Красивые вибрации: фигуры, созданные гармонографами
© Карл Симс, www.karlsims.com
Примерно в тот период, когда гармонографы вошли в моду в викторианских салонах, один парижский физик понял, что можно создавать аналогичные фигуры с помощью двух камертонов и пучка света [11]. Демонстрации, устраиваемые Жюлем Антуаном Лиссажу, относятся к числу самых красивых экспериментов XIX столетия. Когда камертон издает звук, его металлические зубцы колеблются согласно закону простого гармонического движения. Лиссажу прикрепил к одному камертону небольшое зеркальце и направил на него луч света таким образом, чтобы он отражался на экране в виде светового пятна. Когда камертон начинал вибрировать, пятно вытягивалось в горизонтальную линию. Пятно света очень быстро перемещалось то в одну, то в другую сторону, однако наблюдатели воспринимали это движение как линию, поскольку изображение каждого пятна сохраняется в нашей зрительной системе на долю секунды дольше, чем находится там на самом деле. Затем Лиссажу добавил еще один камертон, к которому тоже было прикреплено зеркало. Второй камертон размещался перпендикулярно первому с тем, чтобы луч света отражался зеркалом первого камертона, колеблющегося в одном направлении, на зеркало второго камертона, колеблющегося в перпендикулярном направлении, после чего попадал на экран. Другими словами, камертоны вели себя так же, как и маятники в гармонографе, перемещая луч света под воздействием двух конкурирующих гармонических колебаний. Однако вместо колебаний один раз в секунду или что-то около этого камертоны колебались с частотой сотни раз в секунду. Публика видела на экране поразительные изображения, известные в наше время как фигуры Лиссажу.
Разные системы расположения камертонов образуют разные кривые. Если два одинаковых камертона издают звук одной и той же высоты, то их синусоиды идентичны, а полученная кривая представляет собой одну из кривых в первом ряду на рисунке ниже: эллипс, прямую линию или окружность. Форма кривой зависит от того, в какой момент начинается каждое колебание по отношению к другому колебанию. Лиссажу корректировал данный процесс, меняя расстояние между камертонами. Если частота колебания одного камертона в два раза больше частоты колебаний другого, полученная кривая относится ко второму ряду изображений — это может быть парабола или кривая в форме восьмерки. В оставшихся рядах представленного ниже рисунка показаны фигуры Лиссажу для других целых значений соотношения между частотами синусоид. Если соотношение частот нельзя описать двумя целыми числами, луч света не вернется в исходную позицию, и полученное изображение будет нечетким.
Фигуры Лиссажу — иллюстрация из книги, опубликованной в 1875 году. В левом столбце изображений для каждого ряда указано соотношение частот синусоид
Из книги: John Tyndall, Sound (Third Edition), Longmans, Green and Co., 1875
От частоты колебания камертона зависит, какую ноту он издает. Например, при частоте 262 колебания в секунду он издает ноту «до» третьей октавы. Таким образом, благодаря экспериментам Лиссажу у музыкантов появился новый, более эффективный способ калибровки камертонов: вместо того чтобы определять их настройку на слух — использовать зрение. Квалифицированные специалисты применяют пучки света в своих мастерских. Если у двух камертонов отличается высота звука, значит, частота колебаний у них тоже разная, поэтому двойное отражение луча света дает размытую картинку. Специалисты выбирают один камертон в качестве эталона, а второй обрабатывают до тех пор, пока рисунок на стене не превратится в эллипс — это подтверждает, что оба камертона звучат на одной ноте.
Фигуры Лиссажу — результат сложения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Можно ли суммировать синусоиды, колеблющиеся вдоль одной и той же оси?
Разумеется, можно! И это приводит нас к одной из самых красивых и полезных теорем в математике. Для того чтобы вам было легче воспринимать дальнейший материал, позвольте мне объяснить три концепции, неразрывно связанные с изучением волн: частота, амплитуда и фаза. Частота — это количество колебаний, которые совершает волна за определенный промежуток времени; амплитуда — расстояние по вертикали между вершиной и впадиной волны; фаза — показатель позиции волны по горизонтали.
Вооружившись данными концепциями, мы можем дать математическое описание синусоид, которые представлены на рисунке ниже:
1)-это уже знакомая нам синусоида, описываемая уравнением y = sin x;
2)-если увеличить частоту в два раза (а это значит, что волна повторяется дважды за тот же период, за который исходная волна образуется только один раз), уравнение кривой будет выглядеть так: y = sin 2x;
3)-если удвоить амплитуду (то есть высота волны увеличивается в два раза), уравнение становится следующим: y = 2sin x;
4)-если изменить фазу, сместив волну влево на четверть ее длины, получим косинусоиду, которой соответствует уравнение y = cos x.
Все волны, образованные в результате изменения частоты, амплитуды и фазы синусоиды, тоже являются синусоидами. Частоту, амплитуду и фазу легче себе представить, вспомнив о том, что синусоиду создает перемещение точки по окружности: частота зависит от скорости перемещения точки, амплитуда — от радиуса окружности, а фаза — от исходной позиции точки;
5)-здесь я сложил синусоиду с косинусоидой. Складывая две волны, мы просто суммируем значения по вертикали в каждой точке горизонтальной оси. При этом происходит настоящее волшебство: результат сложения синусоидальной и косинусоидальной волны — это тоже синусоида, хотя и с другой фазой и амплитудой, равной корню из двух. В действительности сложение двух синусоид с одинаковой частотой всегда в результате дает синусоиду, независимо от значений их амплитуды и фазы.
Иными словами, если синусоиду прибавить к любому количеству синусоид с такой же частотой, но другими амплитудой и фазой, полученная кривая останется синусоидой — как фантастический монстр, всегда возвращающийся в свое первоначальное обличье. В ближайшее время мы вернемся к математике точек, перемещающихся по окружности, а пока давайте сделаем небольшое отступление и поговорим о перевороте иного типа — французской революции.
В 1798 году тридцатилетний профессор Политехнической школы в Париже Жозеф Фурье получил от министра внутренних дел срочное сообщение, в котором говорилось, что страна нуждается в его услугах и он «должен быть готов отправиться в путь по первому приказу» [12]. Через два месяца Фурье отплыл из Тулона в составе военной флотилии из 25 000 моряков под командованием генерала Наполеона Бонапарта, необъявленной целью которого было завоевание Египта.
Фурье был одним из 167 выдающихся ученых, входивших в состав египетской экспедиции. Их присутствие отображало идеологию научного прогресса, исповедуемую Великой французской революцией. Кроме того, Наполеон, будучи сам страстным поклонником математики, любил окружать себя людьми, разделявшими его взгляды. Говорят, что, когда французские войска добрались до Великой пирамиды в Гизе, Наполеон сел в тени у ее подножия, быстро что-то записал в своем блокноте и заявил, что в пирамиде достаточно камня для того, чтобы построить стену высотой три метра и толщиной один метр, которая окружила бы всю Францию [13]. Главный математик Наполеона Гаспар Монж подтвердил правильность сделанных генералом расчетов17.
В Египте Фурье выполнял много разных административных функций, в том числе постоянного секретаря Каирского института — центра культурного наследия, созданного по аналогии с Французским институтом в Париже. В институте было принято решение упорядочить информацию обо всех научных и археологических открытиях; впоследствии собранные материалы вышли в виде 37-томного издания Description de L’Égypte («Описание Египта»), предисловие к которому написал Фурье. По сути, Жозеф Фурье был отцом египтологии.
По возвращении Фурье из Египта Наполеон назначил его префектом расположенного в Альпах департамента Изер со столицей Гренобль. Фурье всегда отличался слабым здоровьем и очень сильной чувствительностью к холоду, поэтому никогда не выходил из дома без пальто даже летом и часто приказывал прислуге носить за ним еще одно пальто про запас. Фурье постоянно поддерживал в комнатах очень высокую температуру. В Гренобле его научные исследования тоже были связаны с теплом. В 1807 году он опубликовал труд под названием On the Propagation of Heat in Solid Bodies («О распространении тепла в твердых телах»), в котором рассказал об одном удивительном открытии, касающемся синусоид.
По возвращении Фурье из Египта Наполеон назначил его префектом расположенного в Альпах департамента Изер со столицей Гренобль. Фурье всегда отличался слабым здоровьем и очень сильной чувствительностью к холоду, поэтому никогда не выходил из дома без пальто даже летом и часто приказывал прислуге носить за ним еще одно пальто про запас. Фурье постоянно поддерживал в комнатах очень высокую температуру. В Гренобле его научные исследования тоже были связаны с теплом. В 1807 году он опубликовал труд под названием On the Propagation of Heat in Solid Bodies («О распространении тепла в твердых телах»), в котором рассказал об одном удивительном открытии, касающемся синусоид.
Знаменитая теорема Фурье гласит: любую периодическую волну можно построить посредством сложения синусоид. На это несколько неожиданное утверждение современники ученого отреагировали с большим недоверием. Многие волны совершенно не похожи на синусоиды — например, прямоугольная волна (см. рисунок ниже), которая напоминает зубцы ограды замка и состоит из прямых линий, тогда как синусоида представляет собой непрерывную кривую. И все же Фурье оказался прав: прямоугольную волну можно построить из одних только синусоид.
Вот как это сделать. На рисунке ниже размещены три синусоиды: элементарная синусоида, волна поменьше с частотой в три раза больше и третью амплитуды и еще более мелкая волна с частотой в пять раз больше и амплитудой в пять раз меньше. Эти три волны можно описать следующими уравнениями: sin x, и .
Я начал суммировать волны, представленные на рисунке. Сначала элементарную синусоиду, sin x. Сумма sin x + являет собой волну, которая похожа на ряд коренных зубов. Сумма sin x + + — это волна, напоминающая нить лампы накаливания. Прибавляя к данной последовательности следующие члены ряда, мы будем все больше приближаться к прямоугольной волне:
В пределе, прибавив бесконечное множество членов ряда, мы получим прямоугольную кривую. Просто поразительно, что кривую столь строгой формы можно построить с использованием исключительно волнообразных колебаний. Любую периодическую волну, состоящую из зубчатых линий, сглаженных кривых или даже их сочетания, можно создать с помощью синусоид.
Сумма синусоид, образующих эту волну, называется рядом Фурье [14]. Это чрезвычайно полезная концепция, поскольку она позволяет интерпретировать непрерывную волну в категориях дискретных сигналов. Например, члены ряда для прямоугольной волны могут быть представлены в виде гистограммы, как показано на рисунке ниже.
На горизонтальной оси отложены частоты составляющих синусоид, а на вертикальной — их амплитуды. Каждый столбик представляет синусоиду, причем самый левый — это синусоида, имеющая основную («фундаментальную») частоту. График такого типа обозначается термином «частотный спектр волны», или «преобразование Фурье».
Теорема Фурье стала одним из самых важных математических открытий, сделанных в XIX веке, поскольку позволила моделировать явления из многих областей (от оптики до квантовой механики и от сейсмологии до электротехники) в виде периодических волн. В большинстве случаев лучший способ изучения подобных волн сводится к их разбиению на простые синусоиды. В частности, такая область естествознания, как акустика, целиком и полностью построена на практическом применении открытий Фурье.
Звук — это вибрация молекул воздуха. Они вибрируют в направлении распространения звука, как показано на рисунке ниже на примере кларнета, поочередно образующего области сжатия и разрежения. Изменение давления воздуха в любой точке с течением времени представляет собой периодическую волну.
Как видите, звуковая волна, создаваемая кларнетом, имеет сложную зубчатую форму. Однако, согласно теореме Фурье, ее можно разложить на сумму синусоид, частота которых кратна основной частоте первого члена ряда. Другими словами, волну можно представить в виде спектра частот с разной амплитудой. На рисунке частотный спектр кларнета отображен в виде гистограммы.
Звуковая волна и частотный спектр кларнета
Помните: зубчатая волна и гистограмма представляют один и тот же звук, просто эта информация закодирована разными способами. На графике волны на горизонтальной оси отложено время, тогда как на гистограмме — частота. Инженеры-звукотехники говорят, что звуковая волна находится во временной области, а результат ее преобразования — в частотной.
Частотная область предоставляет нам всю информацию, которая необходима для воссоздания звука кларнета с помощью камертона. Каждый столбик гистограммы обозначает синусоиду, колеблющуюся с определенной частотой. Вспомните об экспериментах Лиссажу с камертонами, о которых шла речь выше. Создаваемая камертоном звуковая волна — это синусоида. Следовательно, для воспроизведения звука кларнета нужно сделать так, чтобы специально подобранные камертоны издавали звук, частота и амплитуда которого описываются соответствующим элементом гистограммы. Точно так же частотный спектр скрипки представляет собой подробную инструкцию по использованию камертонов для воссоздания звука скрипки. Различие между тембром ноты «до» третьей октавы кларнета и скрипки обеспечивается колебанием одной группы камертонов с разными относительными амплитудами. Таким образом, исходя из теоремы Фурье, теоретически возможно сыграть все сочинения Бетховена с помощью камертонов так, что их звучание будет неотличимо от исполнения тех же произведений симфоническим оркестром.
Когда мимо Dolby Laboratories в Сан-Франциско проезжает пожарная машина, все сотрудники компании (особенно «золотые уши», то есть те, кто обладает исключительным слухом) закрывают руками уши, пытаясь защитить свой слух от вредного шума. Компания Dolby завоевала хорошую репутацию благодаря выпуску систем шумопонижения для киноиндустрии, а сейчас разрабатывет программы для обеспечения высокого качества звучания бытовых электронных устройств, целиком и полностью основанные на синусоидах.
Возможность перевести звуковую волну из временной в частотную область дает следующее преимущество: многие задачи, которые трудно выполнить в одной области, гораздо проще решить в другой. Любой звук, воспроизводимый цифровыми устройствами (телевизором, телефоном или компьютером), хранится в виде данных в частотной, а не временной области. «Звуковая волна похожа на макаронину, — сказал мне старший директор отдела по разработке звуковых технологий Бретт Крокетт. — Ее невозможно ухватить». Данные о частотах гораздо легче сохранить, поскольку они представляют собой совокупность дискретных значений. Помогает также и то, что наш слух воспринимает не все частоты. «[Слух] не нуждается в полной картине», — добавил Крокетт. Программное обеспечение Dolby превращает звуковые волны в синусоиды, а затем отбрасывает несущественные синусоиды, чтобы записать максимально качественный звук и сохранить его в виде как можно меньшего количества информации. Когда она воспроизводится в виде звука, диапазон оставшихся частот конвертируется в звуковую волну во временной области.
Хоть все это звучит достаточно просто, на практике фильтрация синусоид из частотного спектра — чрезвычайно сложная задача. Во-первых, в основе этого процесса лежит так называемое быстрое преобразование Фурье — компьютерный алгоритм, конвертирующий волны в их частоты в режиме реального времени. Во-вторых, разные инструменты, музыкальные стили и голоса требуют разных решений. Труднее всего правильно воспроизвести звукоряд, содержащий гармоники, поскольку его частотный спектр напоминает частокол: амплитуды разных частот имеют одинаковую высоту, что приводит к удалению даже тех частот, которые можно услышать. В компании Dolby используют самые современные технологии, для того чтобы точно воспроизвести невероятно прекрасную песню Moon River («Лунная река»), написанную Генри Манчини в 1961 году. «Золотые уши» Бретта Крокетта оценивают новую технологию Dolby по тому, насколько правдиво она воссоздает гармонический рифф, записанный более чем полстолетия назад.
Жозеф Фурье был первым человеком, преобразовавшим периодическую волну в диапазон частот. Гораздо позже биологи выяснили, как именно работает ухо. Отдел внутреннего уха, отвечающий за восприятие и распознавание звуков, называется улиткой и представляет собой свернутый спиралью, заполненный жидкостью канал, мембрана которого покрыта волосковыми клетками. Волоски вибрируют в соответствии с частотой входящей звуковой волны, причем волоски, вибрирующие на самых низких частотах, находятся у одного конца улитки, а на самых высоких частотах — у другого конца. Если развернуть спираль улитки в прямую линию, она выглядела бы как горизонтальная ось результата преобразования Фурье. Природа выделяет частоты звуковых волн с тех самых пор, как у живых существ появились уши, чтобы слышать.