Оптимальными для валютной торговли являются цены покупки или продажи, установленные в диапазоне от 60 до 90 % уровня надежности, поскольку при дальнейшем снижении уровня надежности у инвестора начинает резко падать вероятность удачной сделки, а при превышении 90 %-ного уровня надежности значительно вырастает риск упущенной прибыли, в то время как вероятность удачной сделки повышается не столь существенно.
Теперь проверим, насколько эффективным могло быть использование рассчитанных нами цен покупки и продажи в ходе торгов на валютном рынке в августе 2010 г. Поскольку до 10 августа в динамике курса доллара преобладал падающий тренд (рис. 7.1), то первым в торгах смог поучаствовать инвестор (сделка была совершена 4 августа), установивший цену покупки с 60 %-ным уровнем надежности. Однако начиная с 11 августа американская валюта начала устойчиво расти, поэтому на рынок стали выходить игроки, планировавшие продать доллар. В результате 13 августа сделку совершил инвестор, установивший цену продажи с 60 %-ным уровнем надежности, 24 августа — инвестор, установивший цену продажи с 70 %-ным уровнем надежности, с 26 августа — инвестор, установивший цену продажи с 80 %-ным уровнем надежности. Вместе с тем инвестор, установивший цену продажи с 90 %-ным уровнем надежности, на рынок выйти не смог, поскольку курс доллара не вырос до этого уровня. Тем более не смогли участвовать в торгах (из-за отсутствия ожидаемого тренда) инвесторы, установившие цену покупки с 70 %-ным, 80 %-ным и 90 %-ным уровнями надежности.
В таблице 7.5 представлены итоги валютных торгов за период с 1 августа по 31 августа 2010 г. для инвесторов, установивших цены покупки или продажи доллара с разными уровнями надежности. Судя по этой таблице, наиболее высокую курсовую доходность в размере 2,35 % по итогам августа получил инвестор, установивший цену продажи доллара с 80 %-ным уровнем надежности. На втором месте по этому показателю (с 2,32 %-ной доходностью) инвестор, установивший цену покупки с 60 %-ным уровнем надежности. Очевидно, что курсовая доходность у последнего инвестора была обеспечена за счет большего риска, однако поскольку тренд на рынке изменился в сторону роста, то этот риск оказался оправданным.
На третьем месте оказался инвестор, придерживавшийся консервативной стратегии «купил и держи», доходность которой в конце месяца составила 1,58 %. Кстати, фактическая вероятность удачной сделки для инвестора, всегда придерживавшегося этой стратегии, по нашим подсчетам, за период с октября 1998 г. по август 2010 г. равна 55,2 % (подсчет велся на конец каждого инвестиционного периода). Как видим, последняя цифра свидетельствует в пользу того, что американская валюта чаще растет, чем падает. Для справки заметим, что фактическая вероятность удачной сделки для инвестора, установившего цену покупки доллара с 60 %-ным уровнем надежности, за этот же период оказалась существенно выше — 73,2 %.
В большей части книги рассматривались статистические модели, делающие прогноз по курсу доллара с упреждением в один месяц, однако теперь перейдем к моделям, которые будут прогнозировать с упреждением в две недели, одну неделю и один день. Причем прогноз будет делаться не только по курсу доллара к рублю, но по и курсу евро к доллару. Нужно сразу отметить, что при переходе к прогнозированию с меньшим сроком упреждения точность наших моделей существенно повысится. И это вполне понятно с точки зрения здравого смысла, а с математической точки зрения объясняется следующим образом. Для оценки тесноты и направления связи между переменными одного временного ряда с определенным лагом используется автоковариация, которая находится по формуле (1.3)
Однако, как в свое время писал специалист по теории вероятностей и случайным процессам А А. Свешников: «… при достаточно большом значении интервала времени T = t1 — t2 отклонение ординаты случайной функции от ее математического ожидания в момент времени t2 становится практически независимым от значения этого отклонения в момент времени t1. В этом случае функция Cov, дающая значение корреляционного момента между Х(t1) и X(t2), при T → ∞ будет стремиться к нулю»[19].
Вполне очевидно, что в том случае, когда T → 0, величина отклонения переменной X(t) от ее математического ожидания в момент времени Остановится все более зависимой от значения этого отклонения в момент времени t — Т. Иначе говоря, корреляция между лаговыми переменными возрастает, а когда в авторегрессионной модели значение T = t1 — t2 становится равным нулю, то вместо двух лаговых переменных мы получим лишь одну переменную X(t), по которой, правда, будет невозможно прогнозировать.
7.2. Использование в торговле модели для прогнозирования курса доллара к рублю с упреждением в две недели
Теперь посмотрим, какие результаты может дать расчет цен покупки и продажи валюты для двухнедельного инвестиционного периода. С этой целью построим статистическую модель, по которой можно делать прогноз по курсу доллара к рублю с упреждением в две недели. Полный список действий, которые необходимо выполнить при разработке такой модели, можно найти в главе 6 (см. алгоритм действий № 22 «Перечень действий, необходимых для построения статистической модели, представляющей собой уравнения авторегрессии (AR) или уравнения авторегрессии со скользящей средней (ARMA)»). Однако на подробном описании этих действий мы сейчас не будем останавливаться, поскольку с методикой построения статистических моделей наш читатель уже знаком, поэтому здесь дадим только краткую характеристику этой модели, а также остановимся на наиболее интересных моментах, связанных с ее разработкой.
На основе базы данных по курсу доллара, взятых с интервалом в две недели (на конец периода) с октября 1998 г. по июнь 2010 г., была построена прогностическая модель, по которой можно делать прогнозы с упреждением в две недели. Вывод данных по итогам решения уравнения регрессии можно увидеть в табл. 7.6.
Подставив в USDOLLAR = с + а × USDOLLAR(-l) — b × USDOLLAR(-2) значения коэффициентов из табл. 7.6, получим следующую формулу:
USDOLLAR = 1,2002 + 1,1429 × USDOLLAR(-l) — 0,1842 × USDOLLAR(-2), (7.3)
где USDOLLAR, USDOLLAR(-l), USDOLLAR(-2) — переменные, обозначающие текущий курс доллара, курс доллара с лагом в две недели и лагом в четыре недели.
Интерпретация уравнения (7.3) следующая: в период с октября 1998 г. по июнь 2010 г. рост на 1 руб. курса доллара с лагом в две недели в среднем приводил к повышению прогнозируемого курса доллара на 1,1429 руб.; в свою очередь рост курса доллара с лагом в четыре недели в среднем приводил к снижению прогнозируемого курса доллара на 0,1842 руб.; при исходном уровне курса доллара, равном 1,2002 руб.
Далее оценим точность полученной статистической модели (см. алгоритм действий № 8 «Как оценить точность статистической модели в EViews»), поместив полученные данные в табл. 7.7. Судя по этой таблице, среднее отклонение по модулю курса доллара от его прогноза за весь период составило всего лишь 28,9 коп., а среднее отклонение по модулю в процентах равняется 1,07 %.
Для сравнения напомним, что у стационарной модели log(USDollar) = с + b × log(USDollar(-1)) + МА(1) с оптимизированным временным рядом, делающей прогнозы с упреждением в один месяц, среднее отклонение по модулю курса доллара от его прогноза оказалось равно 41,5 коп., а среднее отклонение по модулю в процентах — 1,53 % (см. табл. 6.23).
Поскольку исходный уровень временнoго ряда оказался стационарным, то при построении статистической модели USDOLLAR = с + а × USDOLLAR(-l) — b × USDOLLAR(-2) мы не стали переходить к логарифмическому временному ряду. О стационарности исходного временного ряда свидетельствуют итоги тестирования исходного временного ряда на стационарность с помощью расширенного теста Дикки — Фуллера (табл. 7.8). Поскольку в результате нам удалось получить уровень значимости (Prob.*) одностороннего t-критерия (t-Statistic), равный нулю, то, следовательно, нулевая гипотеза о нестационарности исходного временного ряда отвергается и принимается альтернативная гипотеза о его стационарности.
Чтобы проверить качество полученной статистической стационарной модели, посмотрим, во-первых, как изменяются с увеличением лага автокорреляция и частная автокорреляция в остатках; во-вторых, насколько соответствуют фактические значения коррелограммы остатков их теоретическим значениям. Судя по рис. 7.2, по мере роста величины лага уровень автокорреляции постепенно снижается, асимптотически стремясь к нулю, а частная автокорреляция упала почти до нуля уже со второго лага. Если сравнить фактический уровень автокорреляции и частной автокорреляции (вертикальные линии) с их теоретическими значениями (верхняя линия), то они практически не отличаются. Все это свидетельствует о хорошем качестве полученной стационарной модели.
Тестирование на импульсный ответ ARMA-структуры модели USDOLLAR = с + а × USDOLLAR(-l) — b × USDOLLAR(-2) также показало ее стационарность. Рисунок 7.3 показывает, что величина импульсного ответа — по мере увеличения периодов тестирования на внешние шоки (инновационную неопределенность) — асимптотически стремится к нулю. Если проанализировать динамику накопленного импульсного ответа, то по мере увеличения периодов тестирования его величина стабилизируется на определенном уровне, что также свидетельствует о стационарности построенной статистической модели.
Убедившись в достаточно высоком качестве статистической модели USDOLLAR = с + а × USDOLLAR(-l) — b × USDOLLAR(-2), мы составили с ее помощью прогноз с упреждением в две недели на 13 июля 2010 г. При этом использовались данные по курсу доллара, взятые с интервалом две недели (на конец этого периода) с октября 1998 г. по 29 июня 2010 г. Согласно полученному точечному прогнозу, курс доллара на 13 июля 2010 г. должен был равняться 30,82 руб., но в действительности американская валюта в этот день стоила 30,88 руб., т. е. ее курс отклонился всего лишь на 6 коп. Таким образом, прогноз курса американской валюты оказался точным при интервальном прогнозе, составленном с 20 %-ным уровнем надежности.
Полученная в результате составления прогноза средняя ошибка индивидуального прогнозного значения курса доллара оказалась равна 0,5075 руб. Ее мы использовали для составления рекомендуемых цен покупки и продажи, воспользовавшись алгоритмом действий № 24. При этом для расчета рекомендуемых цен покупки и продажи в качестве среднего значения для нормального распределения был взят фактический курс доллара от 26 июня 2010 г., т. е. его последнее значение перед началом инвестиционного периода, начавшегося с 29 июня и закончившегося 13 июля 2010 г. Рассчитанные нами рекомендуемые цены продажи и покупки доллара на рубли представлены в табл. 7.9.
Однако, прежде чем перейти к тестированию по рыночным данным эффективности рекомендуемых цен покупки и продажи, сначала нужно убедиться в их обоснованности. Нужно ответить на вопрос: какая доля цен покупок или продаж, рассчитанных по предложенной методике, в действительности оказалась ниже (или выше) фактического курса доллара в конце месяца?
Чтобы провести эту оценку, нужно рассчитать рекомендуемые курсы покупки и продажи доллара не только на период с 29 июня по 13 июля 2010 г., но и на весь период с октября 1998 г. по июнь 2010 г., а также отклонения рекомендуемых цен от заданного уровня надежности. В таблице 7.10 показан фактический риск того, что рекомендуемая цена продажи валюты, вычисленная с определенным уровнем надежности, в действительности может оказаться ниже курса доллара на конец инвестиционного периода (конец двухнедельного периода).
Судя по табл. 7.10, вероятность удачной сделки при продаже доллара по ценам, рассчитанным с 90 %-ным уровнем надежности и при более низких уровнях надежности, выше заданного уровня надежности. Причем при 60–70 %-ных уровнях надежности эта положительная разница достигает своего максимума — 15,8-15,9 процентного пункта. Правда, при продаже доллара с 95 %-ным и 99 %-ным уровнями надежности вероятность удачной сделки несколько ниже установленного уровня надежности.
В таблице 7.11 показан фактический риск того, что рекомендуемая цена покупки валюты, вычисленная с определенным уровнем надежности, в действительности может оказаться выше курса доллара на конец инвестиционного периода (конец двухнедельного периода). Судя по этой таблице, фактическая вероятность удачной сделки при покупке доллара с 99 %-ным уровнем надежности оказалась равна установленному уровню надежности. В то время как при более низких уровнях надежности фактическая вероятность удачной сделки оказалась выше заданного уровня. Причем при 70 %-ном уровне надежности эта положительная разница в пользу фактической вероятности удачной сделки достигает своего максимума — 17,3 процентного пункта.
Сравнив табл. 7.10 и 7.11, легко заметить, что вероятность удачной сделки при покупке доллара несколько выше, чем при его продаже, за исключением 60 %-ного уровня надежности, где ситуация прямо противоположная. Теперь проверим, насколько эффективным могло быть использование рассчитанных нами цен покупки и продажи в ходе торгов на валютном рынке с 29 июня по 13 июля 2010 г. Поскольку до 2 июля в динамике курса доллара преобладал растущий тренд (см. рис. 7.3), то первыми в торгах смогли участвовать инвесторы, установившие цену продажи доллара с 60 %-ным и 70 %-ным уровнями надежности. Однако с 3 июля американская валюта начала падать, поэтому на рынок стали выходить игроки, планировавшие купить доллар с 60 %-ным и 70 %-ным уровнями надежности.
В таблице 7.12 представлены итоги валютных торгов за период с 29 июня по 13 июля 2010 г. для инвесторов, установивших цены покупки или продажи доллара с разными уровнями надежности. Судя по этой таблице, наиболее высокую курсовую доходность в размере 0,95 % по итогам двухнедельного инвестиционного периода получил инвестор, установивший цену продажи доллара с 70 %-ным уровнем надежности. На втором месте по этому показателю оказался инвестор, установивший цену продажи доллара с 60 %-ным уровнем надежности: доходность — 0,58 %. Третье место по доходности досталось инвесторам, установившим цену покупки доллара с 60 %-ным и 70 %-ным уровнями надежности, поскольку доходность у обоих оказалась равна 0,28 %. В то время как инвестор, придерживавшийся стратегии «купил и держи», в течение двух недель понес убытки в размере 0,62 %. При этом заметим, что фактическая вероятность удачной сделки для инвестора, придерживавшегося этой стратегии, по нашим подсчетам, за период с октября 1998 г. по июнь 2010 г. составила 52,0 % (из 306 сделок 152 были удачными, если вести подсчет доходности на конец каждого инвестиционного периода).
7.3. Использование в торговле модели для прогнозирования курса доллара к рублю с упреждением в одну неделю
Сейчас рассмотрим, насколько эффективна для использования в валютных торгах статистическая модель, по которой можно делать прогноз по курсу доллара к рублю с упреждением в одну неделю. При этом на полном изложении процедуры построения такой прогностической модели особо останавливаться не будем, а расскажем о наиболее важных особенностях этой модели.
На основе базы данных по курсу доллара, взятых с интервалом в одну неделю (на конец периода) с 1 октября 1998 г. по 20 июля 2010 г., нами была построена прогностическая модель, по которой можно делать прогнозы с упреждением в одну неделю. Вывод данных по итогам решения уравнения регрессии можно увидеть в табл. 7.13.
Подставив в USDOLLAR = с + а × USDOLLAR(-l) коэффициенты из табл. 7.13, получим следующую формулу:
USDOLLAR = 0,5970 + 0,9796 × USDOLLAR(-l), (7.4)
где USDOLLAR, USDOLLAR(-l) — переменные, обозначающие текущий курс доллара и курс доллара с лагом в одну неделю.
Интерпретация уравнения (7.4) следующая: в период с 1 октября 1998 г. по 20 июня 2010 г. рост на 1 руб. курса доллара с лагом в одну неделю в среднем приводил к повышению прогнозируемого курса доллара на 0,9796 руб. при исходном уровне курса доллара, равном 0,5970 руб.
Теперь оценим точность полученной статистической модели (см. алгоритм действий № 8 «Как оценить точность статистической модели в EViews»), поместив результаты этой оценки в табл. 7.14. Судя по этой таблице, среднее отклонение по модулю курса доллара от его прогноза за весь период составило 19,7 коп., а среднее отклонение по модулю в процентах равняется 0,72 %. В то время как у модели USDOLLAR = с + а × USDOLLAR(-l) + b × USDOLLAR(-2), делающей прогнозы с упреждением в две недели, среднее отклонение по модулю курса доллара от его прогноза оказалось равно 28,9 коп., а среднее отклонение по модулю в процентах — 1,07 % (см. табл. 7.7).
Поскольку модель, построенная с использованием исходного уровня временнбго ряда, оказалась стационарной, то в этом случае мы не стали переходить к логарифмическому временному ряду. О стационарности исходного временнбго ряда свидетельствуют итоги тестирования исходного временнбго ряда на стационарность с помощью расширенного теста Дикки — Фуллера (табл. 7.15). При этом уровень значимости (Prob. *) одностороннего t-критерия (t-Statistic) получился весьма близким к нулю, а потому нулевая гипотеза о нестационарности исходного временнбго ряда отвергается и принимается альтернативная гипотеза о его стационарности.
Для проверки качества этой статистической модели посмотрим, во-первых, как изменяется с увеличением лага автокорреляция и частная автокорреляция в остатках, во-вторых, насколько соответствуют фактические значения коррелограммы остатков их теоретическим значениям. Судя по рис. 7.5, по мере роста величины лага уровень автокорреляции постепенно снижается, асимптотически стремясь к нулю, а частная автокорреляция упала почти до нуля уже со второго лага. Если сравнить фактический уровень автокорреляции и частной автокорреляции (нижние вертикальные линии) с их теоретическими значениями (верхняя линия), то можно заметить, что они в основном совпадают. Вместе с тем следует отметить, что фактический уровень автокорреляции после пятого лага заметно ниже ее теоретического уровня, а фактический уровень частной автокорреляции после 10-го лага в некоторых случаях выше теоретического нулевого уровня.