Для проверки качества этой статистической модели посмотрим, во-первых, как изменяется с увеличением лага автокорреляция и частная автокорреляция в остатках, во-вторых, насколько соответствуют фактические значения коррелограммы остатков их теоретическим значениям. Судя по рис. 7.5, по мере роста величины лага уровень автокорреляции постепенно снижается, асимптотически стремясь к нулю, а частная автокорреляция упала почти до нуля уже со второго лага. Если сравнить фактический уровень автокорреляции и частной автокорреляции (нижние вертикальные линии) с их теоретическими значениями (верхняя линия), то можно заметить, что они в основном совпадают. Вместе с тем следует отметить, что фактический уровень автокорреляции после пятого лага заметно ниже ее теоретического уровня, а фактический уровень частной автокорреляции после 10-го лага в некоторых случаях выше теоретического нулевого уровня.
Как и коррелограмма, тестирование на импульсный ответ ARMA-структуры модели USDOLLAR = с + а × USDOLLAR(-l) также показало ее стационарность. Рисунок 7.6 показывает, что величина импульсного ответа по мере увеличения периодов тестирования на внешние шоки (инновационную неопределенность) асимптотически стремится к нулю. Если проанализировать динамику накопленного импульсного ответа, то по мере увеличения периодов тестирования его величина стабилизируется на определенном уровне, что также свидетельствует о стационарности построенной статистической модели. Правда, происходит это довольно медленно, поэтому, чтобы наглядно продемонстрировать последнюю тенденцию, пришлось увеличить время тестирования до 200 периодов.
Убедившись в адекватности статистической модели USDOLLAR = с + а × USDOLLAR(-l), составим с ее помощью прогноз с упреждением в одну неделю на 27 июля 2010 г. При этом используем данные по курсу доллара, взятые с интервалом в одну неделю (на конец этого периода) с 1 октября 1998 г. по 20 июня 2010 г. Согласно полученному точечному прогнозу, курс доллара на 27 июля 2010 г. должен был равняться 30,55 руб., хотя в действительности американская валюта в этот день стоила 30,30 руб., т. е. ее курс отклонился на 25 коп. Таким образом, прогноз курса американской валюты оказался точным при интервальном прогнозе, составленном с 50 %-ным уровнем надежности.
Полученная в результате составления прогноза средняя ошибка индивидуального прогнозного значения курса доллара оказалась равна 0,3689 руб. Ее мы применили для формирования рекомендуемых цен покупки и продажи, воспользовавшись алгоритмом действий № 24. Для расчета рекомендуемых цен покупки и продажи в качестве среднего значения при нормальном распределении был взят фактический курс доллара от 17 июля 2010 г., равный 30,46 руб., т. е. его последнее значение перед началом инвестиционного периода, начавшегося с 20 июля и закончившегося 27 июля 2010 г. Рассчитанные нами рекомендуемые цены продажи и покупки представлены в табл. 7.16.
Прежде чем перейти к тестированию по рыночным данным эффективности рекомендуемых цен покупки и продажи, необходимо сначала убедиться в их обоснованности. Это означает, что нужно рассмотреть, какая доля цен покупки или продажи, рассчитанных по указанной методике, в действительности оказалась ниже (или выше) фактического курса доллара в конце месяца.
С этой целью мы рассчитали рекомендуемые курсы покупки и продажи доллара не только на период с 20 июля по 27 июля 2010 г., но и на весь период с 1 октября 1998 г. по 20 июля 2010 г., а затем сопоставили отклонения рекомендуемых цен от заданного уровня надежности. В таблице 7.17 показан фактический риск того, что рекомендуемая цена продажи валюты, вычисленная с определенным уровнем надежности, в действительности может оказаться ниже курса доллара на конец инвестиционного периода (конец недели). Из этой таблицы можно сделать вывод, что вероятность удачной сделки при продаже доллара по ценам, рассчитанным с 95 %-ным уровнем надежности и при более низких уровнях надежности, выше заданного уровня надежности. Причем при 60 %-ном уровне надежности эта положительная разница достигает своего максимума — 16,8 процентного пункта. Правда, при продаже доллара с 99 % — ным уровнем надежности вероятность удачной сделки несколько ниже установленного уровня надежности.
В таблице 7.18 показан фактический риск того, что рекомендуемая цена покупки валюты, вычисленная с определенным уровнем надежности, в действительности может оказаться выше курса доллара на конец инвестиционного периода (в конце недели). Судя по этой таблице, фактическая вероятность удачной сделки оказалась выше установленного уровня надежности. Правда, при 99 %-ном уровне надежности эта положительная разница оказалась весьма незначительной, в то время как при более низких уровнях надежности фактическая вероятность удачной сделки быстро нарастает. Причем при 70 %-ном уровне надежности эта положительная разница в пользу фактической вероятности удачной сделки достигает своего максимума — 19,0 процентных пунктов.
Сравнив табл. 7.17 и 7.18, легко заметить, что вероятность удачной сделки при покупке доллара несколько выше, чем при его продаже, за исключением 60 %-ного уровня надежности, где она, напротив, несколько меньше. Теперь проверим, насколько эффективным могло быть использование рассчитанных нами цен покупки и продажи в ходе торгов на валютном рынке с 20 июля по 27 июля 2010 г.
Поскольку 20 июля курс доллара значительно вырос (рис. 7.7), то первым в торгах смог участвовать инвестор, установивший цену продажи доллара с 60 %-ным уровнем надежности. Однако затем американская валюта стала преимущественно падать, поэтому на рынок смог выйти игрок, планировавший купить доллар по цене с 60 %-ным уровнем надежности.
В таблице 7.19 представлены итоги валютных торгов за период с 20 июля по 27 июля 2010 г. для инвесторов, установивших цены покупки или продажи доллара с разными уровнями надежности. Судя по этой таблице, положительную курсовую доходность в размере 0,37 % по итогам недельного инвестиционного периода получил инвестор, установивший цену продажи доллара с 60 %-ным уровнем надежности, в то время как инвестор, установивший цену покупки доллара с 60 %-ным уровнем надежности, еще не успел заработать на своей покупке, поскольку приобрел валюту в последний день инвестиционного периода. В свою очередь инвестор, придерживавшийся стратегии «купил и держи», понес убытки в размере 0,53 %. Заметим, что фактическая вероятность удачной сделки для инвестора, придерживавшегося этой стратегии, по нашим подсчетам, за период с 1 октября 1998 г. по 20 июля 2010 г. составила 48,5 % (из 612 сделок 297 были удачными, если вести подсчет доходности на конец каждого инвестиционного периода).
7.4. Использование в торговле модели для прогнозирования курса евро к доллару с упреждением в один день
До сих пор мы делали прогнозы относительно курса доллара к рублю. А теперь попробуем оценить, насколько эффективно будет использование в торгах статистической модели, по которой можно делать прогноз по курсу евро к доллару с упреждением в один день. На основе базы данных по курсу евро к доллару, взятых с интервалом в один день (цена закрытия) с 5 января 1999 г. по 13 сентября 2010 г., нами была построена прогностическая модель, по которой можно делать прогнозы с упреждением в один день. Поскольку ARM А-структура статистической модели, полученная по исходному временному ряду, оказалась нестационарной, мы решили построить ее на основе логарифмического временнoго ряда. Данные по итогам решения уравнения регрессии, полученного из логарифмированного временнoго ряда, можно увидеть в табл. 7.20. Поскольку коэффициент а получился меньше единицы (хотя эта разница и незначительна), то можно говорить о стационарной ARMA-структуре этой модели.
Подставив в log(EURUSD) = а × log(EURUSD(-l)) коэффициенты из табл. 7.20, получим следующую формулу:
log(EURUSD) = 0,9996 × log(EURUSD(-l)), (7.5)
где EURUSD, EURUSD(-l) — переменные, обозначающие текущий курс евро к доллару и курс евро к доллару с лагом в один день.
Однако интерпретация формулы (7.5) не столь очевидна, поскольку она относится к логарифмическому ряду. Поэтому с помощью потенцирования этой формулы можно перейти от логарифмов к исходному временному ряду, как мы это уже делали при преобразовании формулы (6.5) в формулу (6.6). В результате исходная линейная функция (7.5), решенная относительно логарифмического временнoго ряда, станет степенной функцией, которую можно применять относительно исходного временнoго ряда:
EURUSD = EURUSD(-1)^0,9996. (7.6)
При этом интерпретация формулы (7.6) будет следующей: в период с 5 января 1999 г. по 13 сентября 2010 г. рост на 1 % курса евро к доллару в предыдущем торговом дне в среднем способствовал повышению курса евро к доллару в следующем торговом дне на 0,9996 %.
EURUSD = EURUSD(-1)^0,9996. (7.6)
При этом интерпретация формулы (7.6) будет следующей: в период с 5 января 1999 г. по 13 сентября 2010 г. рост на 1 % курса евро к доллару в предыдущем торговом дне в среднем способствовал повышению курса евро к доллару в следующем торговом дне на 0,9996 %.
Далее оценим точность полученной статистической модели (см. алгоритм действий № 8 «Как оценить точность статистической модели в EViews»), поместив результаты этой оценки в табл. 7.21. Судя по этой таблице, среднее отклонение по модулю курса евро к доллару от его прогноза за весь период составило лишь 0,58 цента, а среднее отклонение по модулю в процентах равняется 0,50 %.
Теперь посмотрим, является ли стационарным логарифмический временной ряд, на основе которого построена наша статистическая модель. С этой целью проведем тестирование логарифмического временного ряда с помощью расширенного теста Дикки — Фуллера (табл. 7.22). При этом уровень значимости (Prob.*) одностороннего t-критерия получился равным 0,2908, а потому нулевая гипотеза о нестационарности логарифмического временного ряда не отвергается.
Таким образом, мы получили статистическую модель со стационарной ARMA-структурой, построенной на основе нестационарного логарифмического временнoго ряда. Посмотрим, получим ли мы в результате стационарные остатки, что весьма важно для получения надежных прогнозов. С этой целью проведем с помощью расширенного теста Дикки — Фуллера тестирование остатков, полученных после решения уравнения регрессии log(EURUSD) = а × log(EURUSD(-l)). Судя по табл. 7.23, можно сделать вывод, что мы получили стационарные остатки, поскольку уровень значимости теста (Prob.) оказался равен нулю.
Для проверки качества модели log(EURUSD) = а × log(EURUSD(-l)) посмотрим, во-первых, как изменяется с увеличением лага автокорреляция и частная автокорреляция в остатках, во-вторых, насколько соответствуют фактические значения коррелограммы остатков их теоретическим значениям. Судя по рис. 7.8, по мере роста величины лага уровень автокорреляции постепенно снижается, асимптотически стремясь к нулю, а частная автокорреляция падает почти до нуля, начиная со 2-го лага. Правда, при этом фактический уровень автокорреляции (нижние вертикальные линии) падает гораздо быстрее его теоретических значений (верхняя пологая точечная линия). Что же касается динамики фактического уровня частной автокорреляции (вертикальные линии), то она практически совпадает с его теоретическими значениями (верхняя точечная линия).
Тестирование на импульсный ответ ARMA-структуры модели log(EURUSD) = а × log(EURUSD(-l)) хотя и показало ее стационарность, однако вместе с тем выявило тот факт, что для достижения стабильности модели требуется весьма длительное тестовое время. Как хорошо видно из рис. 7.9, величина импульсного ответа и величина накопленного импульсного ответа по мере увеличения периодов тестирования на внешние шоки (инновационную неопределенность) асимптотически стремятся: первая — к нулю, а вторая — к определенному пределу. Однако, чтобы показать на рисунке обе эти тенденции, мы были вынуждены увеличить время тестирования до 5000 периодов.
Убедившись, что статистическая модель log(EURUSD) = а × log(EURUSD(-l)) в целом адекватна, составим с ее помощью прогноз с упреждением в один день на 14 сентября 2010 г. При этом используются данные курса евро к доллару, взятые с интервалом в один день (цена закрытия) с 5 января 1999 г. по 13 сентября 2010 г. Согласно полученному точечному прогнозу, курс евро на 14 сентября 2010 г. должен был равняться 1,2800 дол., хотя в действительности единая европейская валюта в этот день стоила 1,2850 дол., т. е. ее курс отклонился на 0,5 цента. Таким образом, прогноз курса евро к доллару оказался точным при интервальном прогнозе, составленном с 50 %-ным уровнем надежности.
Полученная в результате составления прогноза средняя ошибка индивидуального прогнозного значения курса евро оказалась равна 0,0085, дол., или 0,85 цента. Ее мы использовали для составления рекомендуемых цен покупки и продажи, воспользовавшись алгоритмом действий № 24. При этом для расчета рекомендуемых цен покупки и продажи в качестве среднего значения для нормального распределения был взят фактический курс евро на конец 13 сентября 2010 г. (точнее сказать, на 24 часа по GMT, т. е. на 24 часа по Гринвичу), равный 1,2997 дол.
На основе этих данных мы составили рекомендуемые цены покупки и продажи евро относительно к доллару на 14 сентября, при этом торги велись с интервалом в один час по ценам открытия. Рассчитанные нами рекомендуемые цены продажи и покупки представлены в табл. 7.24.
Прежде чем перейти к тестированию по рыночным данным эффективности рекомендуемых цен покупки и продажи, необходимо сначала убедиться в их обоснованности. Нужно посмотреть, какая доля цен покупки или продажи, рассчитанных по этой методике, оказалась ниже (или выше) фактического курса евро к доллару в конце торгового дня.
С этой целью мы рассчитали рекомендуемые курсы покупки и продажи евро за период с 5 января 1999 г. по 13 сентября 2010 г., а затем отклонения рекомендуемых цен от заданного уровня надежности. В таблице 7.25 показан фактический риск того, что рекомендуемая цена продажи единой европейской валюты, вычисленная с определенным уровнем надежности, в действительности может оказаться ниже курса евро к доллару на конец торгового дня (цена закрытия).
Из таблицы 7.25 можно сделать вывод, что вероятность удачной сделки при продаже евро по ценам, рассчитанным с 95 %-ным уровнем надежности и при более низких уровнях надежности, выше заданного уровня надежности. При 60 %-ном уровне надежности эта положительная разница достигает своего максимума — 4,1 процентного пункта. Правда, при продаже евро с 99 %-ным уровнем надежности вероятность удачной сделки чуть ниже установленного уровня надежности.
Всего проведено 2996 наблюдений.
В таблице 7.26 показан фактический риск того, что рекомендуемая цена покупки евровалюты, вычисленная с определенным уровнем надежности, в действительности может оказаться выше ее курса на конец торгового дня. Судя по этой таблице, фактическая вероятность удачной сделки оказалась выше установленного уровня надежности при 95 %-ном и более низких уровнях надежности. Причем при 70 %-ном уровне надежности эта положительная разница в пользу фактической вероятности удачной сделки достигает своего максимума — 4,3 процентного пункта. Правда, при 99 %-ном уровне фактический уровень надежности оказался немного ниже заданного уровня надежности.
Сравнив табл. 7.25 и 7.26, нетрудно прийти к выводу, что вероятности удачной сделки как при покупке, так и при продаже евро относительно доллара друг от друга практически не отличаются. В то время как вероятность удачной сделки при покупке доллара на рубли, как правило, несколько выше, чем при его продаже. Очевидно, это объясняется тем, что уровень инфляции в США и странах еврозоны является вполне сопоставимым, а также гораздо меньшим вмешательством Федеральной резервной системы США и Европейского центрального банка (по сравнению с Банком России) в процесс регулирования курса своих валют.
Поскольку 14 сентября с нуля часов до трех часов утра по Гринвичу курс евро к доллару довольно устойчиво рос, то первым в торгах смог участвовать инвестор, установивший цену продажи евро с 60 %-ным уровнем надежности, который продал евро по курсу 1,3021 дол. Однако затем тренд на рынке изменился, и курс евро стал снижаться. Причем в 7 часов утра курс евро настолько резко понизился, что его смогли приобрести инвесторы, установившие цену покупки евро с 60 %-ными, 70 %-ными, 80 %-ными и 90 %-ными уровнями надежности, которые приобрели евровалюту по курсу 1,2886 дол. (рис. 7.10).
Судя по таблице 7.27, по результатам торгов в паре «евро — доллар», состоявшихся 14 сентября, наиболее высокую доходность получили инвесторы, установившие цену покупки евро с 60 %-ными, 70 %-ными, 80 %-ными и 90 %-ными уровнями надежности, — 0,78 %. В то время как инвестор, установивший цену продажи евро с 60 %-ным уровнем надежности, получил лишь 0,18 %. В свою очередь инвестор, придерживавшийся стратегии «купил и держи», понес убытки в размере 0,08 %. При этом фактическая вероятность удачной сделки для инвестора, придерживавшегося этой стратегии, по нашим подсчетам, за период с 5 января 1999 г. по 13 сентября 2010 г. составила 49,9 % (из 2996 торговых дней удачными оказались лишь 1495 дней).
Контрольные вопросы и задания1. Какую роль играет точечный прогноз при разработке стоп-заявок? Как точечный прогноз можно пересматривать по итогам последних торгов? Назовите плюсы и минусы такого пересмотра прогноза.