Математика для гиков - Рафаель Роузен 9 стр.

Вторник на Масленой неделе – это время для католиков, когда они могут наслаждаться едой из сахара и масла перед Великим постом, традиционным периодом покаяния.

2.17. Математика побеждает в суде

Математические понятия: теория вероятности и статистика, ошибка прокурора

Логическая ошибка – это ошибка в процессе рассуждения, так что даже если вы начинаете с фактов, вы можете прийти к ложному заключению. Иногда логические ошибки связаны с теорией вероятности, традиционной математической темой. А в некоторых случаях логические ошибки, связанные с теорией вероятности, могут помочь признать виновность человека, подозреваемого в преступлении.

Одной такой ошибкой является ошибка прокурора. Когда человек использует эту ошибку в споре – в данном случае «спор» означает не ссору, а ряд аргументированных утверждений, которые нацелены на обоснование положения, – он пытается установить преимущество определенного возникающего факта. Но в процессе установления этих преимуществ он по ошибке сравнивает факт с неуместным набором событий.

Пример поможет ясно показать внутренние механизмы ошибки прокурора. Известный случай такой ошибки произошел в 1998 году на суде Салли Кларк, британки, чьи два ребенка умерли, когда им было всего несколько недель. Защита утверждала, что обе смерти были вызваны СВДС (синдромом внезапной детской смерти), а обвинение настаивало, что Кларк убила двоих детей. Обвинение построило свои аргументы на вероятности двух смертей от СВДС в одной семье. Так как смерть от СВДС является редким явлением, то два случая в одной семье будут еще более маловероятными. Один свидетель-эксперт, сэр Рой Мэдоус, педиатр, заявил, что шанс двух смертей от СВДС в одной семье равен 1:73 миллионам. Но он допустил две ошибки:

1. Первая состояла в мысли, что смерти не будут иметь какой-либо корреляции, будь то генетической или экологической; вместо этого он сделал расчеты, предполагая, что каждая смерть была абсолютна независима от другой. Но эта ошибка не была примером ошибки прокурора.

2. Ошибка возникла, когда сэр Рой рассчитал вероятность СВДС в одной семье против группы примеров, где и вовсе не было смертей от СВДС, то есть против большей части населения, чьи дети никогда не страдали от синдрома. На самом деле, такое сравнение неуместно.

Сравнение, которое должно было быть произведено, выглядит следующим образом. Из примеров, когда два ребенка в одной семье умирали в детстве, сколько смертей произошло из-за СВДС, сколько из-за убийства, сколько из-за комбинации СВДС и убийства и сколько по другим причинам? Дальнейшие расчеты профессора математики из британского университета Солфорд показали, что двойная смерть от СВДС более вероятна, чем двойное убийство в соотношении 4,5:9.

Что касается суда, то изначально Салли Кларк была признана виновной, но в 2003 году ее оправдали.

Существуют другие ситуации, в которых то, как вы смотрите на доказательства, может исказить выводы, которые вы можете сделать. В ошибке Берксона выборка заставляет человека поверить, что два качества причинно связаны, когда на самом деле это неправда; вместо этого связь заключена в выборке, которая была сделана. Например, определенная группа невысоких женщин может хорошо говорить на испанском, но это не значит, что невысокий рост и знание испанского как-то связаны. Две характеристики могут показаться связанными причиной, но отбор мог быть сделан из местности, где был высокий процент испаноговорящих людей (американский город с большим испаноязычным населением, например, а не маленький городок в Дании, где мало кто говорит по-испански).

2.18. Что на самом деле значит фраза: вероятность дождя 40 %?

Математическое понятие: теория вероятности

Вы всю свою жизнь слушаете прогнозы погоды, но что они значат на самом деле? Когда метеоролог сообщает по телевизору, что завтра возможность выпадения осадков составляет 40 %, что он имеет в виду?

Предсказание погоды включает в себя теорию вероятности, фундаментальный раздел математики. И та часть прогноза погоды, которая предсказывает осадки, носит соответствующее название – вероятность осадков. Но часто люди не понимают, что значат эти 40 %. Это не значит, что дождь (или снег, град) будет идти 40 % времени или на 40 % данной территории. Это значит, что из 10 дней с примерно теми же условиями, что и завтра, осадки выпадут в течение 4 из этих 10 дней. (И наоборот, прогноз утверждает, что в течение 6 из этих 10 дней осадков не будет.)

Значение прогноза можно сделать еще точнее. Согласно Национальной метеорологической службе – федеральному агентству, предоставляющему стране информацию, касающуюся погоды, – 40 % вероятность дождя значит, что существует 4 из 10 шансов, что 0,01 дюйма – 1/100 дюйма – осадков выпадет где-то на территории района прогноза. Национальная метеорологическая служба использует специальную формулу для подсчета вероятности осадков: вероятность осадков = С × А. В этом уравнении С – уверенность в том, что осадки выпадут где-то в районе прогноза, а А – это процентная доля района, в котором выпадут осадки.

Но методы, которые используют для вычисления вероятности осадков, отличаются друг от друга. На телевидении, например, вероятность дождя 40 % означает, что существует 4 шанса из 10, что осадки – не просто 0,01 дюйма – выпадут в районе прогноза, и это включая три часа до или после прогноза. Этот метод гарантирует, что зрители будут обдумывать, взять ли с собой зонт.

Другим методом является ансамблевый прогноз, включающий в себя несколько прогнозов, каждый из которых вероятен и каждый из которых начинается с разных условий. Наблюдая за тем, как отличается каждый прогноз, метеорологи могут определить, какую изменчивость несет будущая погода: чем больше изначальные прогнозы отличаются, тем менее единодушны метеорологи в вопросе о направлениях таких погодных явлений, как шторм. Например, когда ураган «Катрина» бушевал у берегов Атлантического океана, перед тем, как он перешел в Мексиканский залив, прогнозы, где он столкнется с берегом, и тот путь, который он проделает по континентальной части США после этого, отличались коренным образом. Некоторые предсказывали, что «Катрина» ударит по Новому Орлеану, а другие утверждали, что она пойдет по восточной части Мексиканского залива. Однако как только «Катрина» пересекла Флориду, предсказания перестали разниться, и метеорологи лучше понимали, куда направится ураган.

2.19. Стратегии сдачи тестов, основанные на математике

Математическое понятие: арифметика

Когда вы в следующий раз будете проходить тест, подумайте, а не воспользоваться ли вам математикой, чтобы улучшить свой результат. Это может стать неожиданным поворотом, но вы можете улучшить свой результат, даже если это тест не по математике!

В своей книге «Как математика может спасти твою жизнь» математик Джеймс Д. Стейн описывает стратегию, которая, по его словам, может улучшить ваш результат на один балл (предполагается, конечно, что вы ходили на уроки и учили материал). Первая часть стратегии – узнать, как будет оцениваться тест. Ответ на каждый вопрос будет приносить одинаковое количество баллов? И будут ли снимать баллы за неправильный ответ, как это делает SAT («Академический оценочный тест» в США. Прим. пер.)? Если баллы не снимают, вы должны постараться ответить на все вопросы, даже если вы делаете это наугад. (Стратегия Стейна работает только для определенных видов тестов: да/нет, с несколькими вариантами ответов и решение задач, которые можно найти в тестах по математике и другим естественным наукам.)

Затем Стейн рекомендует пройтись по тесту и ответить только на те вопросы, ответы на которые вы можете дать сразу, не задумываясь, или те, которые можете решить. Если вам нужно более двух секунд, вы должны остановиться и перейти к следующему вопросу. Потом вы должны посчитать, сколько вопросов осталось без ответов, и выяснить, сколько времени у вас осталось. Разделив одно на другое, вы получите среднее количество времени, которое можете потратить на каждый оставшийся вопрос.

Более того, вы не должны сначала отвечать на самые трудные вопросы. Вы рискуете потратить все время на несколько вопросов, когда можете набрать больше баллов, отвечая на большее количество более легких вопросов.

Возможно, вам говорили при прохождении теста с несколькими вариантами ответов, что, если вы не знаете ответа, вы всегда должны выбирать вариант «В». Это может быть не самой лучшей стратегией, тем более что ваши учителя, скорее всего, об этом знают и поэтому создавали этот тест, распределяя правильные ответы равномерно. Лучше сужать выбор и делать обоснованное предположение. Но если в вопросе 4 варианта ответа, у вас есть 25 % вероятности правильного ответа методом «тыка».

2.20. Ваша иммунная система способна к математике?!

Математическое понятие: задача коммивояжера

Обычно мы не думаем о том, что наши клетки нашего организма могут решать математические задачи, но недавние исследования показали, что эти крошечные живые единицы могут это делать. Данные клетки – это особый вид белых кровяных клеток в иммунной системе, чьей обязанностью является определение и поглощение чужеродных тел (вирусов или бактерий). Когда инфекция найдена, их задачей становится наиболее эффективно атаковать чужеродные клетки. Фактически это версия задачи коммивояжера (см. главу 2.10). В случае человеческого тела эта проблема несколько важнее, чем продажа товаров как можно большему числу людей: чем эффективнее белые кровяные клетки будут находить и уничтожать чужеродные тела, тем меньше вероятность, что организму будет нанесен вред.

Метод, который используют клетки, называется хемотаксисом, то есть в какой-то мере клетки находят чужеродные тела по запаху. Они обнаруживают их химические признаки и движутся в их направлении. Согласно симуляциям, которые были проведены на компьютере, когда белые кровяные клетки сталкиваются с 10 вирусами или бактериями, порядок атаки и устранения чужеродных тел всего на 12 % длиннее, чем самый короткий возможный маршрут. Довольно впечатляюще для живой единицы, которая меньше головки булавки!

Иммунная система вдохновила ученых создать новый научный раздел: искусственную иммунную систему (ИИС). Основной задачей ИИС является внедрение такого естественного явления, как память иммунной системы, в решение проблем в математике и инженерии. В более широком смысле, ИИС входит в область искусственного интеллекта и предлагает вдохновение для новых источников идей и инноваций.

2.21. Как работает переводчик Google

Математические понятия: теория вероятности, компьютерное программирование

Если вы когда-нибудь учили другой язык, то вы знакомы с процессом перевода. Студент, изучающий языки, дотошно анализирует каждое предложение, пытаясь выяснить значение каждого слова со словарем в руках и знанием грамматических правил в голове. Потом он определяет род и число и выделяет подсказки контекста. Если вы не владеете обоими языками в совершенстве, этот процесс будет трудоемким и будет выполняться по частям.

Но переводчик Google обходит всю эту работу стороной. Вместо этого программа по переводу Google использует статистические методы, чтобы сравнить документы на первом языке с документами на втором языке. Полагаясь на тексты, предоставленные ООН, которая обычно их публикует на шести языках (английском, французском, русском, испанском, китайском и арабском), программа выстроила огромную базу данных языковых примеров (база данных переводчика Google на данный момент использует информацию примерно на 80 языках). Она сканирует сотни миллионов документов в поисках структур и пытается определить, как слова чаще всего переводятся. Этот процесс, который вообще не зависит от знания определений слов или грамматики, называется статистическим машинным переводом. С математикой его связывает то, что он зависит от теории вероятности: при наличии предложения на языке А, какова вероятность того, что предложение на языке Б – это перевод первого предложения?

Статистический машинный перевод берет свое начало в теории информации, разделе прикладной математики, который занимается обработкой сигналов, сжатием данных и языками. Предполагается, что он родился благодаря инженеру и математику Клоду Шеннону с публикацией работы «Математическая теория связи» в 1948 году в журнале телефонной компании «Bell System». Теория информации используется в криптографическом анализе, а также в передаче сообщений с помощью мобильных телефонов и компьютеров. Без математики в теории информации телефон в вашем кармане будет не полезнее кирпича. И потрясающая возможность перевода текста с помощью вычислительной обработки данных с помощью сети станет невозможной.

Теория информации также необходима людям, которые работают под землей, чтобы добыть нефть. Их поле деятельности, сейсмическая разведка нефти, зависит от теории информации, чтобы устранить нежелаемый шум, который может стать помехой для сигналов из нефтяных месторождений, и выдать чистый сигнал.

2.22. Не следуй вплотную

Математическое понятие: арифметика

Чем быстрее вы едете на своей машине, тем больше шансов у вас получить травмы. На высокой скорости у вас меньше времени, чтобы среагировать на другие машины на дороге, а тяжесть травм в результате аварии возрастает. Но на сколько именно каждая величина увеличивается или уменьшается? Математика может предоставить несколько полных ответов и, возможно, воодушевит вас ездить осторожнее.

Представим, что вы едете со скоростью 60 миль в час. Если вы знаете, что миля равна 5280 футам, то вы можете посчитать, что двигаетесь со скоростью 88 футов в секунду. А так как длина автомобиля равна примерно 15 футам, то за эту одну секунду вы будете проезжать длину в 6 автомобилей (так как 6 × 15 = 90, а это почти 88). Если по правилам безопасности вы должны следовать за машиной спереди так, чтобы между вами мог поместиться один автомобиль за каждые добавленные 10 миль в час к вашей скорости, то вас будет отделять длина в 6 машин (при условии, что эта машина едет с той же скоростью, что и вы). Эти вычисления показывают, что если у машины, которая едет спереди, вдруг лопает колесо, то у вас есть одна секунда, чтобы среагировать на это.

Поэтому следовать вплотную – это очень плохая идея.

Индекс тяжести по Гэдду определяет, насколько автомобильная авария воздействует на человека, который сидит внутри. Уравнение выглядит так: индекс тяжести = a5/2 (t), где а – ускорение, а t – время в секундах. Голова человека может вынести значения индекса тяжести, которые меньше 1000, если продолжительность времени очень короткая (порядка миллисекунд).

2.23. Эффект бразильского ореха

Математическое понятие: гранулярная конвекция

Это неизбежно. Когда вы покупаете банку орехов, то каким-то чудом все большие орехи оказываются сверху. То же самое происходит и с хлопьями: большие хлопья, как и орехи, оказываются сверху, так что на дне и в середине мы остаемся без этих вкусных кусочков. Помимо своего обескураживающего действия, так называемый эффект бразильского ореха имеет и другие связи с математикой. Но какие?

Одна популярная гипотеза связывает происхождение эффекта с размерами частиц (которыми могут быть орехи, хлопья, галька, маленькие стеклянные шарики или любые другие смеси объектов). Когда смесь частиц сталкивается, частицы двигаются вертикально, пусть даже на короткое расстояние. В этот момент между частицами образуется пространство и другие частицы по бокам контейнера его заполняют. Но крупные частицы не могут поместиться в пространство, освобожденное мелкими частицами. В результате крупные частицы все время движутся вверх. Как только они достигают вершины, они там остаются, а мелкие частицы двигаются в бок и потом вниз на дно продолжительным циклом, известным как гранулярная конвекция. (Вы видели конвекцию в действии, если видели кастрюлю с кипящей водой. Молекулы воды поднимаются наверх по мере того, как нагреваются, а потом опускаются, когда остужаются.) Математика в коробке хлопьев? Еще бы!

Люди, которые путешествуют по снежным горам, теперь могут носить устройства, которые увеличиваются в размере во время схода лавины, они становятся больше, и, следовательно, возрастает вероятность того, что вы будете двигаться к поверхности, если вас накроет снегом. Эта идея использует тот же принцип эффекта бразильского ореха, который потенциально может спасти жизнь.

2.24. Развеиваем мифы: больше дорог не гарантируют меньше пробок

Математические понятия: сети и системы, парадокс Браеса

В 1968 году немецкий математик Дитрих Браес обнаружил странную особенность сетевых систем, которая, казалось, бросает вызов здравому смыслу. Доктор Браес, который сейчас преподает в Рурском университете в Бохуме в Германии, изучал транспортный поток и заметил, что в некоторых случаях, когда поток машин был сильным, дополнительные дороги на самом деле только ухудшали ситуацию. Точно так же удаление дорог из некоторых районов, перегруженных трафиком, позволяло автомобилям легче передвигаться. Эта идея была не просто нелогичной; она противоречила догматам городского планирования. Как такое возможно?