Второе уравнение… придется на какое-то время отложить. Это самая интригующая с математической точки зрения строка, поэтому стоит немного подождать, чтобы проанализировать ее более тщательно.
Третье уравнение касается плотности Вселенной, которая определяют ее судьбу. Если Ω(t0) будет больше 1, как сначала написал Гомер, то Вселенная в конце концов взорвется под собственным весом. Для того чтобы продемонстрировать это космическое событие на местном уровне, в подвале Гомера – вскоре после того как зрители видят это уравнение – происходит небольшой взрыв.
Затем Гомер меняет знак неравенства, превращая уравнение Ω(t0) > 1 в Ω(t0) < 1. С космологической точки зрения новое уравнение подразумевает, что Вселенная будет расширяться вечно, порождая нечто сродни бесконечного космического взрыва. Сюжет отображает и это явление, и как только Гомер меняет знак неравенства, в подвале происходит мощный взрыв.
Четвертая строка на доске представляет собой последовательность четырех математических рисунков, показывающих, как пончик превращается в сферу. Эта строка относится к области математики под названием «топология». Для того чтобы понять суть рисунков, необходимо знать, что согласно правилам топологии квадрат и круг идентичны. Их считают гомеоморфными, или топологическими близнецами, поскольку квадрат, нарисованный на резиновом листе, можно растянуть и превратить в круг. На самом деле топологию иногда называют «геометрией на резиновом листе».
Топологов не интересуют углы и расстояния: очевидно, что в процессе растягивания резинового листа они меняются. Но их волнуют более фундаментальные свойства. Например, фундаментальное свойство буквы А – что она, по сути, представляет собой петлю с двумя ножками. Буква R – тоже петля с двумя ножками. Следовательно, буквы A и R гомеоморфны, так как букву A, нарисованную на резиновом листе, можно преобразовать в букву R посредством соответствующего растягивания
Однако никакое растягивание не поможет превратить букву A в букву H ввиду того, что эти буквы принципиально отличаются друг от друга: A состоит из одной петли и двух ножек, а H вообще не имеет петель. Единственный способ превратить букву A в H – разрезать резиновый лист у верхушки A, что разомкнет петлю. Однако в топологии разрезание запрещено.
Принципы геометрии на резиновом листе можно расширить на три измерения, что объясняет остроту, будто тополог – это тот, кто не видит разницы между пончиком и кофейной чашкой. Другими словами, у кофейной чашки одно отверстие, образованное ручкой, и у пончика одно отверстие, прямо посередине. Следовательно, кофейную чашку, сделанную из эластичной глины, можно растянуть и скрутить в форме пончика. Это и делает их гомеоморфными.
Напротив, пончик невозможно превратить в сферу, поскольку в ней нет отверстий, и никакое растягивание, сжатие и скручивание не помогут удалить дыру, которая является неотъемлемой частью пончика. В действительности тот факт, что пончик отличается от сферы в топологическом смысле, – доказанная математическая теорема. Тем не менее каракули Гомера на доске говорят о том, что ему будто бы удалось совершить невозможное, так как рисунки отображают успешную трансформацию пончика в сферу. Но как?
Хотя в топологии разрезание запрещено, Гомер решил, что откусывание вполне приемлемо. В конце концов, исходный объект – пончик, так кто же удержится от соблазна немного от него откусить? Если откусить от пончика несколько кусочков, он будет похож на банан, который можно превратить в сферу посредством стандартного растягивания, сжатия и скручивания. По всей вероятности, профессиональные топологи пришли бы в ужас от того, что их любимая теорема превратилась в пепел, но согласно личным правилам топологии Гомера, пончик и сфера идентичны. Возможно, корректнее было бы назвать их не гомеоморфными, а гомероморфными.
* * *Вторая строка на доске Гомера, пожалуй, самая интересная, поскольку она содержит такое равенство:
3987¹² + 4365¹² = 4472¹²
На первый взгляд уравнение выглядит безобидным, если только вы не знаете кое-что из истории математики, – иначе вы с отвращением разобьете в щепки свою логарифмическую линейку. Похоже, Гомеру удалось совершить невозможное – найти решение знаменитой загадки последней теоремы Ферма!
Пьер Ферма предложил эту теорему в 1637 году. Несмотря на то что Ферма был любителем, решавшим задачи исключительно в свободное время, он является одним из величайших математиков в истории. Ферма работал в уединении в своем доме на юге Франции, и его единственным математическим компаньоном была книга под названием Arithmetica[10], написанная Диофантом Александрийским в третьем веке нашей эры. Читая этот древнегреческий текст, Ферма обратил внимание на раздел со следующим уравнением:
x² + y² = z²
Хотя это уравнение имеет непосредственное отношение к теореме Пифагора, Диофанта не интересовали треугольники и длины их сторон. Вместо этого он поставил перед читателями задачу решить его в целых числах. Ферма уже был знаком с методами поиска таких решений, кроме того, он знал, что у этого уравнения их бесконечное множество. К числу этих решений, которые называют «пифагоровыми тройками», относятся следующие:
3² + 4² = 5²
5² + 12² = 13²
133² + 156² = 205²
Поскольку загадка Диофанта показалась Ферма скучной, он решил проанализировать ее другой вариант и найти целые решения такого уравнения:
x³ + y³ = z³
Несмотря на все усилия, Ферма удалось найти только тривиальные решения с участием нуля, такие как 0³ + 7³ = 7³. При попытке отыскать более содержательные решения самым лучшим, что он смог предложить, было уравнение, отличающееся от искомого всего на единицу: 6³ + 8³ = 9³ − 1.
Более того, при дальнейшем увеличении степени, в которую возводятся x, y и z, попытки найти целые решения каждый раз заканчивались ничем. Ферма пришел к выводу, что целочисленных решений для любого из следующих уравнений нет:
x³ + y³ = z³
x4 + y4 = z4
x5 + y5 = z5
x6 + y6 = z6
xn + yn = zn, где n > 2
Однако в конце концов Ферма совершил прорыв. Он не нашел множества чисел, которые стали бы решением одного из этих уравнений, но зато сформулировал доказательство того, что такого решения не существует, и в связи с этим набросал на полях «Арифметики» пару интригующих предложений на латыни. Начав с утверждения о том, что целочисленных решений любого из бесконечного множества упомянутых выше уравнений нет, затем он уверенно прибавил: «Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hanc marginis exiguitas non caperet» («Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него»).
Пьер Ферма нашел доказательство, но не удосужился его записать. Пожалуй, это самая удручающая запись за всю историю математики, особенно учитывая тот факт, что Ферма унес свой секрет в могилу.
Впоследствии сын Ферма Клемент-Самуэль обнаружил отцовский экземпляр «Арифметики» и обратил внимание на эту интригующую заметку на полях. Кроме того, он нашел в книге еще много ценных записей, ведь Ферма имел привычку, заявив об очередном доказательстве, редко записывать его. Клемент-Самуэль решил опубликовать новую редакцию «Арифметики» со всеми заметками своего отца, сделанными на полях первого издания, и она вышла в 1670 году. Это оживило математическое сообщество, пробудив у его представителей острое желание найти отсутствующие доказательства, связанные с каждым заявлением Ферма. И, надо сказать, постепенно они подтвердили правоту Ферма во всех случаях, кроме одного. Никто не смог доказать, что уравнение xn + yn = zn (n > 2) не имеет решений. В итоге его назвали «последняя теорема Ферма», поскольку оно было единственным, остающимся недоказанным.
Шли десятилетия, а теорема Ферма так и оставалась загадкой, над решением которой бились многие математики, считая это делом чести. Например, немецкий промышленник Пауль Вольфскель, умерший в 1908 году, завещал 100 000 марок (в наше время эта сумма эквивалентна 1 миллиону долларов) в качестве вознаграждения тому, кто все же расколет этот крепкий орешек. По некоторым свидетельствам, Вольфскель не выносил свою жену и других членов семьи, поэтому его завещание должно было унизить их и воздать должное математике – предмету, который он обожал. Другие утверждают, что премия стала способом выражения благодарности Ферма за то, что в период, когда Вольфскель был на грани самоубийства, увлеченность этой теоремой наполнила его жизнь смыслом.
Шли десятилетия, а теорема Ферма так и оставалась загадкой, над решением которой бились многие математики, считая это делом чести. Например, немецкий промышленник Пауль Вольфскель, умерший в 1908 году, завещал 100 000 марок (в наше время эта сумма эквивалентна 1 миллиону долларов) в качестве вознаграждения тому, кто все же расколет этот крепкий орешек. По некоторым свидетельствам, Вольфскель не выносил свою жену и других членов семьи, поэтому его завещание должно было унизить их и воздать должное математике – предмету, который он обожал. Другие утверждают, что премия стала способом выражения благодарности Ферма за то, что в период, когда Вольфскель был на грани самоубийства, увлеченность этой теоремой наполнила его жизнь смыслом.
Какими бы ни были мотивы, премия Вольфскеля привлекла к теореме всеобщее внимание, и со временем она даже стала частью массовой культуры. В рассказе The Devil and Simon Flagg («Саймон Флэгг и дьявол»), написанном Артуром Порджесом в 1954 году, титульный герой заключает с дьяволом фаустовский договор. Единственная надежда Саймона Флэгга на спасение души – задать дьяволу вопрос, на который тот не сможет ответить, поэтому он предлагает доказать последнюю теорему Ферма. Признав свое поражение, дьявол говорит: «Вы знаете, даже лучшие математики других планет – а они намного опередили вас – не добились решения. Эх, один малый на Сатурне, чем-то напоминающий гриб на ходулях, решает в уме дифференциальные уравнения в частных производных. Но тут и он спасовал»[11].
Последняя теорема Ферма упоминается также в романах (таких как The Girl Who Played with Fire[12]), художественных фильмах (например, Bedazzled[13] с участием Брендана Фрейзера и Элизабет Херли) и спектаклях («Аркадия» Тома Стоппарда). Пожалуй, самый известный пример – ее появление в 1989 году в сериале «Звездный путь: следующее поколение», когда в эпизоде «Отель “Рояль”» капитан Жан-Люк Пикар говорит о теореме Ферма как о «загадке, которую мы можем никогда не разгадать». Однако он ошибался, а его сведения устарели, потому что действие эпизода происходит в XXIV веке, а теорему в 1995 году доказал Эндрю Уайлс из Принстонского университета[14].
Уайлс мечтал решить теорему Ферма с десяти лет. Он был одержим этой идеей на протяжении трех десятилетий, а последние семь лет работал в обстановке полной секретности и в конце концов предоставил доказательство того, что уравнение xn + yn = zn (n > 2) не имеет решений. Когда его опубликовали, оказалось, что оно занимает 130 страниц плотного математического текста. Это интересно отчасти потому, что иллюстрирует огромный масштаб достижения Уайлса, а еще потому, что его логические рассуждения слишком сложны, чтобы ими можно было оперировать в XVII столетии. В действительности Уайлс использовал столько современных инструментов и методик, что его доказательство теоремы Ферма не может быть тем подходом, который имел в виду сам Ферма.
Именно этот момент упоминался в 2010 году в телесериале BBC «Доктор Кто». В эпизоде «Одиннадцатый час» Мэтт Смит дебютирует в качестве регенерированного одиннадцатого Доктора, который должен доказать свою компетентность группе гениев, чтобы убедить их в необходимости принять его совет и спасти мир. Увидев, что эксперты уже готовы ему отказать, Доктору Кто говорит: «Да, я знаю, вы должны меня отключить, но прежде взгляните на это. Теорема Ферма. Доказательство. Я имею в виду – настоящее. Его никогда еще не видели». Другими словами, Доктор неявно признает факт существования доказательства Уайлса, но совершенно обоснованно не принимает его в качестве доказательства Пьера Ферма, которое считает «настоящим». Возможно, Доктор вернулся в XVII век и получил его у самого Ферма.
Итак, давайте подытожим. В XVII столетии Пьер Ферма утверждает, что у уравнения xn + yn = zn (n > 2) нет решения в целых числах. В 1995 году Эндрю Уайлс находит этому доказательство и подтверждает заявление Ферма. В 2010 году Доктор Кто раскрывает настоящее доказательство Ферма. Все сходятся во мнении, что данное уравнение не имеет решений.
Таким образом, в эпизоде «Волшебник Вечнозеленой аллеи» Гомер как будто бросает вызов величайшим умам четырех столетий. Ферма, Уайлс и даже Доктор Кто считают, что уравнение Ферма нерешаемо, но Гомер все же пишет на доске следующее:
3987¹² + 4365¹² = 4472¹²
Вы можете проверить это уравнение сами с помощью калькулятора. Возведите число 3987 в двенадцатую степень. Прибавьте 4365 в двенадцатой степени. Возьмите корень двенадцатой степени из результата – и получите число 4472.
Во всяком случае именно такое число выдаст калькулятор, экран которого рассчитан только на десять разрядов. Однако если у вас есть более точный калькулятор, отображающий двенадцать или более цифр, то вы увидите иной ответ. Фактическое значение третьего члена уравнения ближе к следующему значению:
3987¹² + 4365¹² = 4472,0000000070576171875¹²
Так что же происходит? Уравнение Гомера – это так называемое самое близкое решение уравнения Ферма. То есть числа 3987, 4365 и 4472 очень близки к тому, чтобы удовлетворять уравнению Ферма, причем настолько близки, что погрешность практически незаметна. Тем не менее в математике решение либо есть, либо его нет. Самое близкое решение – это, по большому счету, вообще не решение, а значит, последняя теорема Ферма так и остается неопровергнутой.
Дэвид Коэн включил эту математическую шутку в сценарий в расчете на тех зрителей, которые оказались достаточно внимательными, чтобы заметить уравнение, и достаточно осведомленными, чтобы понять связь с теоремой Ферма. Доказательство Уайлса было опубликовано за три года до выхода этого эпизода в эфир в 1998 году, так что Коэн прекрасно знал, что теорему Ферма удалось одолеть. В каком-то смысле он даже имел к этому отношение, поскольку во время учебы в Калифорнийском университете в Беркли посещал лекции Кена Рибета, а именно Рибет предоставил Уайлсу важнейший инструмент для доказательства теоремы Ферма.
Безусловно, Коэну было известно, что теорема Ферма не имеет решений, но он хотел отдать дань уважения Пьеру де Ферма и Эндрю Уайлсу, отыскав настолько близкое к правильному решение, что оно проходило тест на простом калькуляторе. Для того чтобы найти это псевдорешение, Коэн написал компьютерную программу, которая анализировала значения x, y и z до тех пор, пока не отыскала максимально точное решение из возможных. В конце концов Коэн остановился на уравнении 3987¹² + 4365¹² = 4472¹², так как погрешность была мизерной: левая часть уравнения всего на 0,000000002 процента больше правой части.
Как только эпизод вышел в эфир, Коэн начал просматривать интернет-форумы в поисках информации о том, заметил ли кто-нибудь его шутку. И со временем нашел сообщение, в котором было сказано: «Я знаю, что это, по всей видимости, опровергает теорему Ферма, но я проверил эти цифры на калькуляторе, и они оказались правильными. Что, черт возьми, здесь происходит?»
Коэн был рад, что начинающих математиков во всем мире заинтриговал этот математический парадокс: «Я был просто счастлив, поскольку стремился получить решение, достаточно точное, чтобы калькуляторы сказали людям, что это уравнение работает».
Дэвид Коэн очень гордится своей доской в эпизоде «Волшебник Вечнозеленой аллеи». В действительности все интересные фрагменты, которые он включил в «Симпсонов» за эти годы, доставляют ему огромное удовлетворение: «Я получаю от этого настоящее удовольствие. Работая на телевидении, вполне можно не испытывать гордости за то, что вы делаете, потому что это способствует моральному разложению общества. Поэтому когда мы получаем возможность повысить уровень дискуссии (в частности, прославить математику), это компенсирует те дни, когда я пишу примитивные шутки».
Глава 4 Загадка математического юмора
Как и следовало ожидать, многие авторы «Симпсонов» из числа математиков очень любят головоломки. Естественно, эта любовь нашла свое отражение в различных эпизодах мультсериала.
Например, самая известная в мире головоломка кубик Рубика появляется в эпизоде «Гомер угадал» (Homer Defined, сезон 3, эпизод 5; 1991 год). Действие в нем происходит в 1980 году, когда кубик Рубика впервые вывезли за пределы Венгрии, а молодой Гомер проходит тренинг по вопросам ядерной безопасности. Вместо того чтобы внимательно слушать рекомендации инструктора по поводу того, что делать в случае расплавления ядерных топливных элементов реактора, он сосредоточился на новом кубике и перебирает некоторые из 43 252 003 274 489 856 000 вариантов, для того чтобы найти решение.