Значение концепции числа, используемой поначалу для подсчета физических объектов, было расширено посредством введения понятия отрицательных, а затем и мнимых чисел. В связи с этим возник закономерный вопрос о том, создаст ли алгебра еще более абстрактную категорию чисел. Например, что представляет собой квадратный корень квадратного корня из минус единицы? Если всерьез задуматься об этой концепции, сперва она перевернет ваш разум вверх дном, а затем вывернет наизнанку. Речь идет о решении уравнения:
или:
что эквивалентно:
x2 = i
Поражает тот факт, что решение этого уравнения представляет собой комплексное число20 [9]:
В XVIII веке математики поняли, что применение мнимых чисел позволяет решить любое уравнение. Это вывод оказался настолько важным, что его стали позиционировать как основную теорему алгебры. Уравнение, записанное с помощью комплексных чисел, всегда имеет решение в виде комплексных чисел. Дверь, в которую вошел Рафаэль Бомбелли, для того чтобы изучить квадратные корни отрицательных чисел, оказалась дверью в изолированную комнату. Но что это была за комната! Болезненные чувства, испытываемые математиками по отношению к мнимым числам, уступили место радости. В настоящее время концепция числа i считается вполне естественным и эффективным расширением числовой системы. Благодаря введению единственного символа математики получили изысканно самодостаточную абстрактную вселенную. Это была выгодная сделка!
Мнимые числа — главные герои двух самых известных примеров математической красоты. Один из них — картина (о которой мы поговорим немного позже), а другой — уравнение, известное как тождество Эйлера. В 2003 году, во время атаки экотеррористов на автосалон в Лос-Анджелесе, эту формулу нанесли спреем на бок внедорожника. Характер данного рисунка привел к аресту студента, изучавшего физику в Калифорнийском технологическом институте [10]. «Все должны знать тождество Эйлера», — объяснил он судье. Безусловно, студент был совершенно прав, но от разрисовывания автомобилей все же следует воздержаться. Тождество Эйлера — это «быть или не быть» математики, самая знаменитая формула и фрагмент культурного наследия, находящий отклик и за пределами своей области:
eiπ + 1 = 0
Это поразительное равенство. Оно объединяет пять самых важных чисел в математике: 1 — первое натуральное число; 0 — абстрактное представление понятия «ничего»; π — отношение длины окружности к диаметру; е — экспоненциальная константа; i — квадратный корень из минус единицы. Все эти числа возникли в отдельных областях исследований и при этом образуют идеальное сочетание. Невозможно было даже представить себе столь безукоризненный синтез математической мысли. В математике красота — это изысканность формулировок и установление неожиданных связей. Не существует другого уравнения, которое было бы столь же кратким и в то же время столь же глубоким.
Но что же все-таки значит то, что у действительного числа (числа е) мнимый показатель степени (iπ)? В XIX столетии профессор математики Гарвардского университета Бенджамин Пирс ответил на этот вопрос так: «Мы не можем понять и не знаем, что это значит. Но мы доказали это, следовательно, оно должно соответствовать истине». Пирс был совершенно прав. Математика начинается с исходных предположений и приводит туда, куда они ведут. Именно поэтому она столь увлекательна. На самом деле Эйлер открыл эту формулу, позабыв о смысле. Поскольку тождество Эйлера — самое известное уравнение в математике, я бы оказал вам плохую услугу, если бы хотя бы кратко не рассказал эту историю.
Единственное, что вам понадобится в качестве подготовки, — принять без доказательства три следующих уравнения. Многоточия в конце означают, что правая сторона уравнения продолжается до бесконечности:
Если x равно 1, то первый ряд дает нам формулу расчета экспоненциальной константы е, о которой шла речь в предыдущей главе. (Помните, что факториал числа n, записываемый как n!, означает, что это число умножается на все числа от 1 до n.) Следующие два бесконечных ряда — это синус и косинус x, тригонометрические функции, которые тоже должны быть знакомы вам по предыдущим главам. Однако, для того чтобы ряды синуса и косинуса пригодились нам здесь, необходимо использовать специальную единицу измерения — радиан, а не традиционную единицу — градус. Полный круг, или 360 градусов, — это 2π радиан, а половина круга, или 180 градусов, — π радиан. (Радиан называется именно так, поскольку 1 радиан — это угол в центре круга, образующий дугу окружности, длина которой равна ее радиусу, как показано ниже. Радиан — более естественный способ измерения угла, чем градусная система, известная со времен Вавилона. Начиная с XVIII века математики отдают предпочтение измерению углов в радианах [11].)
Радиан
На интуитивном уровне невозможно понять, что означает возвести число (например, число е) в мнимую степень. Однако Эйлер понял, что это можно сделать алгебраическим способом, воспользовавшись представленным выше бесконечным рядом для ex. Например, если мы подставим ix вместо x, получится следующее уравнение:
Убрав скобки, получим такое уравнение:
Мы можем еще больше упростить это уравнение, поскольку по определению i2 = −1:
i3 = i × i × i = i2 × i = –1 × i = –i,
i4 = i2 × i2 = –1 × –1 = 1,
i5 = i4 × i = 1 × i = i,
i6 = –1
И так далее.
Другими словами, вместо членов ряда i2, i4, i6, i8 … мы можем подставить значения −1, 1, −1, 1 …, а вместо i3, i5, i7, i9 … — −i, i, −i, i … Следовательно, уравнение можно записать так:
Закономерность легче увидеть, если выделить мнимые члены жирным шрифтом:
Этот ряд можно преобразовать так:
Но ведь это в точности те же члены, что и в представленных выше уравнениях для косинуса и синуса x:
eix = cos x + i sin x
Возведение числа е в мнимую степень позволило Эйлеру найти тригонометрические функции. Другими словами, он взял две знакомые, но не связанные друг с другом концепции, перемешал их — и как по мановению волшебной палочки появилось нечто неожиданное: две еще более привычные концепции из области, которая считалась совершенно не имеющей отношения к данной ситуации. Занимаясь математикой, порой испытываешь ощущение, будто это алхимия.
В завершение Эйлер сказал: пусть x = π, что в радианной мере эквивалентно 180 градусам. Поскольку cos π = cos 180° = –1, а sin π = sin 180° = 0, мнимый член ряда исчезает.
eiπ = cos π + i sin π
Это сокращается до следующей формулы:
eiπ = –1
Или:
eiπ + 1 = 0
По всей вероятности, именно благодаря революционной работе Эйлера с мнимыми числами они оказались в центре математики, где с тех самых пор и остаются. Но, несмотря на это, для Эйлера и его современников мнимые числа по-прежнему были экзотическими, непостижимыми чудовищами. Само их название, которое подразумевало, что они не существуют, являлось серьезным препятствием, мешавшим их полному принятию. В начале XVIII века Готфрид Лейбниц сказал, что √–1 — это «почти что амфибия между бытием и небытием». Возможно, математика развивалась бы быстрее, если бы вместо термина «мнимые числа» в словарь вошло название «числа-амфибии».
Мы с вами уже знаем, что математики полностью освоились с концепцией отрицательных чисел лишь тогда, когда смогли увидеть их на бумаге в виде точек, отображенных на числовой оси. То же самое произошло и с мнимыми числами. Философские опасения по поводу комплексных чисел исчезли только после изобретения простого способа визуальной интерпретации этой концепции.
Представленная на рисунке ниже комплексная плоскость образована вертикальной числовой осью, на которой откладываются мнимые числа, и горизонтальной числовой осью, на которой откладываются действительные числа (как оси х и у в обычной системе координат). Комплексное число a + bi — это точка на комплексной плоскости с координатами (a, b) — a по горизонтальной оси, b — по вертикальной. На рисунке я отметил число 3 + 2i, другими словами — точку с координатами (3, 2). Комплексная плоскость — достаточно простая идея, но тем не менее все три ее автора независимо друг от друга работали где-то на периферии сообщества самых влиятельных математиков того времени: Каспер Вессель, землемер из Копенгагена; Жан Робер Арган, счетовод из Парижа, и аббат Эдриан-Кантен Буэ, французский священник, который сбежал от революции и поселился в городе Бат. Тот факт, что ни один из великих математиков той эпохи не предложил идею комплексной плоскости, говорит об их зависимости от доктрины о том, что мнимые числа существуют только в воображении.
Представленная на рисунке ниже комплексная плоскость образована вертикальной числовой осью, на которой откладываются мнимые числа, и горизонтальной числовой осью, на которой откладываются действительные числа (как оси х и у в обычной системе координат). Комплексное число a + bi — это точка на комплексной плоскости с координатами (a, b) — a по горизонтальной оси, b — по вертикальной. На рисунке я отметил число 3 + 2i, другими словами — точку с координатами (3, 2). Комплексная плоскость — достаточно простая идея, но тем не менее все три ее автора независимо друг от друга работали где-то на периферии сообщества самых влиятельных математиков того времени: Каспер Вессель, землемер из Копенгагена; Жан Робер Арган, счетовод из Парижа, и аббат Эдриан-Кантен Буэ, французский священник, который сбежал от революции и поселился в городе Бат. Тот факт, что ни один из великих математиков той эпохи не предложил идею комплексной плоскости, говорит об их зависимости от доктрины о том, что мнимые числа существуют только в воображении.
Комплексная плоскость
Комплексная плоскость стала блестящим открытием. Она не только представляет собой схему, на которой может быть отмечено местоположение комплексных чисел, но и углубляет наше понимание того, как ведут себя эти числа.
Возьмем какую-либо элементарную сумму, скажем 1 плюс 3 + 2i. Ответ: 4 + 2i.
Или прибавим i к числу 3 + 2i. Ответ: 3 + 3i.
А теперь посмотрите на рисунок ниже. Прибавление 1 к точке 3 + 2i перемещает нас на одну единицу по горизонтальной оси, а прибавление i — на одну единицу вверх по вертикальной.
Чем больше единиц я прибавляю, тем дальше продвигаюсь по горизонтали, а чем больше i — по вертикали. На самом деле сложение комплексного числа a + bi эквивалентно перемещению на a единиц вдоль действительной оси и на b единиц вверх по мнимой оси. Такое геометрическое передвижение обозначается термином «параллельный перенос».
А теперь давайте перейдем к умножению комплексных чисел. Если мы возьмем число 3 + 2i и умножим его на 1, получится то же самое, 3 + 2i. Иначе и быть не может, ведь так всегда происходит с умножением на 1. Но когда мы умножим это число на i, произойдет нечто интересное. Давайте умножим 3 + 2i на i:
(3 + 2i) × i = 3i + 2i2 = 3i – 2 = –2 + 3i
Посмотрите на представленный ниже рисунок. Точка 3 + 2i сместилась на 90 градусов относительно 0 против часовой стрелки.
Если мы умножим новую точку −2 + 3i на i, точка на комплексной плоскости, которую описывает это число, повернется на четверть оборота вокруг начала координат. Если мы умножим на i2 = −1, точка повернется на 180 градусов, если на i3 = −i, точка повернется на 270 градусов, а если на i4 = 1, точка вернется в исходную позицию.
Теперь давайте возьмем произвольное положительное число a. Оно находится на действительной оси комплексной плоскости. Умножив a на −1, получим ответ: –a. Это число тоже размещено на действительной оси, но с противоположной стороны от 0. Умножим его на −1 еще раз, и оно вернется к значению a. Однако если мы умножим a на i, ответ будет ai. Число повернулось на 90 градусов и теперь расположено на мнимой оси. Если мы снова умножим на i, число переместится в позицию –a, снова вернувшись на действительную ось. Таким образом, комплексная плоскость обеспечивает возможность представить умножение на отрицательные числа, которое сводится к перемещению вперед-назад, в виде умножения мнимых чисел посредством последовательности перемещений по кругу. Этот процесс не только позволяет глубже постичь сущность чисел, но и предоставляет в наше распоряжение мощный язык для описания вращающихся объектов.
Во многих областях науки, в том числе в физике элементарных частиц, электротехнике и радиолокации, комплексная плоскость используется для описания процесса вращения. В действительности волновое уравнение Шредингера (основное уравнение квантовой механики) содержит мнимое число i [12]. Это уравнение описывает вероятность обнаружения субатомной частицы в определенном месте. Разумеется, вероятность любого события должна находиться в пределах от 0 до 1, или от 0 до 100 процентов. Однако лучший способ понять зависимость между вероятностями частиц сводится к тому, чтобы считать эти вероятности числами на комплексной плоскости. В данном случае вместо сложения вероятностей как действительных чисел эти вероятности усиливают или нейтрализуют друг друга в зависимости от их относительного положения в процессе вращения.
Благодаря таким уравнениям, как уравнение Шредингера, физики теперь используют мнимые числа для описания природы самой материи. В итоге математикам больше не нужно терзаться по поводу того, есть ли у мнимых чисел какой-либо внешний смысл или нет. В наше время говорить, что число 2 + 3i находится на комплексной плоскости, так же естественно, как и то, что число −2 расположено на числовой оси.
Комплексная плоскость позволяет по-новому взглянуть на тождество Эйлера, но для этого я должен познакомить вас с альтернативной системой координат для комплексных чисел. Как мы уже видели, в стандартной системе комплексному числу a + bi соответствует точка на плоскости с координатами (a, b), где a — это расстояние от ноля вдоль горизонтальной оси, а b — расстояние от ноля вверх. Вторая система, в которой используются «полярные» координаты, описывает точку с координатами (a, b) как точку, которая находится под углом θ на расстоянии r от начала координат. Это похоже на то, как в боевике командир подводной лодки объявляет, что вражеский корабль замечен в r милях, азимут θ (разве что за исключением того, что мы измеряем углы в радианах, причем против часовой стрелки начиная с востока, а не по часовой стрелке с севера). На представленном ниже рисунке точка отображает комплексное число a + bi. Я отметил угол θ от горизонтали и расстояние r от начала координат, что образует прямоугольный треугольник с углом θ, гипотенузой r, прилежащей стороной a и противолежащей стороной b.
SOH-CAH-TOA!
Это мнемоническое правило для запоминания тригонометрических функций напоминает нам о том, что синус — это отношение противолежащей стороны к гипотенузе, а косинус — прилежащей стороны к гипотенузе. В данном случае это значит, что
Эти формулы можно записать так:
b = r sin θ; a = r cos θ
Следовательно, наше комплексное число может быть выражено через r и θ:
a + bi = r cos θ + (r sin θ) i
a + bi = r cos θ + ri sin θ
a + bi = r (cos θ + i sin θ)
Но постойте! Мы ведь знаем, что cos θ + i sin θ = eiθ. Следовательно, мы можем заменить те члены уравнения, которые стоят в скобках, и получить такую формулу:
a + bi = reiθ
Попытайтесь прочувствовать это уравнение. Комплексное число, которое находится на расстоянии r от начала координат, под углом θ радиан по отношению к горизонтальной оси, имеет форму reiθ. Немного выше в этой главе я задал вопрос, что значит число е в мнимой степени, но тогда это казалось непонятным. Сейчас мы нашли на него ответ. Когда число е имеет мнимую степень, такой член представляет собой невероятно эффективное обозначение позиции на комплексной плоскости.
Теперь давайте рассмотрим точку на комплексной плоскости с координатами (–1, 0), которая представляет комплексное число –1 + 0i, или просто −1. Как показано на рисунке ниже, эта точка находится на расстоянии в 1 единицу от начала координат под углом в π радиан, а значит, мы можем записать ее как eiπ.
Мы с вами заново открыли тождество Эйлера! Формула, описывающая позицию точки −1 на комплексной плоскости, выглядит следующим образом:
–1 = eiπ
Это уравнение можно преобразовать в такую форму: