Кривизна (curvature): показатель отклонения кривой от окружности.
Логарифм (logarithm): математическое определение логарифма и логарифмического масштаба содержится в Приложении 1.
Математическая константа (mathematical constant): фиксированное число, возникающее в математике естественным образом, например число π или e.
Мнимое число (imaginary number): любое число, кратное i.
Многоугольник (polygon): двумерная фигура, контур которой представляет собой замкнутую ломаную линию.
Множество (set): совокупность тех или иных объектов.
Начало координат (origin): точка с координатами (0, 0) на координатной плоскости.
Непрерывность (continuity): свойство таких математических понятий, как прямая и кривая линия.
Номограмма (nomogram): диаграмма, позволяющая выполнять вычисления, начертив прямую линию и определив точку, в которой она пересекает шкалу значений.
Основная теорема исчисления (Fundamental Theorem of Calculus): теорема, которая гласит, что интегрирование — это процесс, обратный дифференцированию, и наоборот.
Основная теорема алгебры (Fundamental Theorem of Algebra): теорема, гласящая, что любое алгебраическое уравнение может быть решено и это решение представляет собой комплексное число.
Основная теорема арифметики (Fundamental Theorem of Arithmetic): теорема, которая гласит, что любое целое число больше 1 либо является простым, либо представляет собой произведение единственного набора простых чисел.
Переменная (variable): величина, которая может принимать разные значения.
Периодическая волна (periodic wave): волна, повторяющаяся с определенной периодичностью.
Пи (pi): отношение длины окружности к ее диаметру, которое начинается с 3,14 и обозначается символом π.
Подобный (similar): термин, используемый для описания двух объектов, имеющих одинаковую форму, но не обязательно одинаковый размер.
Полярная система координат (polar coordinates): схема координатной плоскости, в которой каждая точка на плоскости определяется ее расстоянием от фиксированной точки (полюса) и углом от заданной оси.
Показатель степени (power): когда число n умножается само на себя а раз, мы записываем это как na, где а — показатель степени.
Предел (limit): если последовательность значений все сильнее приближается к постоянной величине, так, что становится настолько близкой к этой величине, насколько это необходимо, то эта постоянная величина является пределом данной последовательности.
Преобразование Фурье (Fourier transform): процесс преобразования периодической волны в ряд Фурье, а также название этого ряда.
Производная (derivative): формула расчета градиента кривой, или скорость изменения переменной величины.
Простая дробь (common fraction): дробь, которая записывается в виде числителя и знаменателя, например или .
Простое гармоническое колебание (simple harmonic motion): колебание, при котором физическая величина изменяется с течением времени по синусоидальному закону.
Простое число (prime number): целое число больше 1, которое делится только на себя и на 1 (например, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…).
Прямой угол (right angle): четверть оборота, или 90 градусов.
Прямоугольная система координат (cartesian coordinates): схема координатной плоскости, в которой каждая точка определяется ее положением по горизонтали и вертикали. Как правило, прямоугольная система координат изображается в виде двух взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в точке (0, 0).
Равносторонний треугольник (equilateral triangle): треугольник с тремя равными сторонами.
Рулетта (roulette): кривая, которую образует точка на катящемся колесе.
Ряд Фурье (Fourier series): сумма (возможно, бесконечного количества) синусоид, сложение которых образует рассматриваемую волну.
Самоподобие (self-similarity): свойство объекта, в точности или приближенно совпадающего с частью самого себя.
Синус (sine): тригонометрическая функция, выражающая отношение противоположной стороны прямоугольного треугольника к гипотенузе.
Синусоида (sinusoid): кривая, имеющая форму синусоидальной волны.
Синусоидальная волна (sine wave): кривая, образованная посредством вертикального смещения точки, вращающейся по кругу.
Степенная зависимость (power law): две переменные находятся в степенной зависимости, если одна из них прямо или обратно пропорциональна степени другой.
Тангенс (tangent): тригонометрическая функция, выражающая отношение противоположной стороны прямоугольного треугольника к прилежащей стороне.
Теорема (theotrem): утверждение, которое не является самоочевидным, но доказано методом дедукции.
Теория множеств (set theory): раздел математики, который изучает свойства множеств и их способность стать основой для арифметики.
Триангуляция (triangulation): измерение расстояний с помощью тригонометрических функций.
Тригонометрия (trigonometry): раздел математики, изучающий тригонометрические функции и их использование.
Факториал (factorial): факториал целого числа — это произведение всех целых чисел от 1 до этого числа включительно. Например, факториал числа 5, который записывается как 5!, равен 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Фокус (focus): основная точка, которая используется при построении конических сечений.
Форма (shape): внешняя геометрическая конфигурация объекта, не зависящая от его размера и положения в пространстве.
Фрактал (fractal): объект, который обладает свойством самоподобия.
Хорда (chord): отрезок, соединяющий две точки окружности.
Числовая ось (number line): геометрическая интерпретация чисел, расположенных по порядку на непрерывной прямой, простирающейся до минус бесконечности слева и до плюс бесконечности справа от ноля, находящегося посредине.
Целое число (whole number): в контексте данной книги — любое положительное число 1, 2, 3…
Циклоида (cycloid): траектория движения точки, находящейся на ободе колеса, которое перемещается по прямой.
Экспонента (exponent): см. показатель степени.
Экспоненциальный рост/спад (exponential growth/decay): возрастание или убывание величины, при котором скорость роста (спада) пропорциональна значению самой величины.
Эксцентриситет (eccentricity): степень отклонения конического сечения от окружности.
Приложение 1
Логарифм можно определить следующим образом.
Если a = 10b, то логарифм числа a равен b и записывается в таком виде26:
log а = b
Другими словами, если число а выражено в виде степени 10, то логарифм числа а — это показатель степени. Вот некоторые простые значения логарифмов:
log 10 = 1, поскольку 10 = 101
log 100 = 2, поскольку 100 = 102
log 1000 = 3, поскольку 1000 = 103
А вот таблица логарифмов чисел от 1 до 10:
log 1 = 0
log 2 = 0,301
log 3 = 0,477
log 4 = 0,602
log 5 = 0,699
log 6 = 0,778
log 7 = 0,845
log 8 = 0,903
log 9 = 0,954
log 10 = 1
Если мы отметим логарифмы чисел от 1 до 10 на числовой оси, разместив их в соответствии с их значениями, то получим логарифмическую шкалу от 0 до 1. Чем дальше по оси находятся логарифмы, тем плотнее они расположены.
На этой шкале я также отметил расстояние между логарифмами. Вы узнаете в них проценты из закона Бенфорда. Иными словами, если я случайным образом выберу на этой шкале точку от 0 до 1, вероятность того, что она попадет в интервал от log 1 до log 2, составляет 30,1 процента, в интервал от log 2 до log 3 — 17,6 процента и т. д.
Точно так же длина первого интервала равна log 2 – log 1, второго log 3 – log 2, а интервала d — log (d + 1) – log d. Это означает, что эти вероятности можно более точно выразить как log (d + 1) – log d для каждого значения d.
Приложение 2
Здесь я покажу вам, что в двойном логарифмическом масштабе любое уравнение вида всегда представлено прямой линией с наклоном влево, и наоборот: в двойном логарифмическом масштабе прямую с наклоном влево всегда можно описать представленным выше уравнением. Если на координатных осях откладываются логарифмы ранга и частотности, то прямая с наклоном влево отображает закон Ципфа:
Для того чтобы понять изложенные ниже разъяснения, мы должны иметь определенное представление о координатной геометрии (о концепции градиента, например), а также об основных свойствах логарифмов. Кроме того, нам необходимо принять как истинное следующее утверждение.
(1) На координатной плоскости, где горизонтальная и вертикальная оси обозначаются как х и у, все прямые линии могут быть описаны уравнением y = mx + c, где m — это градиент прямой, а с — точка, в которой эта прямая пересекает вертикальную ось.
Итак, начнем с уравнения:
Возьмем логарифм от обеих его частей:
Согласно свойствам логарифмов, мы можем записать это уравнение в таком виде:
log y = log k – logxa
Или так:
log y = log k – a log x
Если log y = Y, а log x = X, то это уравнение можно записать следующим образом:
Y= –aX + log k
Исходя из представленного выше предположения (1), мы знаем, что на координатной плоскости, где Х — это горизонтальная ось, а Y — вертикальная, это прямая с градиентом –а, пересекающая вертикальную ось в точке log k.
Поскольку Х = log x, а Y = log y, этот график отображен в двойном логарифмическом масштабе, а так как градиент отрицательный, можно сделать вывод, что прямая должна быть наклонена влево.
Аналогичным образом представьте себе прямую с уклоном влево в двойном логарифмическом масштабе. Согласно предположению (1), ее можно описать таким уравнением:
log y = –log x + c
(Поскольку прямая наклонена влево, можно сказать, что она имеет отрицательный градиент.)
Если c = log k, это дает уравнение:
log y = –a log x + log k
или
log y = log k – a log x
Воспользовавшись свойствами логарифма, это уравнение можно преобразовать так:
log y = log k – log xa
Или так:
Что означает следующее:
Что и требовалось доказать.
Дополнительный вывод состоит в том, что уравнение y = kxa описывает прямую с уклоном вправо в логарифмическом масштабе, а любая такая прямая может быть представлена данным уравнением.
Приложение 3
ВЫСОТА ГОРЫ
На рисунке изображены треугольники из главы 3. Наша задача — вычислить высоту горы h, зная только значения α, β и d. Пусть е — это расстояние от точки, находящейся непосредственно под вершиной, до ближайшей точки наблюдения.
Нам известно, что , а также что . Преобразуем эти уравнения так:
h = (d + e) tan α
h = e tan β
Следовательно:
(d + e) tan α = e tan β
Что можно записать в таком виде:
Исходя из равенства h = e tan β, мы можем утверждать, что:
В этом уравнении высота рассчитывается только с использованием значений α, β и d.
РАДИУС ЗЕМЛИ
На этом рисунке представлен тот же треугольник, что и на соответствующем рисунке в главе 3. Нам известен угол между горизонталью и горизонтом θ и высота горы h. Наша задача — вычислить радиус Земли r.
Сначала надо показать, что угол, исходящий из центра Земли, равен θ. На рисунке видно, что угол ϕ равен 90º – θ. Поскольку сумма углов в треугольнике составляет 180º, то искомый угол равен θ.
Мы знаем, что
Следовательно:
(r + h) cos θ = r
r cos θ + h cos θ = r
Эти равенства можно преобразовать так:
r – r cos θ = h cos θ
r (1 – cos θ) = h cos θ
Тогда
Приложение 4
МАШИНА УМНОЖЕНИЯ
Утверждение. Для того чтобы умножить a × b, необходимо построить на параболе y = x2 прямую из точки x = −а до точки x = b, как показано на рисунке. Прямая линия, соединяющая эти две точки, пересекает ось y в точке a × b.
Доказательство. Примем за истинное следующее утверждение: уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (p, q), имеет вид y – q = (x – p)m, где m — градиент.
Прямая на графике проходит через точки с координатами (−a, a2) и (b, b2).
Градиент этой прямой, который представляет собой отношение расстояния по вертикали к расстоянию по горизонтали, рассчитывается по формуле , которую можно преобразовать к виду , затем это выражение можно сократить до (b – a).
Следовательно, уравнение прямой выглядит так:
y – a2 = (x + a) (b – a)
Его можно преобразовать следующим образом:
y – a2 = xb – xa + ab – a2
Члены –a2 можно сократить, после чего останется такое уравнение:
y = xb – xa + ab
Если прямая пересекает вертикальную ось, тогда x = 0, а значит,
y = ab
Другими словами, прямая пересекает ось в точке ab, что равно a × b.
Приложение 5
Если сумма S наращивается со скоростью r, то после t периодов начисления сложных процентов значение этой суммы равно
S (1 + r)t
Сумма удвоится, когда (1 + r)t = 2. Чтобы решить это уравнение, необходимо взять натуральный логарифм обеих его частей. Натуральный логарифм — это логарифм с основанием е, который обозначается как ln. Таким образом
ln (1 + r)t = ln 2
Что сводится к
t ln (1 + r) = ln 2
Следовательно,
Когда r имеет небольшое значение, то ln (1 + r) ≈ r, стало быть, это уравнение можно записать так:
Что эквивалентно
Если r — скорость, выраженная в дробном виде, то обозначим через R скорость в процентном выражении. В таком случае необходимо умножить числитель и знаменатель в дроби t на 100
Следовательно, количество периодов начисления сложных процентов t, необходимых для удвоения суммы, составляет 69 разделить на темпы роста в процентах R.
Поскольку число 72 легче делится на другие числа, чем 69, в правиле 72 чаще всего используется именно это число, хотя значение 69 было бы точнее27.
Приложение 6
Площадь самого большого заштрихованного квадрата составляет . Второй по величине заштрихованный квадрат имеет площадь, равную четверти самого большого квадрата, то есть . Площадь третьего по величине квадрата составляет четверть этой площади и т. д. Следовательно, общая площадь заштрихованных квадратов равна
Однако каждому заштрихованному квадрату соответствует ровно по два незаштрихованных квадрата одинакового размера. Таким образом, площадь заштрихованных квадратов должна также составлять общей площади. Стало быть,
Приложение 7
КАК СПРАВЕДЛИВО РАЗДЕЛИТЬ ПИРОГ НА ТРОИХ
Назовем этих троих Гуго, Стефан и Станислав — по именам математиков, внесших самый большой вклад в создание «Шотландской книги».
Шаг 1. Гуго делает первый разрез. Его задача — отрезать пирога.
Шаг 2. Гуго передает свой кусок Стефану, который должен оценить, равен ли он пирога или нет. Если, по его мнению, кусок слишком большой, он отрезает от него немного.
Шаг 3. Кусок передается Станиславу, который решает, брать его или нет. Если Станислав берет кусок, Гуго и Стефану предстоит разделить оставшийся большой кусок, а также небольшой кусочек, отрезанный Стефаном. Один из них делит оба куска надвое, а другой выбирает.
Шаг 4. Если Станислав не берет кусок пирога, существуют две возможности в зависимости от того, обрезал ли Стефан кусок Гуго.
Если Стефан обрезал кусок, он должен его взять. Двое других делят оставшийся кусок пирога, как в шаге 3.
Если Стефан не обрезал кусок, тогда его берет Гуго, а двое других делят остаток.