Солнечная печь в Одейо, Франция
© Иэн Фрейзер/Shutterstock.com
Параболические антенны служат также для приема электромагнитных и звуковых волн, поступающих в фокус от удаленных объектов. Такие антенны уже стали привычным элементом городского пейзажа: чаще всего они устанавливаются на крышах домов тех людей, которые смотрят спутниковое телевидение, но их можно встретить и на командно-диспетчерских пунктах и военных объектах. Шпионы, инженеры звукозаписи на телевидении и орнитологи используют параболические микрофоны для улавливания тихих звуков с большого расстояния. Принцип во всех случаях один и тот же. Параболоид — единственная геометрическая фигура, отражающая параллельные волны в определенную точку.
В 1668 году Исаак Ньютон построил первый «отражающий» телескоп, ключевыми элементами которого были зеркала, а не линзы, использовавшиеся в телескопах до этого. Ньютон понял, что для основного зеркала самая оптимальная форма — параболоид, но не смог изготовить такое зеркало, поэтому ему пришлось довольствоваться сферическим. Однако даже при наличии подобного дефекта отражающий телескоп был гораздо лучше, чем предыдущие модели, поэтому, начиная с XVII века, большинство телескопов были зеркальными.
Кроме того, Ньютон сделал в отношении парабол одно открытие, которое представляло в то время сугубо теоретический интерес, а сейчас успешно применяется в промышленном производстве телескопов. Если вращать цилиндрический сосуд, наполненный жидкостью, ее поверхность принимает форму параболоида. Под воздействием вращения жидкость поднимается выше у стенок сосуда и образует углубление в центре, создавая поперечное сечение в форме параболы. На этом свойстве построен один из способов изготовления параболических зеркал — вращать сосуд с расплавленным стеклом и дать этому стеклу застыть в таком положении. Большой бинокулярный телескоп, один из самых мощных телескопов в мире, был сделан именно так. Телескоп состоит из двух параболических зеркал диаметром 8,4 метра, изготовленных в огромной вращающейся печи в подземной лаборатории, расположенной под футбольным полем Аризонского университета в Тусоне. Хотя лаборатория может выпускать в год всего по одному зеркалу ценой в десятки миллионов долларов, это все равно более дешевый и быстрый метод, чем изготовление аналогичного зеркала посредством шлифовки стекла.
Еще дешевле телескоп с жидким зеркалом — в нем используется вращающийся цилиндр, наполненный отражающей жидкостью. Большой зенитный телескоп возле Ванкувера представляет собой чашу, наполненную ртутью, которая во время вращения принимает форму параболоида. На настоящий момент это самый дешевый из крупных телескопов мира, но у него есть один серьезный недостаток: чаша вращается в горизонтальной плоскости, а значит, телескоп может быть направлен только прямо вверх, в зенит.
В 1637 году французский математик Рене Декарт изобрел систему координат, что стало самым значительным прорывом в понимании конических сечений со времен Аполлония. Декартова система координат определяет положение точки на плоскости по ее расстоянию от вертикальной и горизонтальной оси [12]. Каждая точка имеет уникальные координаты (a, b), где a — это позиция на горизонтальной оси, а b — на вертикальной (см. рисунок 1 ниже). Данная система позволяла математикам описывать кривые посредством уравнений и представлять уравнения в виде кривых. Следовательно, она создала мост между геометрией, изучающей фигуры, и алгеброй, изучающей уравнения, которые были до этого разными математическими дисциплинами.
По сложившейся традиции мы записываем уравнения с помощью переменных x и y, отображающих позицию на горизонтальной и вертикальной оси, другими словами — координаты (x, y). Например, график уравнения x = y представляет собой совокупность всех точек с координатами (x, y), где x = y. Как показано на рисунке 2, это точки с координатами (1, 1), (2, 2), (3, 3) и т. д. С другой стороны, график уравнения y = x2 — это совокупность всех точек, у которых y = x2. Это точки с координатами (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9) и т. д. Такая кривая, представленная на рисунке 3, представляет собой параболу, касающуюся горизонтальной оси в начале системы координат или в точке с координатами (0, 0). Но, поскольку школьная программа больше ориентирована на алгебру, чем на геометрию, наша первая встреча с параболой происходит в момент построения графика уравнения y = x2. Возможно, вы узнаете ее как старого друга, первую U-образную кривую, которая встретилась вам в процессе изучения элементарной математики.
Декартова система координат
Корни алгебры лежат в решении практических задач. Например, какова формула площади квадрата? Если предположить, что x — это сторона квадрата, а y — его площадь, то эта формула выглядит так: y = x2. Когда в уравнении есть x2 или y2, но не более высокая степень x или y, оно называется квадратным уравнением. Вавилоняне изобрели собственные методы решения квадратных уравнений, в частности для задач, связанных с расчетом площадей. К началу эпохи Возрождения решение квадратных уравнений уже было хорошо изученной областью. Что же еще оставалось о них неузнанным?
Благодаря прямоугольной системе координат было установлено, что квадратные уравнения — это не что иное, как конические сечения. Другими словами, каждое квадратное уравнение описывает определенное коническое сечение, и каждое коническое сечение может быть описано квадратным уравнением. Два тщательно изученных раздела математики оказались альтернативным представлением друг друга. Общее квадратное уравнение Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, где A, B, C, D, E и F — это константы и хотя бы одна из констант A, B и C отлична от нуля, всегда отображается на графике в виде конического сечения, и наоборот: любое коническое сечение, отображенное на графике, может быть выражено в виде приведенного выше уравнения. На рисунке 4 уравнение эллипса будет таким: 2x2 + y2 + 8x = 0, а уравнение параболы — таким: 16x2 − 24xy + 9y2 − 38x − 84y + 121 = 0. В середине XIX века немецкий математик Август Фердинанд Мебиус открыл поразительное свойство параболы y = x2: эта кривая представляет собой Multiplikationsmaschine — «машину умножения» [13].
Мебиус хорошо разбирался в геометрических изгибах: в буквальном смысле слова, как в случае ленты Мебиуса (скрученной полоски бумаги со склеенными концами), и в более абстрактном смысле — при вычислениях с помощью параболы. Этот метод представлен ниже на первом рисунке. Для того чтобы выполнить операцию a × b, достаточно нарисовать прямую линию между точками на параболе, где x = –a и x = b. Точка, в которой эта линия пересекает ось у, — и есть ответ! Все, что нужно, — это нарисовать линию и отметить точку пересечения. На рисунке справа — пример выполнения операции 2 × 3. Требуемая линия проходит через точки на параболе, в которых x = –2 и x = 3, и пересекает ось у в точке 6. Данный метод применим к любым двум числам (доказательство можно найти в Приложении 4).
Как умножить два числа с помощью параболы
Мебиус представил свою оригинальную машину умножения в 1841 году в ссылке к статье, опубликованной в августовском номере журнала Journal für die reine und angewandte Mathematik («Журнал чистой и прикладной математики»), и больше никогда не упоминал об этом методе. Однако идею решения арифметических задач с помощью геометрии впоследствии переосмыслил молодой французский математик Морис д’Окань [14]. Он обнаружил, что кроме операции умножения можно, построив прямую линию между двумя точками на графике и записав ответ, выполнять и многие другие операции. В 1891 году д’Окань ввел термин «номограмма» для обозначения любой таблицы, которую можно использовать для таких вычислений, и сам составил множество таких таблиц. Каждая номограмма подходит для вычислений лишь по одной формуле. На представленном ниже рисунке изображена составленная в 1921 году номограмма для формулы расчета скорости перемещения потока воды через прямоугольное отверстие в плотине, где V — это скорость потока, h1 и h2 — высота верхнего и нижнего края отверстия. Прямая линия, проведенная через точки h1 и h2, пересечется с вертикальной линией в точке, соответствующей искомому значению V. Все, что необходимо для решения этого громоздкого уравнения, — линейка и твердая рука. Номограммы помогли избавиться от трудоемких вычислений, затратных по времени. Они широко применялись в инженерном и военном деле до 1970-х годов, когда электронный калькулятор в одночасье сделал их устаревшими. Гениальные, практические и зачастую красивые номограммы вышли из употребления, а номография стала забытым искусством.
Как умножить два числа с помощью параболы
Мебиус представил свою оригинальную машину умножения в 1841 году в ссылке к статье, опубликованной в августовском номере журнала Journal für die reine und angewandte Mathematik («Журнал чистой и прикладной математики»), и больше никогда не упоминал об этом методе. Однако идею решения арифметических задач с помощью геометрии впоследствии переосмыслил молодой французский математик Морис д’Окань [14]. Он обнаружил, что кроме операции умножения можно, построив прямую линию между двумя точками на графике и записав ответ, выполнять и многие другие операции. В 1891 году д’Окань ввел термин «номограмма» для обозначения любой таблицы, которую можно использовать для таких вычислений, и сам составил множество таких таблиц. Каждая номограмма подходит для вычислений лишь по одной формуле. На представленном ниже рисунке изображена составленная в 1921 году номограмма для формулы расчета скорости перемещения потока воды через прямоугольное отверстие в плотине, где V — это скорость потока, h1 и h2 — высота верхнего и нижнего края отверстия. Прямая линия, проведенная через точки h1 и h2, пересечется с вертикальной линией в точке, соответствующей искомому значению V. Все, что необходимо для решения этого громоздкого уравнения, — линейка и твердая рука. Номограммы помогли избавиться от трудоемких вычислений, затратных по времени. Они широко применялись в инженерном и военном деле до 1970-х годов, когда электронный калькулятор в одночасье сделал их устаревшими. Гениальные, практические и зачастую красивые номограммы вышли из употребления, а номография стала забытым искусством.
До изобретения карманного калькулятора широко использовались вспомогательные вычислительные инструменты под названием «номограммы». Эта номограмма, составленная в 1921 году, вычисляет скорость потока воды в водосливе плотины
Из книги : Rodolphe Soreau, Nomographie, Chiron, 1921
Гипербола выделяется на фоне остальных конических сечений, поскольку состоит из двух частей. Для того чтобы понять, почему так происходит, мы должны вернуться к первоначальному определению конических сечений. Если нарисовать рисунок, отображающий весь процесс построения гиперболы, то на нем было бы видно, что на самом деле наш нож рассекает двойной конус, когда один конус расположен в перевернутом виде над другим идентичным конусом [15]. В случае эллипса и параболы угол наклона секущей плоскости указывает, что эта плоскость никогда не достигнет верхнего конуса. Хотя, как показано на рисунке 1 ниже, в случае гипербол секущие плоскости всегда пересекают как верхний, так и нижний конусы, образуя при этом две симметричные U-образные ветви.
Благодаря гиперболе в геометрии появилась совершенно новая концепция — асимптота (еще один термин, введенный Аполлонием), прямая линия, к которой другая кривая приближается бесконечно близко, но никогда с ней не соприкасается. Как показано на рисунке 2, гипербола ограничена двумя пересекающимися асимптотами. Каждый незамкнутый фрагмент кривой постоянно приближается к асимптоте, но никогда не пересекается с ней. «Я уверен, что если бы геометр сознавал безнадежное и отчаянное стремление гиперболы соединиться со своими асимптотами, — писал испанский философ Мигель де Унамуно, — то он охарактеризовал бы гиперболу как живое и трагическое существо!» Гиперболы часто встречаются в быту. Как показано на рисунках 3 и 4, это могут быть дугообразные волны на заточенном карандаше (кончик — это конус, а плоская боковая сторона — секущая плоскость), а также тень, отбрасываемая лампой (пучок лучей света — это конус, а стена — секущая плоскость).
Гиперболы Асимптоты
У гиперболы два фокуса, как и у эллипса. Ее можно представить себе как эллипс, вытянутый до бесконечности в одном направлении, а затем развернутый в обратном направлении. Кроме того, гиперболу можно определить по свойствам двух ее фокусов, как это было сделано и в отношении эллипса. Гипербола — это путь, пройденный точкой, расстояния от которой до двух фокусов образуют постоянную разность, тогда как в случае эллипса они образуют постоянную сумму. На верхнем рисунке a — это расстояние от произвольной точки P до одного фокуса, а b — расстояние от точки P до другого фокуса. Гипербола — это геометрическое место точки P, для которой разность (a – b) имеет постоянное значение. Кроме того, гиперболу можно определить и через поведение лучей света. Лучи света от источника, находящегося в одном из фокусов, отражаются вовне гиперболического зеркала в направлении, противоположном другому фокусу, как показано на нижнем рисунке. Телескоп Ричи-Кретьена, наиболее распространенный тип больших астрономических телескопов, содержит именно гиперболические зеркала.
Геометрия гиперболы
Выше я уже предложил вам способы построения эллипса и параболы, поэтому считаю своим долгом сделать это и для гиперболы. На этот раз нам предстоит создать трехмерную модель. Мы сделаем гиперболоид — фигуру, напоминающую популярный в 1970-х годах пластиковый табурет, имеющий форму, которую можно получить посредством вращения гиперболы вокруг своей оси, как показано ниже на рисунке слева. Для создания данной конструкции нам понадобятся два круга из картона и несколько кусков проволочной нити (струны). На первом этапе, как показано на среднем рисунке, необходимо протянуть нить от одного круга к другому таким образом, чтобы образовать фигуру в форме цилиндра. На втором этапе (рисунок справа) нужно повернуть один из кругов. Полученная в итоге фигура и есть гиперболоид.
Гиперболоид и способ его построения с помощью проволочной нити
В XVII веке молодой английский профессор астрономии Кристофер Рен увидел в витрине магазина плетеную корзину, напоминающую своими очертаниями ту модель, которая показана на рисунке выше [16]. Эта корзина навела его на мысль об одном поразительном свойстве гиперболоида: имея гладкую изогнутую поверхность, он состоит исключительно из прямых линий. Рен сразу же понял, как можно использовать это свойство для создания гиперболоидов из твердого материала с помощью прямой лопатки. Представьте себе, что на гончарном круге находится кусок глины цилиндрической формы. Разместите лопатку по диагонали к цилиндру таким образом, чтобы она немного погрузилась в глину. Удерживая лопатку в одном положении, сделайте один оборот гончарного круга — и цилиндр из глины превратится в гиперболоид. Рен заинтересовался изготовлением гиперболоидных линз для телескопов. Он даже не подозревал, что спустя столетия его открытие данного свойства гиперболоида найдет свое применение в архитектуре — области, в которой сам Рен получит впоследствии гораздо большую известность.
В XIX веке французский преподаватель математики Теодор Оливье создал несколько моделей гиперболоидов и других трехмерных конических фигур для использования в качестве учебных пособий [17]. Сделанные из каркасов из дерева и металла, а также цветных проволочных нитей (струн), они стали весьма популярны в университетах. Некоторые из моделей Оливье были выставлены в лондонском Музее истории науки. В 1930-х годах британский художник Генри Мур посетил этот музей и пришел в такой восторг от увиденных моделей, что начал использовать проволочные нити в своих скульптурах. «Меня взволновало не научное назначение моделей, а возможность посмотреть сквозь эти струны, как через птичью клетку, и увидеть одну форму внутри другой», — объяснил он. Струнные модели Оливье — прекрасные объекты, завораживающие подобно оптической иллюзии, представляя кривые поверхности, образованные, как становится очевидным при ближайшем рассмотрении, прямыми линиями. (В конце XIX столетия личную коллекцию моделей Оливье выкупил Колледж Союза в городе Скенектади, в котором много лет спустя Арт Фриго создал свою игру «эллиптипул».)
Охлаждающие башни в виде гиперболоидов
© Kletr/Shutterstock.com
В представленной выше проволочной модели верхний круг вращается по часовой стрелке, поэтому на передней наклонной плоскости куски проволочной нити наклонены следующим образом: \. Если повернуть этот круг на аналогичный угол в противоположном направлении, получится идентичный гиперболоид, но наклон проволочной нити будет таким: /. Для того чтобы плетеная корзина в форме гиперболоида была прочной, ее следует изготовлять из прутьев лозы, переплетенных в обоих направлениях. Более крупные гиперболоидные конструкции, выполненные в виде решетки из стальных балок, невероятно устойчивы. Это и есть способ создания больших криволинейных конструкций с использованием только прямых балок. Первым гиперболоидным сооружением в архитектуре была 37-метровая водонапорная башня в Нижнем Новгороде, построенная в 1896 году; впоследствии появилось много сооружений подобного типа. Бетонные охлаждающие башни электростанций имеют форму гиперболоида, как и телебашня Гуанчжоу высотой 600 метров — четвертое по высоте автономное сооружение в мире.