Очевидность этих положений становится особенно наглядной, когда они переформулируются в терминах конкретных действий. Обязательно, допустим, платить налоги только при условии, что их запрещено не платить; разрешено пропустить ход в игре, если это не запрещено, и т.п.
Невозможно что-то сделать и вместе с тем не сделать, выполнить какое-то действие и одновременно воздержаться от него. Нельзя засмеяться и не засмеяться, закипятить воду и не закипятить её. Понятно, что требовать от человека выполнения невозможного неразумно: он все равно нарушит это требование. На этом основании в логику норм вводят принцип, согласно которому действие и воздержание от него не могут быть вместе обязательными.
Реальные системы норм – особенно включающие тысячи и десятки тысяч норм – обычно не вполне последовательны. В них тем или иным путём появляются нормы, одна из которых запрещает что-то, а другая разрешает это же самое или одна требует сделать что-то, а другая предписывает воздерживаться от этого.
Существование таких систем с конфликтующими нормами не означает, конечно, что логика не должна требовать непротиворечивости нормативного рассуждения. Реальные научные теории тоже развиваются постепенно, путём постоянного их расширения и перестройки. Новое в этих теориях зачастую оказывается не совместимым со старым. Непоследовательность и прямая противоречивость теорий не считаются основаниями для отказа от логического требования непротиворечивости. Противоречивость многих существующих систем норм также не означает, что от них не следует требовать логической последовательности и непротиворечивости.
Важность изучения законов логики оценок и логики норм несомненна. Они конкретизируют общую идею, утверждающую, что рассуждения, включающие оценки и нормы, не выходят за сферу «логического» и могут успешно анализироваться и описываться с помощью методов логики. Кроме того, эти законы могут использоваться при исследовании различных конкретных рассуждений.
Французский философ Ш.Монтескьё пишет о римском императоре Калигуле, который однажды произвёл в сенаторы своего коня:
«Калигула показал себя настоящим софистом в своей жестокости… То он говорил, что будет наказывать консулов как в том случае, если они будут праздновать день, установленный в память победы при Акции, так и в том случае, если они не будут праздновать его. Когда умерла Друзилла, которой он велел воздавать божественные почести, то было преступлением плакать по ней, потому что она была богиней, и не плакать, потому что она была сестрой императора».
Очевидно, что распоряжения Калигулы противоречат логике. Одновременно запрещается выполнять определённое действие и воздерживаться от его выполнения. Логически это невозможно, и, как бы ни вели себя те, кому адресованы эти распоряжения, одно из запрещений неизбежно будет нарушено.
Глава 9 Логика категорических высказываний
1. Категорические высказывания
При рассмотрении способов образования сложных высказываний из простых внутреннее строение простых высказываний во внимание не принималось. Они брались как неразложимые атомы, обладающие только одним свойством: быть истинными или ложными. Простые высказывания не случайно иногда именуются атомарными: из них, как из элементарных кирпичиков, с помощью логических связок «и», «или» и т.п. строятся разнообразные сложные («молекулярные») высказывания.
Теперь следует остановиться на вопросе о внутреннем строении, или внутренней структуре, самих простых высказываний: из каких конкретных частей они слагаются и как эти части связаны между собой.
Сразу же нужно подчеркнуть, что простые высказывания могут разлагаться на составные части по-разному. Результат разложения зависит от цели, ради которой оно осуществляется, т.е. от той теории логического вывода (логического следования), в рамках которой анализируются такие высказывания.
Далее будет рассматриваться лишь одна разновидность простых высказываний – категорические высказывания, по традиции называемые также категорическими суждениями.
Особый интерес к категорическим высказываниям объясняется прежде всего тем, что с исследования их логических связей началось развитие логики как науки. Кроме того, высказывания этого типа широко используются в наших рассуждениях.
Категорическое высказывание – это высказывание, в котором утверждается или отрицается наличие какого-то признака у всех или некоторых предметов рассматриваемого класса.
Например, в высказывании «Все динозавры вымерли» всем динозаврам (или, что то же самое, каждому из динозавров) приписывается признак «быть вымершими». В высказывании «Некоторые динозавры летали» способность летать приписывается некоторым динозаврам. В высказывании «Все кометы не астероиды» отрицается наличие признака «быть астероидом» у каждой из комет. В высказывании «Некоторые животные не являются травоядными» отрицается травоядность некоторых животных.
Если отвлечься от количественной характеристики, содержащейся в категорическом высказывании и выражающейся словами «все» и «некоторые», то получится два варианта таких высказываний: утвердительный и отрицательный. Их структура:
«S есть Р» и «S не есть Р»,
где буква S представляет имя того предмета, о котором идёт речь в высказывании, а буква Р – имя признака, присущего или не присущего этому предмету.
Предмет, о котором говорится в категорическом высказывании, называется субъектом, а его признак – предикатом. Субъект и предикат именуются терминами категорического высказывания и соединяются между собой связками «есть» или «не есть» («является» или «не является» и т.п.). Например, в высказывании «Солнце есть звезда» терминами являются имена «Солнце» и «звезда» (первый из них – субъект высказывания, второй – его предикат), а слово «есть» – связка.
Простые высказывания типа «S есть (не есть) Р» называются атрибутивными: в них осуществляется атрибуция (приписывание) какого-то свойства предмету.
Атрибутивными высказываниям противостоят высказывания об отношениях, в которых устанавливаются отношения между двумя или большим числом предметов: «Три меньше пяти», «Киев больше Одессы», «Весна лучше осени», «Париж находится между Москвой и Нью-Йорком» и т.п. Высказывания об отношениях играют существенную роль в науке, особенно в математике. Они не сводятся к категорическим высказываниям, поскольку отношения между несколькими предметами (такие, как «равно», «любит», «теплее», «находится между» и т.д.) не сводятся к свойствам отдельных предметов.
В категорическом высказывании не просто устанавливается связь предмета и признака, но и даётся определённая количественная характеристика субъекта высказывания. В высказываниях типа «Все S есть (не есть) Р» слово «все» означает «каждый из предметов соответствующего класса». В высказываниях типа «Некоторые S есть (не есть) Р» слово «некоторые» употребляется в неисключающем смысле и означает «некоторые, а может быть все». В исключающем смысле слово «некоторые» означает «только некоторые», или «некоторые, но не все». Различие между двумя смыслами этого слова можно продемонстрировать на примере высказывания «Некоторые звезды есть звезды». В неисключающем смысле оно означает «Некоторые, а возможно и все звезды есть звезды» и является, очевидно, истинным. В исключающем же смысле данное высказывание означает «Лишь некоторые звезды являются звёздами» и является явно ложным.
В категорических высказываниях утверждается или отрицается принадлежность каких-то признаков рассматриваемым предметам и указывается, идёт ли речь обо всех этих предметах или же о некоторых из них. Возможны, таким образом, четыре вида категорических высказываний:
Все S есть Р – общеутвердительное высказывание,
Некоторые S есть Р – частноутвердительное высказывание,
Все S не есть Р – общеотрицательное высказывание,
Некоторые S не есть Р – частноотрицательное высказывание.
Категорические высказывания можно рассматривать как результаты подстановки каких-то имён в следующие выражения с «пробелами» (многоточиями): «Все… есть…», «Некоторые… есть…», «Все… не есть…» и «Некоторые… не есть…». Каждое из этих выражений является логической постоянной (логической операцией), позволяющей из двух имён получить высказывание. Например, подставляя вместо многоточий имена «летающие» и «птицы», получаем, соответственно, следующие высказывания: «Все летающие есть птицы», «Некоторые летающие есть птицы», «Все летающие не есть птицы» и «Некоторые летающие не есть птицы». Первое и третье высказывания являются ложными, а второе и четвёртое – истинными.
Аристотель истолковывал рассматриваемые четыре выражения именно как логические постоянные, не имеющие самостоятельного содержания и позволяющие из двух обладающих содержанием имён получать содержательные, являющиеся истинными или ложными высказывания.
В традиционной логике предполагалось также, что имена, подставляемые вместо многоточий (или переменных, если они используются вместо многоточий), не должны быть единичными или пустыми. Иначе говоря, высказывания типа «Платон – человек», «Все золотые горы – это горы» не относятся к категорическим в традиционном смысле, поскольку «Платон» – единичное имя, а «золотые горы» – пустое имя.
Обозначим оборот «Все… есть…» буквой а, оборот «Некоторые… есть…» буквой i (первые гласные буквы латинского слова affirmo – утверждаю), оборот «Все… не есть…» буквой е и оборот «Некоторые… не есть…» буквой о (гласные буквы латинского слова nego – отрицаю).
SaP – «Все S есть Р» – «Все жидкости упруги»,
SiP – «Некоторые S есть Р» – «Некоторые животные говорят»,
SeP – «Все S не есть Р» – «Все дельфины не есть рыбы»,
SoP – «Некоторые S не есть Р» – «Некоторые металлы не есть жидкости».
Отношения между терминами в четырех видах категорических высказываний представляются с помощью кругов Эйлера следующим образом:
2. Логический квадрат
Некоторые отношения между четырьмя видами категорических высказываний графически представляются так называемым логическим квадратом.
Противоречащие высказывания (SaP и SoP; SeP и SiP) не могут быть одновременно истинными и ложными; если одно из них истинно, то другое ложно. Так, если высказывание «Все киты дышат лёгкими» истинно, то высказывание «Некоторые киты не дышат лёгкими» ложно. Если высказывание «Некоторые медведи – не бурые» истинно, то высказывание «Все медведи – бурые» ложно.
Противные высказывания (SaP и SeP), в отличие от противоречащих, могут вместе быть ложными, но не могут быть вместе истинными. Так, высказывания «Все спортсмены – гроссмейстеры» и «Ни один спортсмен не гроссмейстер» оба ложны. Поскольку высказывание «У всех людей есть головы» истинно, то высказывание «Ни у одного человека нет головы» ложно; и если высказывание «Все металлы не являются газами» истинно, то высказывание «Все металлы – газы» ложно.
Подпротивные высказывания (SiP и SoP) не могут быть одновременно ложными, но могут быть одновременно истинными. Так, если высказывание «Некоторые овцы – хищники» ложно, то высказывание «(По меньшей мере) некоторые овцы не являются хищниками» истинно. Высказывания же «Некоторые спортсмены – футболисты» и «Некоторые спортсмены не футболисты» оба истинны.
В отношении подчинения находятся попарно высказывания SaP и SiP, SeP и SoP. Из подчиняющего высказывания логически следует подчинённое: из SaP вытекает SiP и из SeP вытекает SoP. Это означает, что из истинности подчиняющего высказывания логически следует истинность подчинённого, и из ложности подчинённого следует ложность подчиняющего. К примеру, из высказывания «Все киты являются млекопитающими» следует высказывание «Некоторые киты млекопитающие», а из высказывания «Все металлы не являются сжимаемыми» следует высказывание «Некоторые металлы не сжимаемы».
Ещё раз подчеркнём, что противоречат друг другу высказывания «Все S есть Р» и «Некоторые S не есть Р» и высказывания «Все S не есть Р» и «Некоторые S есть Р». Высказывания же «Все S есть Р» и «Все S не есть Р», а также высказывания «Некоторые S есть Р» и «Некоторые S не есть Р» не противоречат друг другу.
Логические связи категорических высказываний, представляемые логическим квадратом, можно представить также в форме непосредственных умозаключений, т.е. умозаключений из одной посылки.
Противоречат друг другу высказывания «Все S есть Р» и «Некоторые S не есть Р», а также высказывания «Все S не есть Р» и «Некоторые S есть Р». Это означает, что являются правильными следующие, в частности, непосредственные умозаключения:
Все S есть Р.
Неверно, что некоторые S не есть Р.
Из высказывания «Все совы – птицы» непосредственно вытекает высказывание «Неверно, что некоторые совы не являются птицами».
Некоторые S не есть Р.
Неверно, что все S есть Р.
Из высказывания «Некоторые учёные не химики» непосредственно вытекает высказывание «Неверно, что все учёные химики».
Все S не есть Р.
Неверно, что некоторые S есть Р.
Из высказывания «Все киты не рыбы» непосредственно вытекает высказывание «Неверно, что некоторые киты – рыбы».
Некоторые S есть Р.
Неверно, что все S не есть Р.
Из высказывания «Некоторые жидкости упруги» непосредственно следует высказывание «Неверно, что все жидкости неупруги».
Противные высказывания (SaP и SeP) не могут быть вместе истинными.
Все S есть Р.
Неверно, что все S не есть Р.
Из высказывания «Все летающие имеют крылья» непосредственно вытекает высказывание «Неверно, что все летающие не имеют крыльев».
Все S не есть Р.
Неверно, что все S есть Р.
Из высказывания «Все категорические высказывания не являются условными» непосредственно вытекает высказывание «Неверно, что все категорические высказывания – условные».
Из подчиняющего высказывания логически следует подчинённое:
Все S есть Р.
Некоторые S есть Р.
Из высказывания «Все люди дышат лёгкими» непосредственно вытекает высказывание «(По меньшей мере) некоторые люди дышат лёгкими».
Все S не есть Р.
Некоторые S не есть Р.
Из высказывания «Все тигры не птицы» непосредственно вытекает высказывание «Некоторые тигры не птицы».
3. Категорический силлогизм
Категорический силлогизм (или просто: силлогизм) – это дедуктивное умозаключение, в котором из двух категорических высказываний выводится новое категорическое высказывание.
Логическая теория такого рода умозаключений называется силлогистикой. Она была создана ещё Аристотелем и долгое время служила образцом логической теории вообще.
В силлогистике выражения «Все… есть…», «Некоторые… есть…», «Все… не есть…» и «Некоторые… не есть…» рассматриваются как логические постоянные, т.е. берутся как единое целое. Это не высказывания, а определённые логические формы, из которых получаются высказывания путём подстановки вместо многоточий каких-то имён. Подставляемые имена называются терминами силлогизма.
Существенным является следующее традиционное ограничение: термины силлогизма не должны быть пустыми или отрицательными.
Примером силлогизма может быть:
Все жидкости упруги.
Вода – жидкость.
Вода упруга.
В каждом силлогизме должно быть три термина: меньший, больший и средний.
Меньшим термином называется субъект заключения (в примере таким термином является термин «вода»).
Большим термином именуется предикат заключения («упруга»). Термин, присутствующий в посылках, но отсутствующий в заключении, называется средним («жидкость»). Меньший термин обозначается обычно буквой S, больший – буквой Р и средний – буквой М. Посылка, в которую входит больший термин, называется большей. Посылка с меньшим термином называется меньшей. Большая посылка записывается первой, меньшая – второй. Логическая форма приведённого силлогизма такова:
Все М есть Р.
Все S есть М.
Все S есть Р.
В зависимости от положения среднего термина в посылках (является он субъектом или предикатом в большей и меньшей посылках) различаются четыре фигуры силлогизма. Схематически фигуры изображаются так:
По схеме первой фигуры построен силлогизм: