Таким образом, фраза har-de-har-har – своего рода каламбур на тему r dr r, но почему она является решением математической задачи? Дело в том, что задача относится к пользующейся дурной славой области математики под названием «математический анализ» – дисциплины, вселяющей ужас в сердца многих подростков и вызывающей кошмарные воспоминания у людей постарше. Как объясняет учительница во время постановки задачи, цель математического анализа – «определить уровень изменения» одной величины, в данном случае y, по сравнению с изменениями другой величины, r.
Если вы помните правила матанализа[5], то вам будет нетрудно понять логику этой шутки и получить правильный ответ: r dr r. Если же вы относитесь к числу тех, кто приходит от матанализа в ужас или страдает от тяжелых воспоминаний, не волнуйтесь: сейчас еще не время начинать длинную лекцию о тонкостях этого предмета. Вместо этого нам предстоит найти ответ на более насущный вопрос: почему авторы «Симпсонов» включают сложные математические концепции в свой комедийный сериал?
В состав основной команды, работавшей над первым сезоном «Симпсонов», входило восемь умнейших комедийных сценаристов Лос-Анджелеса. Они стремились писать сценарии, в которых бы упоминались продвинутые концепции из всех областей человеческого знания, и матанализ относился к числу их главных приоритетов, поскольку два сценариста были страстными поклонниками математики. Именно эти два нерда придумали шутку с r dr r; и именно им следует отдать должное за то, что сериал «Симпсоны» стал орудием распространения математических шуток.
С одним из них, Майком Рейссом, я познакомился во время встречи со сценаристами «Симпсонов». Точно так же как Мэгги, он продемонстрировал свои математические способности еще будучи малышом, когда складывал кубики. Рейсс отчетливо помнит момент, когда понял, что кубики подчиняются бинарному закону в том смысле, что два самых маленьких кубика имеют такой же размер, как один средний; два средних кубика такого же размера, как один большой, а два больших кубика равны одному очень большому кубику.
Как только Рейсс научился читать, его интерес к математике перерос в любовь к головоломкам. Особенно его привлекали книги Мартина Гарднера, величайшего специалиста по математическим играм и развлечениям. Игривый подход Гарднера к математическим задачам нравился людям всех возрастов. Его друг однажды сказал: «Мартин Гарднер превратил тысячи детей в математиков, а тысячи математиков – в детей».
Сначала Рейсс прочитал книгу The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions («Неожиданное зависание и другие математические отклонения»), а затем начал тратить все свои карманные деньги на другие книги Гарднера. В возрасте восьми лет Рейсс написал Гарднеру письмо, в котором признался, что он его большой поклонник, а затем рассказал об одном интересном наблюдении, касающемся палиндромных квадратов, а именно, что эти числа содержат, как правило, нечетное количество цифр. Палиндромные квадраты целых чисел – это просто квадраты целых чисел, которые имеют такой же вид, если их записать в обратном порядке, например 121 (11²) или 5 221 225 (2285²). Восьмилетний мальчик оказался абсолютно прав, поскольку существует тридцать пять таких чисел меньше 100 миллиардов, и только в одном из них четное количество цифр – 698 896 (836²).
Рейсс неохотно признался мне, что его письмо Гарднеру также содержало один вопрос. Он спрашивал, является ли количество простых чисел конечным или бесконечным. Сейчас он несколько смущенно вспоминает об этом: «Я отлично помню то письмо и тот глупый, наивный вопрос».
Большинство людей посчитали бы, что Рейсс слишком строг к себе, восьмилетнему, потому что ответ далеко не так очевиден. Его вопрос основан на факте, что у каждого целого числа есть делители – числа, на которые оно делится без остатка. Простое число примечательно тем, что у него только два делителя – 1 и само число (так называемые тривиальные делители). Таким образом, 13 – это простое число, потому что у него нет нетривиальных делителей, а 14 – нет, поскольку его можно разделить на 2 и 7. Все числа являются либо простыми (например 101), либо их можно разделить на простые делители (например 102 = 2 × 3 × 17). Между числами 0–100 существует 25 простых чисел, между 100–200 – 21 простое число, а между 200–300 – всего 16 простых чисел, стало быть, количество простых чисел уменьшается. Тем не менее закончатся ли они со временем или их список бесконечен?
Гарднер с удовольствием рассказал Рейссу о доказательстве древнегреческого ученого Эвклида, который работал в Александрии около 300 года до нашей эры[6]. Эвклид был первым математиком, доказавшим существование бесконечного множества простых чисел. Как ни странно, он получил этот результат, выдвинув прямо противоположную гипотезу и применив к ней метод, известный как доказательство от противного. Один из способов объяснить подход Эвклида – начать со следующего смелого утверждения:
Предположим, что количество простых чисел конечно и все они собраны в список: p1, p2, p3, … pn.
Мы можем изучить следствия, вытекающие из этого утверждения, перемножив все простые числа в этом списке и прибавив 1, что создает новое число: N = p1 × p2 × p3 × … × pn + 1. Это новое число N является либо простым, либо нет, но в любом случае оно противоречит исходному утверждению Эвклида.
• Если N – простое число, тогда оно отсутствует в первоначальном списке. Таким образом, утверждение о том, что это полный список, ошибочно.
• Если N – не простое число, тогда оно должно иметь простые делители, которые должны быть новыми простыми числами, поскольку деление простых чисел в исходном списке на N даст в остатке 1. Стало быть, утверждение о том, что это полный список, тоже ошибочно.
Следовательно, исходное утверждение Эвклида ложно: его конечный список не содержит всех простых чисел. Более того, любая попытка опровергнуть это утверждение, включив в список новые простые числа, обречена на неудачу, так как приведенные выше аргументы можно снова использовать для доказательства того, что список по-прежнему неполный, а значит, должно существовать бесконечное количество простых чисел.
Шли годы, Рейсс стал весьма одаренным юным математиком и занял достойное место среди математиков штата Коннектикут. В то же время у него проявился особый талант к написанию комедий, и он даже получил определенное признание в этой области. Например, когда стоматолог Рейсса похвастался ему, что всегда отправляет в журнал New York Magazine остроумные, но безуспешные заявки на участие в еженедельном юмористическом конкурсе, молодой Майк признался, что тоже принимал участие в этом конкурсе и даже получил награду. «Я часто побеждал в детстве, – сказал Рейсс. – И даже не осознавал, что соревнуюсь с профессиональными писателями-юмористами. Впоследствии я выяснил, что сценаристы шоу “Сегодня вечером” тоже принимают участие в этом конкурсе, а я, мальчик десяти лет от роду, выиграл его».
Майк Рейсс (второй слева в последнем ряду) среди членов математического кружка средней школы восточного Бристоля. Помимо запечатленного на фотографии мистера Козиковски, который обучал членов кружка, у Рейсса было много других математических наставников. Например, учитель геометрии мистер Бергстром. В эпизоде под названием «Замена учителя Лизы» (Lisa’s Substitute, сезон 2, эпизод 19; 1991 год) Рейсс продемонстрировал свою благодарность этому человеку, назвав учителя Лизы мистером Бергстромом
Фотографию предоставил Майк Бэннон
Когда Рейссу предложили место в Гарвардском университете, ему пришлось решать, какой предмет выбрать в качестве профилирующего – математику или английский язык. В итоге желание Рейсса стать писателем затмило страсть к числам. Тем не менее его математический склад ума всегда ему помогал, и Рейсс никогда не забывал свою первую любовь.
Детство еще одного одаренного математика, участвовавшего в создании мультсериала «Симпсоны», было примерно таким же. Эл Джин родился в Детройте в 1961 году, через год после рождения Майка Рейсса. Он тоже любил головоломки Мартина Гарднера и тоже посещал математический кружок. В 1977 году на математическом конкурсе штата Мичиган, в котором принимали участие двадцать тысяч учеников, Джин занял третье место. Он даже посещал летние лагеря с интенсивным обучением при Технологическом университете Лоуренса и Чикагском университете. Такие лагеря организовывались в период холодной войны с целью воспитания математических умов, которые могли бы соперничать с советскими детьми, прошедшими комплекс элитных программ обучения математике. Благодаря столь интенсивной подготовке Джина зачислили на факультет математики Гарвардского университета, когда ему было всего 16 лет.
Во время учебы в Гарварде Джин разрывался между изучением математики и новым увлечением – написанием комедий. Впоследствии его взяли в юмористический журнал Harvard Lampoon, издававшийся на протяжении самого продолжительного периода. В итоге Джин начал меньше думать о математических доказательствах и больше – о шутках.
Рейсс также был одним из авторов журнала Harvard Lampoon, который прославился на всю Америку после того, как в 1969 году опубликовал пародию под названием Bored of the Rings[7] на ставшую классикой книгу Толкиена. Затем, в 1970-х годах, Джин принимал участие в создании театрального шоу «Лемминги», после чего работал в радиошоу под названием The National Lampoon Radio Hour («Радиочас журнала National Lampoon»). Рейсс и Джин подружились и стали партнерами по писательской работе в журнале Harvard Lampoon. Именно этот университетский опыт убедил их в необходимости искать вакансию телевизионных сценаристов после окончания университета.
Звездный час Майка Рейсса и Эла Джина настал в тот момент, когда их наняли как сценаристов в шоу «Сегодня вечером», где высоко оценили присущие им качества нердов. Ведущий шоу Джонни Карсон был не только астрономом-любителем, но и разоблачителем псевдонауки, время от времени жертвовавшим по 100 тысяч долларов в Образовательный фонд Джеймса Рэнди – организацию, деятельность которой связана с пропагандой рационального мышления. Когда Рейсс и Джин ушли из «Сегодня вечером» в шоу It’s Garry Shandling’s Show («Это шоу Гарри Шендлинга»), они узнали, что Шендлинг, прежде чем начать карьеру в сфере комедии, изучал электротехнику в Аризонском университете.
Когда Рейсс и Джин присоединились к команде сценаристов, работавших над первым сезоном «Симпсонов», у них возникло ощущение, что это идеальная возможность выразить свою любовь к математике. «Симпсоны» оказались не просто совершенно новым шоу; у них был абсолютно иной формат, а именно выходящий в прайм-тайм комедийный мультсериал, рассчитанный на зрителей всех возрастов. Обычные правила здесь не работали, что, по всей вероятности, и объясняет тот факт, что Рейссу и Джину разрешали (и даже поощряли) как можно чаще включать в эпизоды элементы поведения, свойственного нердам.
Рейсс и Джин были ключевыми членами команды авторов первого и второго сезонов «Симпсонов», что позволило им включить в эпизоды ссылки на ряд важных математических концепций. Тем не менее математическое сердце «Симпсонов» забилось еще быстрее начиная с третьего сезона, после того как этих двух выходцев из журнала Harvard Lampoon назначили на должности исполнительных продюсеров.
Это стало переломным моментом в истории мультсериала «Симпсоны». Теперь Джин и Рейсс могли не только включать в эпизоды собственные математические шутки, но и нанимать комедийных сценаристов с серьезной математической подготовкой. В последующие годы во время совещаний по редактированию сценариев «Симпсонов» периодически возникала атмосфера, больше напоминающая урок геометрии или семинар по теории чисел, а созданные в итоге эпизоды содержали больше математических аллюзий, чем любой другой сериал за всю историю телевидения.
Фотография членов математического кружка из выпускного альбома школы Роупера за 1977 год. На подписи под ней сказано, что Эл Джин – третий слева ученик во втором ряду, а также что он занял первое и третье место на конкурсе в штате Мичиган. Учителем, который оказал на Джина самое большое влияние, был покойный профессор Арнольд Росс, руководивший летней программой обучения Чикагского университета
Фотографию предоставил Эл Джин
Глава 2 Хотите ли вы знать число π?
Порой в «Симпсонах» упоминаются малоизвестные математические концепции, и с некоторыми из них мы действительно встретимся в следующей главе. Однако в остальных случаях шуточные ситуации, смоделированные Рейссом, Джином и их коллегами в эпизодах сериала, касаются хорошо знакомых многим зрителям математических концепций. Классический пример – число π, неоднократно появлявшееся в мультсериале за прошедших два десятилетия.
На всякий случай напоминаю, что π – это отношение длины окружности к ее диаметру. Для того чтобы составить представление о приблизительном значении числа π, можно нарисовать окружность, а затем отрезать кусок веревки длиной, равной ее диаметру. Если проложить этот кусок веревки по краю окружности, он поместится там немногим более трех раз – точнее говоря, 3,14 раза. Это и есть приблизительное значение числа π. Соотношение между числом π, длиной окружности и диаметром можно описать с помощью следующего уравнения:
длина окружности = π × диаметр
C = πd
Поскольку диаметр окружности в два раза больше радиуса, это уравнение можно записать в таком виде:
длина окружности= 2 × π × радиус
C = 2πr
Пожалуй, это и есть первый маленький шаг, который мы совершаем в детстве при переходе от простой арифметики к более сложным концепциям. Я до сих пор помню свою первую встречу с числом π, настолько она тогда меня потрясла. Математика больше не сводилась исключительно к умножению в столбик и простым дробям; теперь в ней появилось нечто таинственное, элегантное и универсальное: каждый круг в этом мире подчиняется уравнению с участием числа π, от колеса обозрения до фрисби, от лепешки до земного экватора.
Кроме того, помимо вычисления длины окружности, число π можно использовать для расчета площади, которая ограничена этой окружностью:
площадь = π × радиус²
A = πr²
В эпизоде «Человек-пирог» (Simple Simpson, сезон 15, эпизод 19; 2004 год) есть основанная на игре слов шутка, касающаяся приведенного выше уравнения. В этом эпизоде Гомер изображает супергероя по имени Человек-пирог, который наказывает злодеев, бросая им в лицо пирог. И первый его акт возмездия в данном качестве направлен на обидчика Лизы. Свидетелем сцены становится персонаж по имени Дредерик Тейтум, знаменитый бывший боксер из Спрингфилда, который заявляет: «Все мы знаем формулу πr², но сегодня мы говорим: “Пирог – это справедливость”. Я приветствую это».
И хотя шутку включил в сценарий Эл Джин, он неохотно приписывает себе эту заслугу (или, возможно, вину): «Да это же очень старая шутка. Я услышал ее много лет назад. Человек, которого следует поблагодарить за нее, – кто-то из 1820 года».
Джин явно преувеличивает, когда упоминает 1820 год, но слова Тейтума действительно представляют собой новую интерпретацию классической шутки, передаваемой из поколения математиков в поколение. Самая известная ее версия появилась в 1951 году в американском комедийном сериале The George Burns and Gracie Allen Show («Шоу Джорджа Бернса и Грейси Аллен»). В эпизоде под названием «Как девушка-подросток проводит уик-энд» Грейси приходит на помощь юной Эмили, которая жалуется на домашнее задание:
Эмили. Хотелось бы мне, чтобы геометрия была такой же легкой, как испанский язык.
Грейси. Так, может, я тебе помогу? Скажи мне что-нибудь на языке геометрии.
Эмили. Сказать что-нибудь на языке геометрии?
Грейси. Да, давай же.
Эмили. Ну хорошо. Ммм… πr².
Грейси. И этому учат сейчас в школе? πr²?
Эмили. Да.
Грейси. Эмили, пирог круглый. Печенье круглое. Крекеры квадратные.
В основе этой шутки лежит похожее звучание слова pie («пирог») и названия буквы π, что и служит поводом для каламбура. Следовательно, комики должны быть благодарны Уильяму Джонсу за введение символа π. Этот математик XVIII столетия, так же как и многие другие ученые, зарабатывал себе на жизнь уроками в лондонских кофейнях, посетители которых должны были заплатить за вход один пенни. Преподавая в этих так называемых грошовых университетах, Джонс параллельно работал над крупным научным трудом под названием A New Introduction to the Mathematics («Новое введение в математику»). Именно в этой книге он впервые использовал греческую букву π в контексте обсуждения геометрии круга. В итоге появилась почва для новых математических каламбуров. Джонс выбрал символ π, потому что это начальная буква греческого слова περιφερια (периферия), что означает «окружность».
* * *За три года до появления шутки с числом π в эпизоде «Человек-пирог» авторы «Симпсонов» уже упоминали это число в серии «Пока, пока, зубрила» (Bye, Bye, Nerdie, сезон 12, эпизод 16; 2001 год). Но на этот раз вместо воскрешения старой шутки сценаристы создали совершенно новую, хотя и основанную на одном любопытном случае из истории числа π. Для того чтобы оценить ее по достоинству, сперва необходимо вспомнить значение числа π и то, как оно измерялось на протяжении столетий.