Как заметил Эйнштейн, одним из следствий этой эквивалентности является то, что гравитация должна искривить световой луч. Это легко показать, используя мысленный эксперимент с лифтом. Представьте себе, что лифт ускоренно движется вверх, а лазерный луч входит через небольшое отверстие в одной из стенок. К тому времени, как он достигнет противоположной стены, пятно окажется немного ближе к полу, поскольку лифт продвинулся вверх. Если бы вы нарисовали его траекторию при движении через кабину лифта, она оказалась бы изогнутой из-за ускоренного движения лифта вверх. Принцип эквивалентности требует, чтобы этот эффект был одинаковым, когда лифт движется ускоренно вверх и когда он находится в состоянии покоя в гравитационном поле. Таким образом, при прохождении через гравитационное поле луч света должен казаться искривленным.
За почти четыре года, прошедшие после формулировки этого принципа, Эйнштейн не очень продвинулся в этом направлении, поскольку его отвлекла проблема световых квантов, и тогда он сосредоточился в основном на ней. Но в 1911 году он признался Мишелю Бессо, что устал заниматься квантами и опять вернулся к теории гравитационного поля, которая должна помочь ему обобщить теорию относительности. Решение этой проблемы заняло у него еще почти четыре года, и кульминацией этих усилий стало создание гениальной теории в ноябре 1915 года.
В статье “О влиянии силы тяжести на распространение света”, которую он послал в Annalen der Physik в июне 1911 года, он вернулся к своей идее 1907 года и сформулировал ее в виде строгого принципа. “В статье, опубликованной четыре года назад, мы уже пытались ответить на вопрос, влияет ли тяготение на распространение света, – начал он. – Мы теперь еще раз убедились в том, что один из самых важных выводов указанной работы поддается экспериментальной проверке”[45]. В процессе вычислений Эйнштейн предсказывает величину отклонения света, проходящего вблизи Солнца, его гравитационным полем: “Луч света, проходя мимо Солнца, будет отклоняться на 0,83 угловой (дуговой) секунды”[46].
И на этот раз он формулировал теорию из первых принципов и постулатов, а затем, пользуясь уравнениями этой теории, вычислял значения некоторых характеристик, которые экспериментаторы могли бы проверить в своих опытах. Как и прежде, он закончил свою статью рекомендацией поставить эксперимент: “Так как звезды в соседней с Солнцем области неба становятся видимыми при полных солнечных затмениях, это следствие теории можно сравнить с опытом. Было бы очень желательно, чтобы астрономы поставили такой эксперимент” [47]4.
Эрвин Финлей Фрейндлих, молодой астроном из Берлинской университетской обсерватории, прочитал статью и загорелся идеей провести описанный эксперимент. Но это невозможно было сделать до тех пор, пока не произойдет затмение и не будет виден свет от звезд, расположенных вблизи Солнца, а подходящего затмения не предвиделось еще три года.
Тогда Фрейндлих предложил попытаться измерить отклонение света звезд, вызванное гравитационным полем Юпитера. Увы, Юпитер оказался недостаточно тяжелым для решения этой задачи. “Если бы только у нас имелась гораздо большая планета, чем Юпитер! – пошутил Эйнштейн в письме Фрейндлиху в конце этого лета. – Но природа не считает нужным облегчать нам работу по открытию ее законов”5.
Теория, согласно которой световые лучи могут искривляться, поставила некоторые интересные вопросы. Повседневный опыт показывает, что свет распространяется по прямой линии. Плотники и строители сейчас используют лазерные уровни для проведения прямых линий при строительстве домов. Если лучи света искривляются при прохождении через области изменяющегося гравитационного поля, как можно определить прямую линию?
Траекторию светового луча, проходящего через меняющееся гравитационное поле, можно представить в виде линии, проведенной на сфере или деформированной поверхности. В этом случае самым коротким путем между двумя точками окажется кривая линия – например, геодезическая, которая на нашей планете представляет собой большую дугу или большую окружность. Возможно, искривление луча света означает, что ткань пространства, через которое проходит световой луч, изгибается под действием силы тяжести. Кратчайший путь через область пространства, деформированную вследствие гравитации, может оказаться довольно сильно отличающимся от прямых линий в евклидовой геометрии.
Появился еще один намек на то, что, возможно, понадобится новый тип геометрии. Эйнштейну это стало очевидно, когда он рассмотрел случай вращающегося диска. Когда диск вращается, с точки зрения наблюдателя, не участвующего в движении, длина окружности, которую он описывает, сокращается в направлении его движения. Диаметр окружности, однако, не претерпевает никаких сокращений. Таким образом, отношение длины окружности диска к ее диаметру уже не будет равно п. В таких случаях евклидова геометрия неприменима.
Вращательное движение является одной из форм движения с ускорением, так как в каждый момент времени точка на окружности претерпевает изменение направления движения, а это значит, что направление ее скорости изменяется (то есть возникает ускорение). В соответствии с принципом эквивалентности, поскольку для описания этого типа ускорения требуется неевклидова геометрия, она же должна описывать и гравитацию6.
К сожалению, как видно по результатам экзаменов Эйнштейна в Цюрихском политехникуме, в неевклидовой геометрии он был не слишком силен. К счастью, в Цюрихе у него нашелся старый друг и одноклассник, который как раз хорошо ее знал.
Математика
Когда Эйнштейн вернулся из Праги в Цюрих в июле 1912 года, один из первых визитов он нанес своему другу Марселю Гроссману – составителю конспектов, которыми пользовался и Эйнштейн, когда пропускал математические классы в Цюрихском политехникуме. По двум геометрическим курсам в Политехникуме Эйнштейн получил 4,25 из 6. Гроссман, напротив, по обоим геометрическим курсам получил высший балл – 6, написал диссертацию по неевклидовой геометрии, опубликовал семь статей по этой теме. В 1912 году он занимал пост декана математического факультета7.
Эйнштейн сказал ему: “Гроссман, ты должен помочь мне, или я сойду с ума”. Он объяснил, что ему нужен математический аппарат, с помощью которого можно было бы описать гравитационное поле, а возможно, даже установить законы, которым оно подчиняется. Эйнштейн вспоминал о реакции Гроссмана на этот призыв: “Он мгновенно загорелся”8.
До тех пор научный успех Эйнштейна основывался на его уникальном чутье, позволявшем ему ощущать основные физические законы природы, а найти лучшее математического описание этих законов казалось ему менее сложным и интересным делом, и он оставлял это другим. Например, подобную задачу в отношении специальной теории относительности выполнил его цюрихский коллега Минковский.
Но к 1912 году Эйнштейн пришел к выводу, что математика может быть полезным инструментом не только для описания законов природы, но и для их открытия. Математика была сценарием, по которому действует природа. “Основная идея общей теории относительности состоит в том, что гравитация возникает из кривизны пространства – времени, – говорит физик Джеймс Хартл. – Гравитация – это и есть геометрия”9.
“Сейчас я работаю исключительно над проблемами гравитации, и мне кажется, что с помощью здешнего друга-математика я смогу преодолеть все трудности, – писал Эйнштейн физику Арнольду Зоммерфельду, – у меня возникло огромное уважение к математике, наиболее сложные разделы которой я до сегодняшнего дня по своему невежеству считал чистым излишеством!”10
После разговора с Эйнштейном Гроссман отправился домой, чтобы подумать о проблеме, и, когда просмотрел соответствующую литературу, вернулся к Эйнштейну и порекомендовал ему неевклидову геометрию[48], которая была разработана Бернгардом Риманом11.
Риман (1826–1866) был вундеркиндом, который в возрасте четырнадцати лет изобрел вечный календарь и подарил его родителям. Он продолжил учебу в крупном германском центре математической науки – Геттингене – под руководством Карла Фридриха Гаусса, первым заинтересовавшегося геометрией искривленных поверхностей. Эту тему Гаусс предложил Риману в качестве диссертационной, и результаты этой работы впоследствии изменили не только геометрию, но и физику.
Геометрия Евклида описывает плоские поверхности, а на искривленных поверхностях она перестает быть справедливой. Например, сумма углов треугольника, нарисованного на плоской странице, равна 180°. Но посмотрите на глобус и представьте себе треугольник, образованный экватором в качестве основания, меридианом, проходящим от экватора к Северному полюсу через Лондон (долгота 0°) в качестве одной боковой стороны, и меридианом, проходящим от экватора к Северному полюсу через Новый Орлеан (долгота 90°), в качестве второй боковой стороны. Если вы посмотрите на этот треугольник, вы увидите, что все три его угла прямые, что, конечно, невозможно в плоском мире Евклида.
Геометрия Евклида описывает плоские поверхности, а на искривленных поверхностях она перестает быть справедливой. Например, сумма углов треугольника, нарисованного на плоской странице, равна 180°. Но посмотрите на глобус и представьте себе треугольник, образованный экватором в качестве основания, меридианом, проходящим от экватора к Северному полюсу через Лондон (долгота 0°) в качестве одной боковой стороны, и меридианом, проходящим от экватора к Северному полюсу через Новый Орлеан (долгота 90°), в качестве второй боковой стороны. Если вы посмотрите на этот треугольник, вы увидите, что все три его угла прямые, что, конечно, невозможно в плоском мире Евклида.
Гаусс и другие математики разработали различные типы геометрий, которые описывали поверхность сферы и других криволинейных поверхностей. Риман пошел дальше: он нашел способ описания поверхности независимо от того, как изменяется ее геометрия, – даже если при переходе из одной точки в другую поверхность превращалась из сферической в плоскую и потом в гиперболическую. А потом он пошел еще дальше и не ограничился исследованием кривизны двумерной поверхности, а, опираясь на работу Гаусса, нашел, как математически можно описать кривизну трехмерного и даже четырехмерного пространства.
Это сложная для понимания математическая концепция. Мы еще можем представить себе кривую линию или поверхность, но трудно представить искривленное трехмерное пространство и еще труднее – искривленное четырехмерное пространство. Но для математиков обобщение понятия кривизны на разные измерения является несложным делом – по крайней мере выполнимым. Оно выполняется с помощью введения метрики, которая определяет способ расчета расстояния между двумя точками в пространстве.
На плоской поверхности любой старшеклассник, изучавший алгебру, зная всего две нормальные координаты X и Y, с помощью старины Пифагора может вычислить расстояние между точками.
Но представьте себе плоскую карту (карту мира, например), которая представляет собой проекции полусфер земного шара на плоскость. Местность вблизи полюсов растянута, и измерение расстояний становится более сложным. Если взять две пары точек с одинаковыми расстояниями между ними, но расположенные в разных местах карты, фактические расстояния между двумя соответствующими точками в Гренландии и вблизи экватора нужно вычислять по-разному. Риман разработал способы, позволяющие математически вычислить расстояние между точками в пространстве независимо от того, каким образом оно искривлено и искажено12.
Для этого он использовал характеристику, называемую тензором. В евклидовой геометрии используются векторы – характеристики, которые имеют как величину, так и направление (например, и скорость, и сила являются векторами), и таким образом, для их описания требуется больше одного простого числа. В неевклидовой геометрии, где пространство искривлено, для его характеристики нам нужен какой-то более сложный геометрический объект, который определяется с помощью упорядоченного набора (матрицы) большего количества чисел (компонентов). Эти объекты называются тензорами.
Метрический тензор является математическим инструментом, который показывает, как рассчитать расстояние между точками в данном пространстве[49]. Для двумерных карт метрический тензор имеет три компоненты. Для трехмерного пространства он имеет шесть независимых компонент. А когда вы переходите к нашему знаменитому четырехмерному пространству, называемому пространством – временем, метрический тензор определяется уже десятью независимыми компонентами.
Риман развил концепцию метрического тензора, обычно обозначаемого символом gμν (произносится как джи-мю-ню). Он имеет шестнадцать компонентов, десять из которых независимы друг от друга и могут быть использованы для определения и описания расстояний в искривленном четырехмерном пространстве – времени13.
В работе по обобщению теории относительности Эйнштейн с Гроссманом стали использовать и тензор Римана, и другие тензоры, введенные итальянскими математиками Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивитой. Полезное свойство этих тензоров состоит в том, что они общековариантны, и это свойство оказалось важным, поскольку их общековариантность означает, что отношения между их компонентами остаются постоянными, даже когда происходят произвольные изменения или вращения системы координат в пространстве – времени. Другими словами, компоненты этих тензоров могут подвергаться множеству преобразований, связанных с изменениями системы отсчета, но основные закономерности, определяющие соотношения компонент тензора, должны оставаться неизменными14.
Когда Эйнштейн формулировал свою общую теорию относительности, главной его целью было найти математические уравнения, описывающие два взаимодополняющих процесса.
1. Нужно определить закон движения материи при воздействии на нее гравитационного поля.
2. Нужно определить, как искривится пространство – время под действием гравитационного поля, создаваемого в нем материей.
Его невероятно проницательная догадка состояла в том, что гравитация может быть определена как кривизна пространства – времени, и поэтому ее можно описать метрическим тензором. На протяжении более трех лет он будет судорожно искать правильные уравнения для того, чтобы связать воедино геометрические и физические характеристики15.
Годы спустя, когда его младший сын Эдуард спросит, чем он так знаменит, Эйнштейн ответит, используя простой образ для описания его грандиозной идеи о том, что гравитация – это искривление самой ткани пространства – времени. “Когда слепой жук ползет по поверхности изогнутой ветки, он не замечает, что в действительности движется по искривленной поверхности, – скажет он. – Мне повезло заметить то, что не заметил жук”16.
“Цюрихский блокнот”, 1912 год
Начиная с лета 1912 года Эйнштейн бился над выводом уравнения гравитационного поля, используя тензоры Римана и Риччи, а также некоторые другие. По записям в его блокноте, проливающим свет на ход его мыслей, можно проследить за первым этапом этих трудных поисков. Этот “Цюрихский блокнот” на протяжении нескольких лет расшифровывался и разбирался по косточкам командой ученых, в числе которых были Юрген Ренн, Джон Д. Нортон, Тильман Зауэр, Мишель Янссен и Джон Стэчел17.
В своих попытках решить проблему Эйнштейн использовал два подхода. В первом он применял так называемую физическую стратегию, с помощью которой пытался построить правильные уравнения исходя из набора требований, продиктованных его пониманием физики. В то же время он использовал и “математическую стратегию” – пытался вывести правильные уравнения из более формальных математических требований, используя тензорный анализ, как ему и рекомендовал Гроссман и другие математики.
“Физическая стратегия” Эйнштейна началась с его стремления обобщить принцип относительности так, чтобы он был применим для наблюдателей, двигающихся ускоренно или перемещающихся произвольным образом. Любое уравнение гравитационного поля, которое он собирался вывести, с его точки зрения, должно было удовлетворять следующим физическим требованиям.
• В частном случае слабых и статических гравитационных полей оно должно было удовлетворять ньютоновской теории. Другими словами, при определенных нормальных условиях его теория должна была бы сводиться к известным ньютоновским законам тяготения и уравнениям движения.
• Оно должно удовлетворять законам сохранения классической физики, в первую очередь – законам сохранения энергии и импульса.
• Оно должно было удовлетворять принципу эквивалентности, согласно которому наблюдения, произведенные равномерно ускоренным наблюдателем, и наблюдения, произведенные наблюдателем, покоящимся в соответствующем гравитационном поле, должны быть эквивалентны.
С другой стороны, в своей “математической стратегии” Эйнштейн сосредоточился на том, чтобы, используя общие математические свойства метрического тензора, найти уравнение гравитационного поля, которое обладало бы общей ковариантностью (по крайней мере приближенно).
Процесс работы шел в обоих направлениях: Эйнштейн проверял уравнения, которые он выводил из своих физических принципов, на соответствие свойству ковариантности, а с другой стороны, анализировал уравнения, включающие тензоры, которые выводились на основании изящных математических формулировок, и проверял, отвечают ли они физическим требованиям. “Страница за страницей блокнота заполнялась формулами в попытке подойти к решению проблемы и с той и с другой стороны, – говорит Джон Нортон, – здесь он пишет выражения, диктуемые физическими требованиями предельного перехода к ньютоновским уравнениям и законами сохранения энергии – импульса, там он пишет выражения, естественным образом вытекающие из ковариантности тензоров Риччи и Леви-Чивиты”18.