За три года до появления шутки с числом π в эпизоде «Человек-пирог» авторы «Симпсонов» уже упоминали это число в серии «Пока, пока, зубрила» (Bye, Bye, Nerdie, сезон 12, эпизод 16; 2001 год). Но на этот раз вместо воскрешения старой шутки сценаристы создали совершенно новую, хотя и основанную на одном любопытном случае из истории числа π. Для того чтобы оценить ее по достоинству, сперва необходимо вспомнить значение числа π и то, как оно измерялось на протяжении столетий.
Я уже говорил, что π = 3,14 – всего лишь приближенное значение. Дело в том, что π – иррациональное число, то есть назвать его абсолютно точное значение невозможно, поскольку в нем бесконечное количество десятичных знаков, в которых отсутствует какая-либо закономерность. Тем не менее математики прошлого ставили перед собой задачу выйти за рамки существующей приближенной оценки 3,14 и поймать это ускользающее число, рассчитав его максимально точное значение.
Первую серьезную попытку это сделать предпринял Архимед в третьем столетии до нашей эры. Он понимал, что точность измерения π зависит от точности измерения длины окружности. Но это весьма сложная задача, так как окружность состоит из кривых малой кривизны, а не из прямых линий. Важным достижением Архимеда стало решение обойти проблему измерения кривых путем аппроксимации окружности прямыми линиями.
Возьмем окружность, диаметр которой (d) равен единице. Мы знаем, что C = πd, а значит, длина окружности (С) равна π. Затем нарисуем два квадрата, один за пределами окружности и один внутри нее.
Безусловно, настоящая окружность должна быть меньше периметра большего квадрата и больше периметра меньшего квадрата. Таким образом, измерив периметры двух квадратов, мы получим верхний и нижний пределы длины окружности.
Периметр большего квадрата измеряется легко, поскольку каждая его сторона имеет ту же длину, что и диаметр круга, который, как нам известно, равен единице. Следовательно, периметр большего квадрата составляет 4 × 1 = 4 единицы.
Периметр меньшего квадрата вычислить несколько труднее, но мы можем определить длину каждой его стороны с помощью теоремы Пифагора. Очень кстати, что диагональ квадрата и две его стороны образуют прямоугольный треугольник, гипотенуза (H) которого не только совпадает с диагональю квадрата, но и имеет ту же длину, что и диаметр окружности, то есть единицу. Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов. Если мы обозначим их символом S, то H² = S² + S². Если H = 1, то две другие стороны должны иметь длину 1/√2 единиц. Следовательно, периметр меньшего квадрата равен 4 × 1/√2 = 2,83 единицы.
Учитывая, что длина окружности должна быть меньше периметра большого круга и больше периметра малого, мы можем с уверенностью заявить, что она должна попадать в промежуток от 2,83 до 4,00.
Не забывайте: ранее мы утверждали, что длина окружности диаметром 1 единица равна π, поэтому значение π должно находиться между 2,83 и 4,00.
В этом и состояло великое открытие Архимеда.
Возможно, оно не произвело на вас особого впечатления, ведь мы уже знаем, что π равно примерно 3,14, так что нижний предел 2,83 и верхний – 4,00 не представляют для нас никакого интереса. Однако сила открытия Архимеда состояла в том, что его результат подлежал уточнению. Вместо того чтобы размещать окружность между большим и малым квадратами, Архимед разместил ее между большим и малым шестиугольниками. Если у вас есть десять свободных минут и вы уверенно оперируете числами, то можете попробовать сами доказать, что по результатам измерения периметра этих двух шестиугольников значение числа π должно быть больше 3,00 и меньше 3,464.
У шестиугольника больше сторон, чем у квадрата, что делает его более точным приближением к окружности. Это объясняет, почему шестиугольник позволяет вычислить более узкие пределы для значения π. Тем не менее и в этом случае имеет место значительная погрешность. Поэтому Архимед продолжал расчеты, применяя этот метод снова и снова и увеличивая количество сторон многоугольника, благодаря чему получал все более точное приближение к окружности.
В конечном итоге упорство привело Архимеда к тому, что он заключил окружность между двумя многоугольниками с 96 сторонами и рассчитал периметр обеих фигур. Это было впечатляющее достижение, особенно учитывая, что Архимед не имел современной алгебраической системы обозначений, ничего не знал об арифметических действиях с десятичными дробями и ему приходилось выполнять все эти громоздкие вычисления вручную. Однако работа стоила затраченных усилий, поскольку ему удалось заключить значение числа π между числами 3,141 и 3,143.
Через восемь столетий, в V веке нашей эры, китайский математик Цзу Чунчжи развил подход Архимеда на шаг дальше (или на 12 192 шага, если точнее), использовав два многоугольника с 12 288 сторонами для доказательства того, что значение числа π лежит между числами 3,1415926 и 3,1415927.
По всей вероятности, к этому моменту вы уже поняли, что определение значения числа π – непростая задача, работа над которой будет продолжаться вечно, а все потому, что π – иррациональное число. Но есть ли смысл в вычислении значения π с более высокой точностью? Мы вернемся к этому вопросу чуть позже, а пока вы уже узнали о числе π достаточно для того, чтобы перейти к контексту математической шутки из эпизода «Пока, пока, зубрила».
Сюжет этого эпизода сфокусирован на травле умников, которая по-прежнему остается глобальной проблемой, несмотря на мудрые слова американского педагога Чарльза Сайкса, написанные в 1995 году: «Будь вежлив с ботаниками. Не исключено, что однажды ты будешь работать на одного из них». Когда Лиза задается целью найти объяснение того, почему хулиганы так любят нападать на умников, ей приходит в голову мысль, что они издают запах, который отмечает их как жертв. Лиза убеждает нескольких школьных друзей из числа ботанов поработать на спортивных тренажерах до пота, а затем собирает его и анализирует. После длительных исследований ей наконец удается выделить феромон, который источает каждый «умник, ботаник и очкарик» и который, возможно, притягивает хулиганов. Лиза называет его «пойндекстрозой»[8], в честь вундеркинда Пойндекстера, персонажа мультсериала 1959 года Felix the Cat («Кот Феликс»).
Для того чтобы проверить свою гипотезу, Лиза наносит немного пойндекстрозы на пиджак грозного бывшего боксера Дредерика Тейтума, пришедшего в ее школу. Как и следовало ожидать, феромон притягивает школьного хулигана Нельсона Манца. И хотя Нельсон понимает, что нападать на бывшего боксера абсолютно бессмысленно, он не может сопротивляться воздействию пойндекстрозы и даже вытягивает у Тейтума трусы.
Взволнованная своим открытием, Лиза решает представить отчет о работе «Воздушные феромоны и агрессия хулиганов» на конференции «12-я ежегодная научная штука», которую ведет любимец обитателей Спрингфилда, рассеянный профессор Джон Нерделбаум Фринк-младший. Фринк пытается представить Лизу, но атмосфера на конференции настолько накалена, а ее участники так возбуждены, что ему трудно призвать их к порядку. В конце концов Фринк в отчаянии восклицает: «Ученые, ученые! Прошу, прошу порядка! К порядку, смотреть вперед, руки сложить, слушать внимательно. Число π равно трем!»
Шум внезапно прекращается. Идея профессора Фринка сработала, поскольку он совершенно правильно предположил, что заявление о точном значении числа π так поразит присутствующих в зале, что они потеряют дар речи. Как смеет кто бы то ни было заменять тройкой число 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513… после тысячелетних попыток определить его значение с невероятной точностью!
Эта сцена перекликается с лимериком, написанным историком, профессором колледжа Колорадо Харви Картером (1904–1994):
Однако возмутительное заявление профессора Фринка основывалось не на странном лимерике Картера. Эл Джин рассказал о том, что он предложил фразу «Число π равно трем!», поскольку незадолго до этого прочитал об инциденте, имевшем место в штате Индиана в 1897 году, когда политики попытались закрепить официальное (и совершенно неправильное) значение π на законодательном уровне.
Однако возмутительное заявление профессора Фринка основывалось не на странном лимерике Картера. Эл Джин рассказал о том, что он предложил фразу «Число π равно трем!», поскольку незадолго до этого прочитал об инциденте, имевшем место в штате Индиана в 1897 году, когда политики попытались закрепить официальное (и совершенно неправильное) значение π на законодательном уровне.
Законопроект о числе π (официальное название – «Законопроект № 246»), принятый в нижней палате штата Индиана, был детищем Эдвина Гудвина, врача из города Солитьюд, расположенного в юго-западной части штата. Гудвин обратился к законодательному собранию штата с предложением принять закон, в основу которого было положено его решение задачи, известной как «квадратура круга» (древняя задача, не имеющая решения, что было доказано в 1882 году). Сложные и противоречивые объяснения Гудвина содержали следующую строку, касающуюся диаметра круга:
…Четвертый важный факт состоит в том, что отношение диаметра к окружности равно пяти четвертым к четырем.
Отношение длины окружности к диаметру равно числу π, а значит, Гудвин, по сути, предлагал определять значение π по следующей формуле:
Гудвин заявил, что школы штата Индиана могут использовать его открытие бесплатно, но власти штата разделят с ним прибыль от роялти, взимаемого с других школ, которые захотят принять значение числа π равным 3,2. Поначалу специальный характер законопроекта озадачил политиков, которые передали его на рассмотрение из палаты представителей в финансовый комитет, затем в комитет по болотам и в конце концов в комитет по вопросам образования, где из-за неразберихи его приняли без возражений.
Далее законопроект должен был одобрить сенат штата. К счастью, некий профессор Уолдо, возглавлявший в то время факультет математики Университета Пердью в городе Уэст-Лафейетт, отправился в тот день в здание законодательного собрания для обсуждения финансирования Академии наук штата Индиана. По случайному стечению обстоятельств один из членов финансового комитета показал законопроект профессору и предложил познакомить его с доктором Гудвином. Однако Уолдо ответил, что в этом нет необходимости, поскольку он и без того знает немало чокнутых.
Профессор Уолдо сделал все для того, чтобы сенаторы поняли абсурдность законопроекта Гудвина и высмеяли его, и таки добился своего. В Indianapolis Journal была опубликована следующая цитата сенатора Оррина Хаббелла: «С таким же успехом сенат может принять закон о том, чтобы вода текла под гору, и законодательно устанавливать математические истины». В конечном итоге принятие законопроекта отложили на неопределенный срок.
Нелепое заявление профессора Фринка о том, что π равно 3, – искусное напоминание о том, что законопроект Гудвина до сих пор лежит где-то в ящике для бумаг в подвале здания законодательного собрания штата Индиана и ждет, когда какой-либо болван вернет его к жизни.
Глава 3 Последняя теорема Гомера
Время от времени Гомер Симпсон пытается демонстрировать свои изобретательские таланты. Например, в эпизоде «Мардж и тюрьма» (Pokey Mom, сезон 12, эпизод 10; 2001 год) он создает чудесный исправляющий спиноцилиндр доктора Гомера, который представляет собой побитый мусорный бак с вмятинами, «точно повторяющий контуры человеческого тела». Гомер позиционирует свое изобретение как метод лечения боли в спине, хотя никаких данных, подтверждающих его слова, нет. Хиропрактики Спрингфилда приходят в ярость из-за того, что Гомер переманивает их пациентов, и угрожают уничтожить его изобретение. Это позволит им снова монополизировать рынок лечения проблем с позвоночником и благополучно продвигать собственные фальшивые методы лечения.
Изобретательские подвиги Гомера достигают пика в эпизоде «Волшебник Вечнозеленой аллеи» (The Wizard of Evergreen Terrace, сезон 10, эпизод 2; 1998 год). Название эпизода – это отсылка к прозвищу Томаса Эдисона «Волшебник из Менло-Парка», которое ему дал один журналист после того, как тот открыл в Менло-Парке свою главную лабораторию. К моменту смерти в 1931 году Эдисон запатентовал на свое имя 1093 изобретения и стал легендой.
В эпизоде «Волшебник Вечнозеленой аллеи» рассказывается о решимости Гомера идти по стопам Эдисона. Он сооружает различные устройства, от сигнализации, срабатывающей каждые три секунды, до ружья, которое делает макияж, выстреливая прямо в лицо. Именно в этот научно-исследовательский период мы видим, как Гомер, стоя у доски, записывает несколько математических уравнений. В этом нет ничего удивительного, потому что многие непрофессиональные изобретатели увлекались математикой, а многие математики любили изобретать.
Возьмем в качестве примера сэра Исаака Ньютона, который, кстати, сыграл самого себя в эпизоде под названием «Последнее искушение Гомера» (The Last Temptation of Homer, сезон 5, эпизод 9; 1993 год). Ньютон – один из отцов современной математики – был также и изобретателем. В частности, именно ему приписывают идею дверцы для кошек – с дыркой в нижней части двери, чтобы кошка могла заходить и выходить, когда захочет. Как ни странно, в двери было еще и отверстие поменьше – для котят! Неужели Ньютон действительно был настолько эксцентричным и рассеянным? Многие ставят под сомнение правдивость этой истории, но в 1827 году Джон Мартин Фредерик Райт сказал следующее: «Не знаю, правда это или ложь, но бесспорно одно: в двери до сих пор есть два заглушенных отверстия, размер которых вполне подходит для того, чтобы через них могли пройти кошка и котенок».
Фрагменты математических каракулей Гомера на доске в эпизоде «Волшебник Вечнозеленой аллеи» включил в сценарий Дэвид Коэн, который представлял новое поколение авторов сериала с математическими наклонностями и присоединился к команде «Симпсонов» в середине 1990-х. Так же как Эл Джин и Майк Рейсс, Коэн еще в раннем возрасте демонстрировал настоящий талант к математике. Дома он постоянно читал отцовский журнал Scientific American и разгадывал математические головоломки, которые печатались в ежемесячной колонке Мартина Гарднера. Кроме того, в средней школе Дуайта Морроу в городе Энглвуд Коэн был одним из капитанов команды математиков, выигравшей в 1984 году математический конкурс штата.
Фотография Дэвида Коэна в выпускном альбоме средней школы Дуайта Морроу 1984 года. В школе часто повторяли шутку о том, что все члены математического кружка были капитанами команды, чтобы каждый из них мог написать об этом в заявлении о приеме в колледж
Фотографию предоставил Дэвид Коэн
Вместе со школьными друзьями Дэвидом Шиминовичем и Дэвидом Борденом Коэн организовал группу программистов под названием Glitchmasters («Мастера компьютерных глюков»), и они разработали собственный язык программирования FLEET, предназначенный для высокоскоростной графики и игр на компьютере Apple II Plus. Параллельно Коэн увлекался комиксами и написанием комедий. Он связывал начало своей профессиональной карьеры с комиксами, которые нарисовал во время учебы в средней школе и продал сестре за пенни.
Даже отправившись изучать физику в Гарвард, Коэн сохранил интерес к писательскому труду и печатался в журнале Harvard Lampoon (впоследствии став его президентом). Со временем, как и в случае с Элом Джином, страсть Коэна к комедии и писательству превзошла любовь к математике и физике. В итоге он отказался от научной карьеры, предпочтя написание сценариев к сериалу «Симпсоны». Однако время от времени Коэн возвращается к своим корням, тайком включая математику в эпизоды мультфильма. Хороший тому пример – символы и диаграммы, изображенные Гомером на доске в эпизоде «Волшебник Вечнозеленой аллеи».
Но Коэн, помимо математики, хотел включить в эпизод научные уравнения, поэтому связался со своим школьным другом Дэвидом Шиминовичем, который не бросил академическую стезю и стал астрономом Колумбийского университета.
Первое уравнение на доске – в значительной степени работа Шиминовича, и оно позволяет составить прогноз массы M(H0) бозона Хиггса, элементарной частицы, гипотеза о существовании которой впервые была выдвинута в 1964 году. Уравнение представляет собой забавное сочетание различных фундаментальных параметров, а именно постоянной Планка, гравитационной постоянной и скорости света. Если вы найдете их в справочниках и подставите в уравнение[9], то масса бозона Хиггса будет равна 775 гигаэлектронвольт (ГэВ), что гораздо больше значения 125 ГэВ, полученного в 2012 году, когда бозон Хиггса был открыт. Тем не менее значение 775 ГэВ являлось неплохой догадкой, особенно если учесть, что Гомер – непрофессиональный изобретатель и делал свои расчеты за четырнадцать лет до того, как специалистам Европейского центра ядерных исследований (CERN) удалось отследить эту неуловимую частицу.