Обычный маятник и маятник, совершающий колебания между двумя циклоидами
Поражает еще один аспект данного свойства циклоиды. Представьте себе два шара, движущихся по совершенно гладкой, не создающей трения кривой в форме перевернутой циклоиды, как показано на рисунке ниже. Для того чтобы достичь нижней точки циклоиды, обоим шарам требуется одинаковое время, независимо от исходных позиций. Шар, находящийся выше, начал двигаться по более крутому склону, чем шар, расположенный ниже на кривой, что придало первому шару большее ускорение, а значит, и более высокую скорость. Эти два шара столкнутся в самой нижней точке кривой. Когда циклоиду объявили «кривой равных времен» (таутохроной, от греч. tautochrone: tauto — «тот же» и chrone — «время»), ученые пришли от нее в неописуемый восторг.
Траектория спуска шаров за равное время
История с циклоидой достигла своего апогея в конце XVII столетия. В новом научном журнале Acta Eruditorum, выходившем в Лейпциге, была опубликована статья, провозглашавшая следующее:
Я, Иоганн Бернулли, обращаюсь к самым выдающимся математикам в мире. Ничто так не привлекает интерес умных людей, как подлинная сложная задача, вероятное решение которой может принести славу и остаться вечным памятником… Если кто-то предоставит мне решение предложенной задачи, я публично объявлю его достойным всяческих похвал.
Задача, о которой говорил Бернулли и на которую он уже знал ответ, сводилась к поиску траектории наискорейшего спуска. Другими словами, какой формы должна быть горка, не создающая трения, для того чтобы объект прошел путь от одной точки к другой за кратчайшее время? Искомую кривую обозначили термином «брахистохрона» (греч. brachistochrone, от brachistos — «кратчайший» и chronos — «время»). Бернулли утверждал, что эта траектория не является прямой линией и представляет собой хорошо известную кривую. Если вы еще не догадались, вот вам ответ: эта кривая — циклоида. На представленном ниже рисунке показана траектория наискорейшего спуска из точки А в точки В и С. Поскольку циклоида имеет лишь одну форму, масштаб этой кривой необходимо изменить в зависимости от относительного положения начальной и конечной точек. Кривая либо только опускается (как в случае перемещения из точки А в точку В), либо сначала опускается, а затем поднимается (как при перемещении из точки А в точку С). Когда траектория опускается и поднимается, преимущества более крутого и длинного спуска компенсируют эффект замедления на повышающемся участке кривой в конце пути. Если сделать модель перевернутой циклоиды и пустить по ней шар, скажем из точки А в точку В, одновременно запустив шар и по прямой линии (обозначенной на рисунке пунктиром), ведущей из точки А в точку В, эффект будет просто поразительным, даже если вы заранее знаете, какой шар станет победителем в этой гонке. По сравнению с шаром, стремительно спускающимся по циклоиде, шар на наклонной прямой как будто катится по грязной дороге. Начиная с XVIII века для демонстрации брахистохроны в университетах и музеях начали сооружать деревянные циклоиды. С их помощью можно было демонстрировать и таутохрону. Для этого достаточно было разместить по одному шару с каждой стороны перевернутой циклоиды, и, независимо от того, с какой точки начнется движение этих шаров, они столкнутся друг с другом в самой нижней точке кривой.
Траектория наискорейшего спуска
Спустя полгода Бернулли получил всего один правильный ответ на свою задачу, который дал его немецкий друг Готфрид Лейбниц. Поэтому Бернулли опубликовал в журнале Acta Eruditorum еще один призыв к ученым предложить решение поставленной задачи, отметив неспособность сделать это даже со стороны тех, кто «заявляет, будто посредством особых методов… не только постиг самые сокровенные тайны геометрии, но и необъяснимым образом расширил ее границы». Это была колкость в адрес Исаака Ньютона и его метода флюксий — нового, очень мощного математического инструмента, который обеспечивал решение таких задач, как задача о брахистохроне (мы поговорим об этом методе в одной из следующих глав). Бернулли отправил Ньютону экземпляр журнала Acta Eruditorum, чтобы тот непременно прочитал статью и получил сообщение. В то время Ньютону было больше пятидесяти лет; он уже не преподавал в Кембриджском университете, а управлял Королевским монетным двором, расположенным в Лондонском Тауэре. Ньютон прочитал письмо Бернулли по возвращенни с работы домой и, несмотря на усталость, не ложился спать до тех пор, пока в 4 часа утра не нашел решение. «Я не люблю… когда иностранцы поддразнивают меня тем, что связано с математикой», — проворчал он. Ньютон отправил свой вариант решения задачи, не назвавшись. Говорят, что, прочитав письмо Ньютона, Бернулли произнес фразу: «Ex ungue leonem» («Узнаю льва по когтям его»).
Так циклоида, уже ставшая к тому времени предметом жарких споров, оказалась причиной первого столкновения в величайшем противостоянии, разгоревшемся в научных кругах в эпоху Просвещения. С математической точки зрения флюксии Ньютона были эквивалентом исчисления бесконечно малых величин Лейбница. Как мы с вами увидим, между этими двумя учеными возник жесткий конфликт по поводу первенства, на целое столетие настроивший научные круги Англии и остальной части Европы друг против друга. Однако эго этих двух ученых не смогло лишить циклоиду присущего ей шарма. На титульной странице собрания сочинений Бернулли размещен рисунок, на котором пес ласково смотрит на изображение знаменитой кривой, а надпись в верхней части рисунка гласит: Supra invidiam («Выше зависти»).
© The British Library Board, 48.d.13.16, vol. 2, title page
Поскольку циклоида — это путь наискорейшего спуска, можно предположить, что именно такой должна быть форма рампы для скейтбординга. Тем не менее, насколько мне известно, существует всего одна такая рампа, построенная французским художником Рафаэлем Заркой в 2011 году в Нью-Йорке, в рамках проекта, объединившего в себе физику, скульптуру и городское пространство. Однако скейтбордистам она не понравилась, так как вызывала непривычные ощущения. «Если бы я был абсолютно круглым шарикоподшипником, брошенным с верхнего края рампы в форме циклоиды, вероятно, я смог бы лучше оценить подъем и спуск, — сказал автор книги о скейтбординге Тед Барроу. — Но, поскольку я скейтбордист, приложивший немало усилий к выработке навыков, которые целиком и полностью сводятся к попыткам сохранить равновесие и НЕ упасть с доски в момент увеличения скорости, весь мой опыт больше связан с корректировкой скорости и выполнением движений в соответствии с причудливыми изгибами стен, а не поисками пути наискорейшего спуска». Барроу прибавил, что рампа для скейтбординга в форме циклоиды вряд ли приживется.
Циклоида относится к семейству кривых, называемых рулеттами, образованных путем перемещения точки, расположенной на движущемся колесе. Рулетты бывают самых разных форм. Траектория точки на колесе, перемещающемся по окружности с таким же радиусом, называется кардиоидой, поскольку она похожа на сердце (рисунок 1). Нефроида (напоминает пару почек (рисунок 2)) — это траектория точки на колесе, перемещающемся по окружности с радиусом в два раза больше радиуса колеса. Фигура в форме контура ягодиц в чашке чая, поставленной возле ярко освещенного окна, образуется в результате отражения горизонтальных лучей света от внутренней стороны круглой чашки (рисунок 3).
Кардиоида
Нефроида
Чашка чая
© Алекс Беллос
Первое устройство — «геометрическое перо», изобретенное итальянцем Джиамбаттистой Суарди в XVIII веке, — создавало кривые как в эстетических, так и в научных целях и рисовало именно рулетты. Оно состояло из штатива с вращающимся рычагом и установленным на нем зубчатым колесом, в котором было закреплено перо. «Пожалуй, нет ни одного инструмента, способного начертить так много кривых, как геометрическое перо», — с восторгом сказал Джордж Адамс-младший, специализирующийся на изготовлениии инструментов при дворе короля Георга II. Рисунки, выполненные с помощью такого устройства, получались причудливыми и магическими. В XIX столетии Петер Губерт Девинь из Вены разработал устройство для рисования рулетт и назвал его спирографом; оно позволяло чертить такие кривые на медной гравировальной доске посредством алмазного резца. Спирограф использовался для создания сложных рисунков, которые наносились на банкноты с целью предотвращения их подделки. В 1965 году на рынке появилась игрушка «спирограф», представлявшая собой пластмассовую пластину с вырезанными в ней кругами и набором зубчатых колес меньшего диаметра с отверстиями внутри. Спирограф до сих пор остается для многих детей элементом обряда посвящения в умники.
Одна из моих любимых математических головоломок сводится к перекатыванию одной монеты вокруг другой [7]. Положите две одинаковые монеты с изображением королевы рядом друг с другом на стол, разместив их короной вверх, как показано на рисунке ниже. Прокрутите левую монету вокруг правой. В какую сторону будет направлена корона, когда монета окажется с правой стороны?
Перекатывание монет
Когда мне задали этот вопрос впервые, я предположил, что монета окажется в перевернутом положении, поскольку она прошла только половину пути вокруг неподвижной монеты. Но я ошибался. Королева делает полный оборот, что на первый взгляд противоречит здравому смыслу. Монета с королевской скоростью перемещается вокруг другой монеты, как будто отчаянно пытаясь сохранить достоинство, снова заняв строго вертикальное положение. Дело в том, что траектория движения монеты формируется благодаря свойству, присущему всем рулеттам: они представляют собой результат движения в двух независимых направлениях. В данном примере монета вращается вокруг себя и вокруг другой монеты. На каждый градус перемещения левой монеты вокруг правой приходится два градуса ее вращения вокруг себя.
Рулетты образуются в случае подвижного колеса. Однако кривые можно получить и посредством вращения колеса вокруг неподвижного центра. Такие кривые проще рулетт, поскольку формируются благодаря движению только в одном направлении — вокруг центра.
Возьмем точку на ободе колеса, вращающегося против часовой стрелки, как показано на рисунке 1 ниже. Если нанести на график высоту этой точки в зависимости от угла поворота, отмеченного на горизонтальной оси, получится кривая под названием синусоида, или синусоидальная волна. Я указал на рисунке положение точки при угле поворота 0, 45, 90, 225 и 270 градусов. Синусоида достигает максимума, когда угол поворота составляет 90 градусов, затем возвращается к горизонтальной оси при 180 градусах, после чего опускается ниже горизонтальной оси, а когда точка совершает полный оборот, возвращается в исходное положение. Если колесо продолжит вращаться, кривая будет повторяться с каждым новым оборотом, создавая симметричные волнообразные колебания до бесконечности.
Наверное, вам интересно знать, почему у названия этой волнистой линии один корень со словом «синус», которым обозначается соотношение между двумя сторонами прямоугольного треугольника, ведь между волнами и треугольниками нет ничего общего. Однако все это обретает смысл, если мы вспомним, что концепция синуса связана, прежде всего, с окружностью: это не что иное, как полухорда, что прекрасно видно на рисунке 2, где в окружности размещен прямоугольный треугольник. Предположим, длина гипотенузы равна 1, тогда синус угла α рассчитывается по формуле:
Первым синусоиду нарисовал Жиль де Роберваль в XVII столетии и назвал ее «кривой, сопутствующей циклоиде» [8]. Эта «спутница» займет впоследствии исключительное место в сердцах (и мыслях) ученых и математиков.
Изменение высоты вращающейся точки по отношению к углу поворота порождает синусоидальную волну
Синусоида — это кривая, которую называют периодической волной, поскольку она повторяется вдоль горизонтальной оси снова и снова. Синусоида — простой тип периодических волн, так как образующая ее окружность является простейшей геометрической фигурой. Однако, несмотря на то что синусоида представляет собой базовую концепцию, она моделирует множество физических явлений. Мир — настоящий карнавал синусоид. Изменяющееся во времени вертикальное положение груза, перемещающегося вместе с пружиной вверх и вниз, — это синусоида, как показано на левом рисунке ниже [9]. Груз движется с максимальной скоростью в середине периода колебания и замедляет движение в момент достижения верхней и нижней точек, что создает легко узнаваемую кривую (на рисунке отображено небольшое количество колебаний, ввиду того что горизонтальная ось здесь ограничена). Изменяющееся во времени горизонтальное положение маятника, колеблющегося из стороны в сторону с небольшой амплитудой, тоже образует синусоиду. Представьте себе, что шар маятника наполнен мелким песком и он просачивается через отверстие в нижней точке шара, как показано на рисунке снизу. Маятник, качающийся с севера на юг, оставит след в виде синусоидальной волны на ленте конвейера, движущейся с востока на запад. Говорят, что такие объекты, как пружина и маятник, колебания которых изменяются с течением времени по синусоидальному закону, совершают простое гармоническое колебание.
Подвешенный на пружине груз и колеблющийся маятник совершают простое гармоническое колебание
Мы уже видели, какие красивые рисунки образуют рулетты. То же самое можно сказать и о синусоидах. В 1840-х годах шотландский математик Хью Блэкберн экспериментировал с маятником, шар которого был наполнен песком. Он решил подвесить этот шар на двух шнурах, свисающих в форме буквы Y и прикрепленных друг к другу кольцом в точке r, как показано на рисунке ниже. Удерживая кольцо в неподвижном состоянии, Блэкберн качнул маятник слева направо. Затем он отпустил кольцо и толкнул его вперед, тем самым создав колебание вперед-назад. Таким образом, шар маятника двигался под воздействием двух перпендикулярных колебаний, что давало весьма впечатляющий результат. Эти два конкурирующих синусоидальных колебания отталкивали и притягивали друг друга, совершая своего рода математическое па-де-де, вычерчивающее под маятником удивительно замысловатый рисунок из песка. Через какое-то время предприимчивые производители инструментов начали выпускать устройства под названием «гармонографы», в которых два маятника совершают колебания пишущим пером в двух направлениях одновременно. Пользователь гармонографа мог скорректировать длину маятников, установить амплитуду их колебаний, а затем отпустить, разместив перо над листом бумаги. Перо начинало вращаться и делать петли, воспроизводя прекрасные геометрические формы, которые, несмотря на механическую природу, почему-то казались живыми.
Y-образный маятник Блэкберна. Рисунок взят из научно-популярного издания 1879 года
Из книги: Alfred Marshall Mayer, Soundby, Macmillan and Co., 1879
Гармонограф викторианской эпохи представлял собой нечто среднее между ящиком письменного стола и старинными часами [10]. Как результат, так и сам процесс движения пера, создававшего все эти изображения, оказывал гипнотическое воздействие. Затухание колебаний, обусловленное потерей энергии из-за трения, образовывало кривые, которые закручивались по спирали внутрь по мере их приближения к неподвижной точке равновесия. Некоторые более крупные устройства могли поддерживать колебания на протяжении часа и даже больше, прежде чем маятники останавливались.
Гармонографы стали настолько популярны, что обусловили появление и других устройств, работающих по тому же принципу: симпалмограф, пендулограф, двойной маятник и маятник, совершающий гармонические колебания в четырех направлениях. В начале ХХ века был создан генератор сложных гармонических колебаний Крейтона и фоторатиограф, чертивший кривые на фотобумаге с помощью движущегося светового пучка. В 1950-х годах художник Джон Уитни собрал гармонограф из военного утиля, оставшегося после Второй мировой войны. Он купил блок управления зенитной артиллерийской батареей М5 (большой металлический ящик со множеством ручек и рычагов, представлявший собой первый аналоговый компьютер, который использовался для расчета направления выстрелов по вражеским самолетам) и переделал его так, чтобы вращающиеся детали могли передвигать пишущий элемент по закону простого гармонического колебания в двух направлениях. Уитни мог корректировать скорость и размах колебаний синусоиды в электронном режиме, что позволяло ему в гораздо большей степени контролировать процесс и устраняло последствия затухания колебаний. С помощью этого устройства Уитни создавал удивительные изображения, которые стали одними из самых известных за всю историю математического искусства, поскольку были использованы в заставке и на постерах к фильму Альфреда Хичкока Vertigo («Головокружение»), снятому в 1958 году. Закручивающиеся в водоворот, вызывающие головокружение концентрические петли являлись прекрасной визуальной метафорой для истерзанного внутреннего мира главного героя киноленты. Однако Уитни знаменит не только этими изображениями, а и тем, что его электронный гармонограф был также первым устройством для создания компьютерной анимации.