильванцы всегда высказывают истинные утверждения, ненадежные высказывают ложные утверждения (либо из-за расстройства ума, либо в силу заблуждения).
Предположим, что вы спрашиваете у трансильванца: «Вы надежны?» Он отвечает вам либо «да», либо «нет». Можно ли из ответа заключить, кто ваш собеседник: рыцарь или не упырь? Можно ли определить, в здравом ли он уме?
178.
Предположим, что вы задаете трансильванцу другой вопрос: «Вы думаете, что вы надежны?» Он отвечает либо «да», либо «нет». Можно ли из ответа заключить, кто ваш собеседник: упырь или человек? Можно ли установить, в здравом ли он уме?
Б. Жив ли граф Дракула?
179.
Напомню, что, отправляясь в Трансильванию, я прежде всего хотел выяснить, жив ли граф Дракула Задунайский. С этим вопросом я обратился к первому же встречному трансильванцу. Тот ответил: «Если я человек, то граф Дракула жив».
Можно ли по такому ответу установить, жив ли граф Дракула?
180.
Другой трансильванец в ответ на такой же вопрос заявил:
«Если я в здравом уме, то граф Дракула жив».
Можно ли из такого ответа заключить, жив ли граф Дракула?
181.
Еще один трансильванец, у которого я спросил, жив ли Дракула, ответил: «Если я человек и в здравом уме, то граф Дракула жив».
Можно ли заключить из такого ответа, жив ли граф Дракула?
182.
Предположим, что в ответ на мой вопрос некий трансильванец заявил: «Если я либо человек в здравом уме, либо упырь, лишившийся рассудка, то граф Дракула жив».
Можно ли заключить из такого ответа, жив ли граф Дракула?
183.
Существует ли такое утверждение, при помощи которого трансильванец, не прибегая к другим доводам, мог бы убедить вас в том, что граф Дракула жив и что само утверждение ложно?
184.
Существует ли такое утверждение, при помощи которого трансильванец, не прибегая к другим доводам, мог бы убедить вас, что граф Дракула жив и что относительно самого утверждения нельзя сказать, истинно оно или ложно?
185.
Предположим, что некий трансильванец высказал два следующих утверждения:
1) Я в здравом уме.
2) Считаю, что графа Дракулы нет в живых.
Можно ли на основании этих утверждений заключить, жив ли граф Дракула?
186.
Предположим, что некий трансильванец высказал следующие два утверждения:
1) Я человек.
2) Если я человек, то граф Дракула жив.
Можно ли из этих утверждений заключить, жив ли граф Дракула?
В. Какой вопрос задать?
187.
Можете ли вы, задав первому встречному трансильванцу лишь один вопрос, узнать, упырь он или человек?
188.
Можете ли вы, задав первому встречному трансильванцу лишь один вопрос, установить, в здравом ли он уме?
189.
Какой вопрос следует задать трансильванцу, чтобы заставить его ответить «да» независимо от того, к какому из четырех типов он принадлежит?
190.
Можете ли вы, задав трансильванцу лишь один вопрос, узнать, жив ли граф Дракула?
Г. В Замке графа Дракулы
Если бы я мог напрячь все силы своего разума и решить предыдущую задачу, то, несомненно, избавил бы себя от бесчисленных хлопот и множества неприятностей. Но я был так занят, настолько поглощен сложностью классификации трансильванцев, находящихся в здравом уме и утративших разум, изрекающих только истину или отдающих предпочтение лжи, что не мог сосредоточиться на решении задачи. Кроме того, должен признаться, что в обществе трансильванцев, среди которых за безобидной внешностью заведомо встречались упыри, я чувствовал себя не очень уютно. Мог ли я предполагать, что мне предстоят еще более суровые испытания!
Я все еще не знал, жив ли граф Дракула, и надеялся, что сумел бы получить ответ на свой вопрос, если бы мне удалось побывать в его замке. Я плохо представлял себе, что (по причинам, о которых вы вскоре узнаете) посещение замка знаменитого упыря осложнит мое и без того достаточно тяжелое положение.