[9] В полном виде греческая система обозначения чисел выглядела так:
α
β
γ
δ
ε
ς
ζ
η
q
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ι
κ
λ
μ
ν
ξ
ο
π
ϙ
10
20
30
40
50
60
70
80
90
ρ
σ
τ
υ
ϕ
χ
ψ
ω
ϡ
100
200
300
400
500
600
700
800
900
[10] Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 1998.
[11] John Keay, The Great Arc, HarperCollins, 2000.
ГЛАВА 4
[1] При условии, что шар не начнет вращаться.
[2] www.lds.org/locations/temple-square-salt-lake-city-tabernacle.
[3] Carl B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley & Sons, 1968.
[4] Помимо сугубо математического, слово «парабола» имеет и другое значение, поскольку древнегреческое слово parabola означает не только «бросить рядом»28, но и «сравнить». В литературе парабола — это простой короткий рассказ иносказательного характера, в котором присутствует сравнение с более сложным сюжетом. От этого значения происходит французское слово parler («разговаривать») и многие английские слова, от parliament («парламент») до parole («пароль»).
[5] Arthur Koestler, The Sleepwalkers, Hutchinson, 1959.
[6] Математическое объяснение того, почему циклы и эпициклы позволяют описать любую замкнутую непрерывную орбиту, основано на двух концепциях, о которых я часто упоминаю в этой книге: комплексные числа и ряды Фурье. Подобно тому как волну можно разложить на синусоиды, путь в комплексной плоскости можно разложить на ряд круговых вращений.
[7] Santiago Ginnobili and Christian C. Carman, Deferentes, Epiciclos y Adaptaciones, Filosofia e historia da ciencia no Cone Sul, 2008.
[8] Arthur Koestler, The Sleepwalkers, Hutchinson, 1959.
[9] Norwood Russell Hanson, Patterns of Discovery, CUP, 1961. Хэнсон начинал в качестве трубача, а во время Второй мировой войны стал летчиком-истребителем. Получив прозвище Летающий Профессор, он продолжал летать в мирное время и прославился выполнением фигур высшего пилотажа. Хэнсон погиб в возрасте 42 лет, когда его самолет разбился в штате Нью-Йорк из-за густого тумана.
[10] David Wootton, Galileo, Watcher of the Skies, Yale University Press, 2010.
[11] Stillman Drake and James MacLachlan, Galileo’s Discovery of the Parabolic Trajectory, Scientific American, 1975.
[12] Декарт использовал косоугольную систему координат, а «декартова» система координат в современном понимании (с перпендикулярными осями) была предложена впоследствии другими учеными, уточнившими его систему.
[13] A. F. Mobius, Geometrische Eigenschaften einer Factorentafel, Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 1841.
[14] Rodolphe Soreau, Nomographie; ou, Traite des abaques, Chiron, 1921; Ron Doerfler, The Lost Art of Nomography, The UMAP Journal, 2009; H. A. Evesham, Origins and Development of Nomography, Annals of the History of Computing, 1986.
[15] Martin Gardner, Mathematical Games: The Entire Collection of His Scientific American Columns, CD, 2005.
[16] J. A. Bennett, The Mathematical Science of Christopher Wren, CUP, 1982.
[17] Henry Moore and Stringed Surfaces, exhibition at the Royal Society, 2012.
ГЛАВА 5
[1] Bob Palais, π is Wrong!, The Mathematical Intelligencer, 2001.
[2] Среди исторических личностей, которые отдавали предпочтение отношению длины окружности к радиусу, был аль-Каши. Считается, что в XV столетии в Самарканде он рассчитал число π до 14 десятичных знаков, получив более точный результат, чем кто-либо еще до него. На самом деле аль-Каши вообще не рассчитывал число пи; он вычислил отношение длины окружности к радиусу до 14 десятичных знаков. В 1698 году Абрахам де Муавр использовал символ c/r для обозначения отношения длины окружности к радиусу, но оно так и не прижилось.
[3] tauday.com.
[4] Я бы даже сказал, что это четырежды уместно. Символ τ — это еще и дань уважения лауреату премии Филдса Теренсу Тао — профессору Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе.
[5] John Martin, The Helen of Geometry, The College Mathematics Journal, 2010; E. A. Whitman, Some Historical Notes on the Cycloid, American Mathematical Monthly, 1943; Martin Gardner, Mathematical Games: The Entire Collection of His Scientific American Columns, CD, 2005.
[6] Гюйгенс создал несколько маятников с циклоидными «щеками», но из-за наличия проблем (таких как трение) они работали не лучше обычного маятника. Гюйгенс нашел следующее решение: использовать обычный маятник, но с совсем небольшим размахом, поскольку при малой амплитуде полное колебание маятника остается практически неизменным.
[7] Да, у меня действительно есть и другие любимые математические головоломки, в том числе и с монетами. Вот одна из них. Возьмите шесть монет и разместите их так, как показано на рисунке слева. Ваша задача — расположить монеты по-новому в виде шестиугольника, перемещая их по одной. Кроме того, каждую монету можно передвигать только на такую позицию, в которой она будет соприкасаться с двумя другими. Не разрешается поднимать монету со стола, перемещать ее над другой монетой или убирать монеты с ее пути. Можете ли вы расположить монеты по-новому за три перемещения?
Если вы справились с задачей, попытайтесь разместить в один ряд выложенные треугольником монеты за семь движений, снова придерживаясь того правила, что монету можно передвигать только на такую позицию, в которой она будет соприкасаться с двумя другими.
В следующий раз, когда будете ждать заказ в баре и у вас под рукой окажется несколько свободных монет, попробуйте решить эту головоломку!
[8] Роберваль нарисовал синусоиду на чертеже, объясняющем, как найти площадь под циклоидой. Вряд ли он знал, что эта кривая имеет какое-то отношение к тригонометрической функции синусу.
[9] При отсутствии потерь энергии из-за трения.
[10] Robert J. Whitaker, Harmonographs. I. Pendulum design, American Journal of Physics, 2001; Robert J. Whitaker, Harmonographs. II. Circular design, American Journal of Physics, 2001.
[11] Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 1998.
[12] John Herivel, Joseph Fourier: The Man and the Physicist, Clarendon Press, 1975.
[13] I. B. Cohen, The Triumph of Numbers, W. W. Norton & Company, 2005.
[14] Ряд Фурье для любой волны записывается в виде следующей формулы:
k + a1 sin x + a2 sin 2x + a3 sin 3x + a4 sin 4x …
+ b1 cos x + b2 cos 2x + b3 cos 3x + 4 cos 4x + ...
где k — константа, a и b — амплитуды соответствующих синусоид.
ГЛАВА 6
[1] youtube.com/watch?v=F-QA2rkpBSY.
[2] Альберт Бартлетт умер 7 сентября 2013 года в возрасте 90 лет. Он прочитал свою лекцию 1742 раза.
[3] Gideon Keren, Cultural differences in the misperception of exponential growth, Perception & Psychophysics, 1983.
[4] Daniel Kahneman and Amos Tversky, Availability: A heuristic for judging frequency and probability, Cognitive Psychology, 1973.
[5] Eli Maor, e: The Story of a Number, Princeton University Press, 1994.
[6] J. E. Hofmann, from the biography of Jakob Bernoulli in the Dictionary of Scientific Biography, Scribner, 1970.
[7] William Dunham, Journey Through Genius, Penguin, 1991.
[8] Santiago Huerta, Structural Design in the Work of Gaudi, Architectural Science Review, 2006.
[9] Ed Sandifer, How Euler Did It’, MAA Online, 2004.
[10] Arthur Koestler, The Sleepwalkers, Hutchinson, 1959.
[11] Martin Gardner, Mathematical Games: The Entire Collection of His Scientific American Columns, CD, 2005.
[12] Было изучено много разных вариантов этой задачи, в частности как изменится вероятность в случае, если человек, проводящий собеседование, сможет повторно назначать его некоторым кандидатам, или как наем первого же кандидата позволит сэкономить деньги. Даррен Гласс проанализировал задачу о выборе секретаря с точки зрения кандидата на должность (см. статью Darren Glass examined The Secretary Problem from the Applicant’s Point of View, in The College Mathematics Journal, 2012). Если количество кандидатов не менее девяти, то лучше всего приходить на собеседование последним. Но в этом случае не остается возможности исправить ошибку. «Приход на собеседование последним обеспечивает максимальный шанс получить работу, но если вы окажетесь предпоследним, то такая вероятность становится самой низкой, — пишет Гласс. — Студентам, выходящим на рынок труда, следует вкладывать всю свою энергию в улучшение резюме, а не в создание стратегии выбора оптимального момента для собеседования».
[13] Борис Березовский умер 23 марта 2013 года в возрасте 67 лет.
[14] Theodore Hill, Knowing When to Stop, American Scientist, 2009.
ГЛАВА 7
[1] «Cool Cash» card confusion, Manchester Evening News, 2007.
[2] Georges Ifrah, The Universal History of Numbers, John Wiley & Sons, 2000.
[3] Абсурдное число (numeri absurdi) не следует путать с термином surd, обозначающим иррациональное число, то есть число, которое не может быть представлено в виде отношения двух целых чисел. Древние греки использовали для обозначения иррациональных чисел слово alogos, что означало «нет соотношения». Однако это слово означало также «не говорящий», что арабы перевели как assam, или «глухой». В латинских текстах употреблялось слово surdus, прямой перевод слова «глухой» с арабского. Вот так получилось, что иррациональные числа стали «глухими» числами, или surds.
[13] Борис Березовский умер 23 марта 2013 года в возрасте 67 лет.
[14] Theodore Hill, Knowing When to Stop, American Scientist, 2009.
ГЛАВА 7
[1] «Cool Cash» card confusion, Manchester Evening News, 2007.
[2] Georges Ifrah, The Universal History of Numbers, John Wiley & Sons, 2000.
[3] Абсурдное число (numeri absurdi) не следует путать с термином surd, обозначающим иррациональное число, то есть число, которое не может быть представлено в виде отношения двух целых чисел. Древние греки использовали для обозначения иррациональных чисел слово alogos, что означало «нет соотношения». Однако это слово означало также «не говорящий», что арабы перевели как assam, или «глухой». В латинских текстах употреблялось слово surdus, прямой перевод слова «глухой» с арабского. Вот так получилось, что иррациональные числа стали «глухими» числами, или surds.
[4] Martin Gardner, Mathematical Games: The Entire Collection of His Scientific American Columns, CD, 2005.
[5] Alberto A. Martínez, Negative Math, Princeton University Press, 2006.
[6] William Frend, The Principles of Algebra, G. G. and J. Robinson, 1796. В книге был разрешен знак минус, но запрещалось, чтобы неизвестные величины (которые могли обозначать нечто реальное) принимали отрицательные значения.
Френда больше всего помнят как социального реформатора и радикала. После получившего широкую огласку разбирательства его исключили из Кембриджа за обвинения в адрес англиканской церкви. Среди последователей Френда был Сэмюел Тэйлор Кольридж. Дочь Френда София (которая вышла замуж за выдающегося математика Огастеса де Моргана) писала о своем отце, что «возможно, именно ясность и прямота мышления повлекли за собой его математическую ересь, отказ от использования отрицательных величин в алгебраических операциях», прибавив, что «по всей вероятности, этим он лишил себя того инструмента работы, применение которого могло привести его к значительным достижениям в более высоких областях науки».
[7] Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, Princeton University Press, 1998.
[8] Эйлер первым обозначил √–1 символом i, но он использовал его всего один раз, в научной статье, которая была опубликована через 11 лет после его смерти. Другие ученые начали систематически использовать символ i только после того, как в 1801 году его принял Гаусс.
[9] Еще одно решение уравнения x2 = i выглядит так:
что обратно решению, приведенному в тексте.
[10] Ed Leibowitz, The Accidental Ecoterrorist, Los Angeles Magazine, 2005.
[11] Джеймс Томсон, с которым мы встретимся в главе 8, ввел термин «радиан» в 1873 году, хотя сама концепция была известна к тому времени уже полтора столетия.
[12] Волновое уравнение Шредингера выглядит так:
где i = √–1, ћ — приведенная константа Планка, Ψ — волновая функция квантовой системы, Ĥ — оператор Гамильтона.
[13] Melanie Bayley, Algebra in Wonderland, The New York Times, 2010.
[14] John C. Baez and John Huerta, The Strangest Numbers in String Theory, Scientific American, 2011.
[15] Bertrand Russell, The Study of Mathematics, Mysticism and Logic: And Other Essays, Longman, 1919. Бертран Рассел — единственный математик мирового уровня, получивший Нобелевскую премию по литературе. Однако диплом по математике был и у Александра Солженицына (Нобелевская премия за 1970 год), и у Джона Максвелла Кутси (2003 год).
[16] Дэйв Болл публиковал свои статьи не в журнале, а на форуме, посвященном фракталам: groups.google.com/forum/?hl=en#!topic/sci.math/jHYDf-Tm0-8.
ГЛАВА 8
[1] В 2001 году правительство Норвегии учредило ежегодную Абелевскую премию, названную в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля (1802–1829). Ее денежный размер составляет около 1 миллиона долларов. Хотя эта премия аналогична Нобелевской по размеру и скандинавскому происхождению, она пока не заслужила такой репутации, как Филдсовская премия.
[2] gowers.wordpress.com.
[3] Plutarch, Life of Marcellus, цитируется по материалам онлайнового архива истории математики MacTutor.
[4] Carl B. Boyer, The History of the Calculus and Its Conceptual Development, Dover, 1959.
Большой треугольник строится таким образом, чтобы касательная, проведенная в его нижней вершине, была параллельна исходной прямой. Точно так же при построении каждого нового треугольника его вершина размещается так, чтобы касательная в этой точке была параллельна противоположной стороне.
[5] Ernst Sondheimer and Alan Rogerson, Numbers and Infinity, Dover, 2006.
[6] James Gleick, Isaac Newton, Harper Perennial, 2003.
[7] Ian Stewart, 17 Equations that Changed the World, Profile Books, 2012; Charles Seife, Zero, Souvenir Press, 2000.
[8] A. Rupert Hall, Philosophers at War, Cambridge University Press, 2002.
[9] Augustus De Morgan, A Budget of Paradoxes, 1872.
[10] Функция f(t, x, v) — это функция плотности вероятностей, которая определяет вероятность того, что частица окажется рядом с х при скорости v в момент времени t. Символом ∇ обозначается градиент, но применительно к нескольким переменным. Cédric Villani, Théorème vivant, Grasset, 2012.
[11] The Railroad Gazette (now Railway Age), 1880, цитируется по изданию: Halsey G. Brown, The History of the Derivation of the AREMA Spiral, arema.org.
[12] Клотоида — это кривая, кривизна которой пропорциональна длине. В алгебраической форме это можно записать так: кривизна = ks, где k — произвольная константа, s — расстояние вдоль кривой от начала координат. Бельгийский математик Фрэнки Диллен создал целый новый класс спиралей, рассчитывая их кривизну по формуле, представляющей собой многочлен с переменной s. (Многочлен, или полином, — это выражение, состоящее из переменных и степеней переменных, в котором используются только операции сложения, вычитания и умножения.) Диллен назвал эти кривые «полиномными спиралями». Они очень красивы; одна из любимых кривых Диллена — так называемая спираль Пикассо.
Кривизна = 10 (−45 + 51s −18s2 + 2s3)
[13] Joe Moran, On Roads, Profile Books, 2009.
[14] Robert Cartmell, The Incredible Scream Machine, Amusement Park Books, 1987; Chemin de Fer Aerien, La Nature, 1903.
Прежде чем открыть для публики аттракцион с мертвой петлей, было проведено три испытания: первое — с обезьянами в качестве пассажиров, второе — с грузом тяжелее веса крупного человека и третье — с участием акробата.
[15] George Berkeley, The Analyst: Or, a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician, 1734.
ГЛАВА 9
[1] Steven G. Krantz, The Proof is in the Pudding, Springer, 2011.
[2] Martin Gardner, Mathematical Games: The Entire Collection of His Scientific American Columns, CD, 2005.
[3] Львов (укр. Львів) находится сейчас на территории Украины.
[4] В период написания книги лучшими кандидатами на звание самого скучного числа было число 224, которое являлось в то время наименьшим числом, не имеющим своей страницы в «Википедии», и 14 228, наименьшее число, которого не было в онлайновой Энциклопедии целочисленных последовательностей (Encyclopedia of Integer Sequences). Но поскольку об этих числах написано здесь, они стали интересными.
[5] Если количество точек на линии окружности равно n, то количество секторов рассчитывается по формуле
[6] В отличие от Фреге, некоторые специалисты по философии математики считают, что утверждение «отрицание отрицания утверждения А есть утверждение А» содержит глубокое противоречие.
[7] Douglas R. Hofstadter, Metamagical Themas, Basic Books, 1996.
[8] Martin Gardner, Logical Paradoxes, The Antioch Review, 1963.
[9] John Allen Paulos, I Think, Therefore I Laugh, Penguin, 2000.
[10] Одна из главных целей теории множеств состояла в том, чтобы доказать полноту математики. Другими словами, чтобы доказать, что, если теорема истинна, значит, она доказуема в рамках данной системы. Однако в 1931 году Курт Гедель доказал, что на самом деле это не так: в любой системе, достаточно мощной, чтобы включать в себя арифметику, обязательно найдутся утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Работа Геделя оказала существенное влияние на математическую философию, поскольку ограничила сферу действия логики в качестве основы для математики.
[11] Николя Бурбаки. Теория множеств. М. : Либроком, 2010. Интересно то, что Бурбаки ни разу не упоминает имя Курта Геделя (см. предыдущее примечание).
[12] Полдавия (фр. Poldèvie) — это шуточная страна, придуманная в 1929 году одним французским журналистом с правыми убеждениями и упомянутая в письме членам парламента левого крыла, в котором он от имени угнетенного народа Полдавии просит их вмешаться. После того как группа Бурбаки сделала Полдавию своей родиной, эта шутка начала часто появляться в работе нескольких французских писателей послевоенного периода. Профессор французского языка и литературы Принстонского университета и отец автора этой книги Дэвид Беллос сказал, что это «редкий пример того, как математический юмор стал темой литературных произведений».
[13] Maurice Mashaal, Bourbaki, American Mathematical Society, 2006.