Если Стефан не обрезал кусок, тогда его берет Гуго, а двое других делят остаток.
С точки зрения логики это правильный подход, но в случае его применения на практике можно запутаться.
Приложение 8
На рисунке 1 ниже показано решето Эратосфена на уровне поколения 0. На рисунке 2 это решето изображено на уровне поколения 650, на котором простые числа 2, 3, 5, 7 и 11 уже благополучно прошли процедуру отбора, а на рисунке 3 представлен более детальный план зоны обстрела глайдерами, изображенной на рисунке 2.
Весь процесс выглядит следующим образом. Фигура, выделенная на рисунке 2 и обозначенная как «ружье А», выстреливает космические корабли, движущиеся слева направо (каждый корабль представляет нечетное число). Эти корабли покинут основную конфигурацию, если им удастся уйти из-под огня ружей, выстроившихся вверху.
Давайте внимательнее рассмотрим эти ружья. Перемещаясь справа налево (именно в таком порядке создаются ружья), первое ружье (ружье В) выстреливает глайдер по диагонали вниз и налево через каждые три интервала. Это ружье уничтожит все космические корабли, которые представляют числа, кратные трем. Второе ружье (ружье С) выстреливает глайдеры через каждые пять интервалов, уничтожая все корабли, представляющие числа, кратные пяти. Следующее ружье уничтожит все корабли, представляющие числа, кратные семи, и т. д. В общем виде это выглядит так: когда ружье А порождает космический корабль, представляющий нечетное число n, зона обстрела расширяется влево, для того чтобы создать пространство для ружья, выстреливающего глайдеры через каждые n интервалов. Совокупный эффект сводится к тому, что пройти эту зону смогут лишь корабли, соответствующие простым числам. Если число n не является простым, то у него есть минимум два делителя, поэтому космический корабль, находящийся в позиции n, в конце концов будет уничтожен ружьем, выстреливающим глайдеры с интервалом, равным самому большому делителю числа n.
Для того чтобы максимально упростить процесс, ружье А выстреливает космические корабли только на позициях, соответствующих нечетным числам. После числа 2 все простые числа являются нечетными, а значит, нет необходимости конструировать космические корабли четных чисел, поскольку они все равно будут уничтожены. Четное число 2 представляет лишь первый корабль потока.
(1) Поколение 0
(2) Поколение 650
(3) Детали поколения 650
Благодарности
Выражаю искреннюю признательность сотрудникам издательства Bloomsbury в Лондоне: Биллу Свейнсону, Элисон Глоссоп, Лоре Брук, Хелен Флад, Аманде Шипп, Грегу Хайнеманну, Дэвиду Манну, Ричарду Аткинсону и особенно Гза Шоу Стюарт, которая кропотливо проверила каждую дробь и экспоненту. В нью-йоркском издательстве Simon & Schuster я получил неоценимую помощь от таких сотрудников, как Бен Лонен, Эмили Луз и Брит Гвиде, а в издательстве Doubleday в Торонто — от Тима Рострона.
Бен Самнер был невероятно энергичным выпускающим редактором книги, а Эдмунд Харрис, Инь Фун О, Джун Барроу-Грин, Эрика Джарнс и Гарет Робертс дали бесценные комментарии по поводу ее текста. Благодарю также Саймона Линдо за иллюстрации, The Surreal McCoy — за комиксы и Сьюзен Уайтмен из Libanus Press за верстку.
В этой книге я использовал информацию, полученную во время бесед и переписки со многими людьми. Я искренне признателен им за то, что уделили мне время.
Глава 1: Джерри Ньюпорт, Грег Роуленд, Маной Томас, Теренс Хайнс, Джим Уилки, Хусам Садиг, Сэффи Хейнс, Дэн Кинг, Том Диарден, Жер Торп, Франческа Ставракопулу, Франческа Рохберг, Ричард Вайзмен, Дэвид Маркс, Софи Скотт, Стивен Мэкник, Питер Линн, Ютака Нишияма, Роберт Шиндлер.
Глава 2: Уилл Ренни, Джайлан Ванг, Тед Хилл, Эрика Роджерс, Даррелл Доррелл, Альберт-Ласло Барабаши, Дэвид Хэнд, Уолтер Мибейн, Кристиан Фельбаум, Юре Лесковец, Джеффри Уэст, Пит Уайтлок.
Глава 3: Микалис Сиаларос, Апостолос Доксиадис, Марк Гривз, Роберт Вудолл, Джон Ки, Даррен Шеперд.
Глава 4: Рамиро Серра, Рон Дофлер, Иэн Дикерсон, Сильвия Пеццана, Арт Фриго-младший.
Глава 5: Боб Уитакер, Иван Москович, Том Армстронг, Бретт Крокетт, Джон Уитни-младший, Карл Симс.
Глава 6: Эндрю Смит, Роджер Ридсдилл Смит, Николай Мальш, Альберт Бартлетт, Тим Харфорд, Стэн Вэген.
Глава 7: Джон Баез, Дэвид Тонг, Дэйв Макин, Брайан Поллок, Клифф Пиковер, Дэниел Уайт, Орсон Ванг, Роберт Девани.
Глава 8: Питер Хопп, Билл Такер, Джон Уордли, Вернер Штенгель, Седрик Виллани, Фрэнки Диллен, Хартош Бол.
Глава 9: Алекс Пасо, Джим Холт, Норман Мегилл, Лоуренс Полсон, Натаниэль Джонстон.
Глава 10: Том Рокики, Адам Гаучер, Тим Хаттон, Пол Чэпмен, Дэйв Грин, Адам Рутерфорд, Стефани Пратер, Джин Бак, Стивен Вольфрам, Билл Госпер, Энди Адамацки, Ник Готтс, Джон Конвей, Крейг Лент, Даг Тауго.
Я считаю огромной удачей, что мои интересы представляет агентство Janklow & Nesbit. Я признателен своему агенту Ребекке Картер и ее коллегам Ребекке Фолланд, Кирсти Гордон, Линн Несбит и Клер Патерсон.
Каждый раз, когда возникала необходимость, мои друзья и члены семьи оказывали мне всяческую помощь, от моральной поддержки и уточнения математических моментов до возможности воспользоваться парижской квартирой. Хотелось бы поблагодарить в связи с этим таких людей, как Гэвин Претор-Пинней, Хью Морисон, Клифф Пиковер, Грэм Фармело, Джеймс Грайм, Колин Райт, Корделия Дженкинс, Франческа Сигал, Роджер Хайфилд и Саймон Купер. Я благодарен своим родителям Дэвиду Беллосу и Илоне Морисон за неизменную поддержку и веру. Больше всего я признателен своей жене Натали за огромный вклад в эту книгу и за счастье, которое она мне приносит.
В книге «Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в мир математики» в конце раздела с благодарностями я похвалил свою племянницу за прекрасную сдачу экзамена по математике в средней школе. Сейчас я хочу упомянуть ее имя в связи с тем, что она решила изучать математику и психологию в университете. Успехов тебе, Зара!
Предположения, уточнения, ссылки и примечания
ГЛАВА 1
[1] Каждое целое число можно разложить на единственную совокупность простых чисел. Например, число 2763 раскладывается на 3 × 3 × 307, причем только такое сочетание простых чисел дает при умножении 2763. Утверждение о том, что каждое натуральное число можно разложить на простые делители, известно как основная теорема арифметики.
[2] Самый показательный случай демонстрации арифметических вычислений человеком с синдромом гения (этим термином обозначают человека, страдающего расстройством аутического спектра и обладающего феноменальными способностями в какой-либо области) также связан с простыми числами. В книге «Человек, который принял жену за шляпу» Оливер Сакс рассказывает историю об американских близнецах Джоне и Майкле, любивших играть с шестизначными числами. Сакс пишет, что, когда близнецы обдумывали числа, они «напоминали двух знатоков вин, обнаруживших во время дегустации редкий букет и смаковавших его». Когда Сакс проверил эти числа, он увидел, что все они простые, — и решил поднять планку, предложив близнецам восьмизначное простое число. Это вдохновило близнецов, и они начали придумывать все большие простые числа. Через час они дошли до двадцатизначных чисел — но к тому времени у Сакса уже не было возможности проверить, действительно ли эти числа простые.
Алан Снайдер из Сиднейского университета убежден, что у всех людей есть ментальный механизм для выполнения вычислений, которые делают люди с синдромом гения, но из-за специфики устройства нашего мозга доступ к этому механизму при обычных условиях затруднен. С помощью экспериментов Снайдер продемонстрировал, что математическое мышление человека поддается улучшению, если воздействовать на мозг слабым электрическим током (этот метод получил название «транскраниальная микрополяризация»). Снайдер считает, что электрический ток угнетает активность нейронной системы, что, в свою очередь, высвобождает гения, живущего в каждом из нас. Хотя исследования Снайдера носят спорный характер, аналогичные результаты были получены и в других университетах.
[3] Georges Ifrah, The Universal History of Numbers, John Wiley & Sons, 2000.
[4] Винсент Хоппер. Числовая символика Средневековья. Тайный смысл и форма выражения. М. : Центрполиграф, 2014.
[5] Кроме слова odd в значении «необычный, чудаковатый», математика стала источником еще одного обозначения для человека со странностями — eccentric («эксцентричный»). Первоначально под этим словом имелась в виду орбита вокруг Земли, центр которой расположен не в той же точке, что и сама Земля.
[6] Слово odd происходит от скандинавского oddr — «острие копья». От формы копья произошло и древнеисландское слово oddi — треугольник, или полуостров. («Одди» — это также название церковной школы на севере Исландии, в которой жил в XII веке великий исландский поэт и историк Снорри Стурлусон и которая в наше время стала туристической достопримечательностью.) Именно из-за треугольника у слова odd появилось такое значение, как непарный член группы из трех человек, а затем и член любой группы. (Источники: Oxford English Dictionary, а также Анатолий Либерман, Oxford University Press, blog.oup.com/category/language-words/oxford_etymologist/.)
[7] Yutaka Nishiyama, Odd and Even Number Cultures, Mathematics for Scientists, 2005.
[8] Yutaka Nishiyama, Why 2000 notes are unpopular, Osaka Keidai Ronshu, vol. 62, No. 5, 2012.
[9] Lee C. Simmons and Robert M. Schindler, Cultural Superstitions and the Price Endings Used in Chinese Advertising, Journal of International Marketing, 2003.
[10] Terence M. Hines, An odd effect: Lengthened reaction times for judgements about odd digits, Memory & Cognition, 1990.
[11] James E. B. Wilkie and Galen V. Bodenhausen, Are numbers gendered?, Journal of Experimental Psychology: General, 2012.
[12] Дальнейшие исследования Джеймса Уилки, результаты которых еще не опубликованы, показывают, что женщины воспринимают ассоциации с числами более выраженно, чем мужчины.
[13] Винсент Хоппер. Числовая символика Средневековья. Тайный смысл и форма выражения. М. : Центрполиграф, 2014.
[14] Dan Dan King and Chris Janiszewski, The Sources and Consequences of the Fluent Processing of Numbers, Journal of Marketing Research, 2011.
[15] Manoj Thomas, Daniel H. Simon, and Vrinda Kadiyali, The Price Precision Effect: Evidence from Laboratory and Market Data, Marketing Science, 2010.
[16] Nicolas Gueguen et al., Nine-ending prices and consumers behavior: A field study in a restaurant, International Journal of Hospitality Management, 2009.
[17] William Poundstone, Priceless, Oneworld, 2010.
[18] Sybil S. Yang, Sheryl E. Kimes, and Mauro M. Sessarego, $ or Dollars: Effects of Menu-price Formats on Restaurant Checks, Cornell Hospitality Report, 2009.
[19] В ресторанах самый распространенный пример того, как столбцы чисел стимулируют покупку на основании цены, а не качества продукта, — это склонность клиентов заказывать предпоследнюю по цене бутылку вина, указанную в списке. Покупка самого дешевого вина свидетельствовала бы о скупости клиента, особенно в случае романтического ужина. Поэтому многие рестораны делают самую большую наценку именно на предпоследнюю по цене бутылку вина.
[20] Birte Englich, Thomas Mussweiler and Fritz Strack, Playing Dice With Criminal Sentences: The Influence of Irrelevant Anchors on Experts Judicial Decision Making, Personality and Social Psychology Bulletin, 2006.
[21] Мой интернет-опрос (сайт favouritenumber.net) начался в 2011 году. На титульной странице сайта было его описание, после которого следовало два предложения: «Мое любимое число — …» и «Я выбираю его, потому что…» Респонденты могли сформулировать свои ответы словами или просто назвать цифры. Результаты, о которых идет речь на страницах этой книги, получены в ходе обработки 33 516 ответов; из них 3491 ответ был неопределенным или вообще отсутствовал. К моменту сдачи книги в печать в опросе приняли участие уже 42 000 респондентов.
[22] Eviatar Zerubavel, The Seven Day Circle, Free Press, 1985.
[23] Georges Ifrah, The Universal History of Numbers, John Wiley & Sons, 2000.
[24] Michael Kubovy and Joseph Psotka, The predominance of seven and the apparent spontaneity of numerical choices, Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance, 1976.
[25] Существует всего восемь двузначных нечетных чисел от 1 до 50, состоящих из разных цифр, причем число 15 упомянуто в описании задачи, поэтому респондент вряд ли назовет его. Авторы книги The Psychology of the Psychic (Prometheus Books, 1980) Дэвид Маркс и Ричард Кэмменн разыграли этот трюк на занятии по психологии — и больше трети студентов выбрали число 37. Результаты были такими: число 37 (35 процентов), 35 (23), 17 (10), 39 (10), 19 (9), 31 (5), 13 (5), другие числа (3).
[26] Dan King and Chris Janiszewski, The Sources and Consequences of the Fluent Processing of Numbers, Journal of Marketing Research, 2011.
[27] Marisca Milikowski, Knowledge of numbers: A study of the psychological representation of the numbers 1–100, PhD thesis at the University of Amsterdam, 1995.
ГЛАВА 2
[1] Domesday Book: A Complete Translation, Penguin Classics, 2003.
[2] Simon Newcomb, Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers, American Journal of Mathematics, 1881.
[3] Frank Benford, The law of anomalous numbers, Proceedings of the American Philosophical Society, 1938.
[4]
Число
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Закон Бенфорда
30,1
17,6
12,5
9,7
7,9
6,7
5,8
5,1
4,6
Население округов
30,2
18,8
12,2
9,9
7,1
6,3
5,7
4,8
5,0
Доходы компаний
30,2
17,7
12,5
9,8
7,9
6,7
5,7
5,1
4,5
Сведения о населении округов США взяты из отчетов о результатах опроса американского общества (American Community Survey) за 2007–2011 годы. Финансовые данные — итог анализа 1,4 миллиона единиц информации из системы Compustat, выполненного Джайлан Ванг.
[5] Scott de Marchi and James T. Hamilton, Assessing the accuracy of self-reported data: an evaluation of the toxics release inventory, Journal of Risk and Uncertainty, 2006; Walter R. Mebane Jr., Fraud in the 2009 Presidential Election in Iran?, Chance, 2010; Malcolm Sambridge et al., Benford’s law in the natural sciences, Geophysical Research Letters, 2010.
[6] Miles L. Hanley, Word Index to James Joyce’s Ulysses, University of Wisconsin Press, 1953.
[7] George Kingsley Zipf, Human Behavior and the Principle of Least Effort, Addison-Wesley, 1949.
[8] Слово, которое появляется в тексте только один раз, обозначается термином «гапакс легоменон» (от древнегреческого hapax legomenon — «названный только раз»). Этот термин звучит как имя персонажа одной из историй об Астериксе или название скандинавской группы в стиле Death Metal. В издании данной книги на английском языке есть только одно такое слово.
[9] Ричард Кох. Принцип 80/20. М. : Эксмо, 2012.
[10] Fredrik Liljeros et al., The web of human sexual contacts, Nature, 2001.
[11] N. Johnson et al., From old wars to new wars and global terrorism, arXiv:physics/0506213, 2005.
[12] Joao Gama Oliveira and Albert-Laszlo Barabasi, Human dynamics: Darwin and Einstein correspondence patterns, Nature, 2005.
[13] Takashi Iba et al., Power-Law Distribution in Japanese Book Sales Market, Fourth Joint Japan-North America Mathematical Sociology Conference, 2008.
[14] Mark Buchanan, Ubiquity, Weidenfeld & Nicolson, 2000.
[15] Albert-Laszlo Barabasi, Linked, Perseus, 2002; Albert-Laszlo Barabasi, Bursts, Penguin, 2010.
[16] Michael P. H. Stumpf and Mason A. Porter, Critical Truths About Power Laws, Science, 2012; Aaron Clauset, Cosma Rohilla Shalizi, and M. E. J. Newman, Power-Law Distributions in Empirical Data, SIAM Review, 2009.
[17] В книге Discourses and Mathematical Demonstrations Relating to Two New Sciences («Беседы и математические доказательства двух новых наук») Галилей сделал следующий набросок двух костей — маленькой и тонкой, а также большой и толстой. Он писал, что у большого животного большая кость «выполняла бы ту же функцию, что и маленькая кость у маленького животного».
Компания по выпуску игрушек для собак Nylabone продает нейлоновые жевательные кости, имеющие точно такую же форму, как на представленном ниже рисунке. В компании утверждают, что эти кости (получившие название Galileo) — «самые прочные жевательные кости для собак».
[18] Melanie Mitchell, Complexity: A Guided Tour, Oxford University Press, 2009.
[19] Geoffrey B. West, James H. Brown, and Brian J. Enquist, A General Model for the Origin of Allometric Scaling Laws in Biology, Science, 1997.
[20] Luis M. A. Bettencourt et al., Growth, innovation, scaling, and the pace of life in cities, PNAS, 2007.
ГЛАВА 3
[1] Роб посетил 6177 геодезических знаков, расположенных в Великобритании, в том числе 45 полуразрушенных и 100 опрокинутых. Большинство геодезических столбов, которые Роб еще не видел, находятся на островах. Он издали видел два геодезических знака, размещенных на земле Министерства обороны, в том числе знак, установленный на территории базы обслуживания атомных подводных лодок в Кулпорте (Шотландия). Однако Робу не разрешили приблизиться к ним. Еще только четыре коллекционера смогли пройти 3000 геодезических знаков.
[2] Практические аспекты предложенного Фалесом метода измерения высоты пирамид рассматриваются в статье: Thales’ Shadow’ by Lothar Redlin, Ngo Viet and Saleem Watson, in Mathematics Magazine, 2000. В частности, авторы демонстрируют, что солнечные лучи направлены перпендикулярно грани пирамиды два раза в день только весной и летом: один раз утром и один раз вечером.
[3] Не исключено, что египтяне обладали гораздо более обширными знаниями в области математики, чем принято считать, но установить это невозможно, поскольку об этом сохранилось слишком мало информации.
[4] Carl B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley & Sons, 1968.
[5] В прошлом «две другие стороны» обозначались термином catheti (единственное число — cathetus), но в настоящее время в английском языке этот термин вышел из употребления. Однако в других языках он используется до сих пор: Kathete — в немецком языке, cateto — в испанском и португальском, катеты — в русском языке.
[6] Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, Dover, 1993.
[7] Georges Ifrah, The Universal History of Numbers, John Wiley & Sons, 2000.
[8] Самая гибкая система с использованием единичных дробей — бинарная система, в которой дроби образуются так: половина, половина половины, половина половины половины и т. д., или , , , … В этой системе любая дробь может быть записана в виде комбинации единичных дробей. В 1911 году египтолог Георг Мюллер написал, что в ходе исследований открыл невероятно живописное древнее изображение первых шести единичных дробей бинарной системы. На представленном ниже рисунке изображен символ «око Гора», каждый элемент которого соответствует одной из этих дробей: левая часть роговицы — , зрачок — , бровь — и т. д.; остальные фрагменты представляют дроби , и . Шестьдесят три возможные комбинации фрагментов «ока Гора», отличных от нуля, позволяют выразить любую дробь от до . Помимо волнующего изображения «око Гора» имеет и не менее волнующую историю: это мистический символ Гора — бога с головой сокола, глаз которого был разделен на шесть частей его дядей и впоследствии снова собран воедино. К сожалению, после целого столетия принятия в 2002 году миф о глазе Гора был развенчан Джимом Риттером, который заявил об отсутствии каких бы то ни было доказательств того, что фрагменты «ока Гора» символизируют единичные дроби. Jim Ritter, Closing the Eye of Horus: the Rise and Fall of Horus-Eye Fractions, Under One Sky: Astronomy and Mathematics in the ancient Near East, 2002.