Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс - Павлов Андрей Николаевич

Это пособие призвано помочь вам, во-первых, систематизировать знания по планиметрии, а во-вторых, подготовить вас к итоговым контрольным работам и возможной сдаче экзамена за курс геометрии в 9 классе.

Если вы не сдаёте устный экзамен по планиметрии, а лишь пишете итоговую контрольную работу или сдаете письменный зачёт, можете смело пропустить чтение первой главы этой книги. К её материалам вы сможете обратиться лишь за соответствующими подсказками теоретического характера.

Вторая глава посвящена разбору методов решения планиметрических задач всех основных видов. При этом задачи условно поделены на три уровня сложности. Первый уровень – базовый, второй уровень представлен задачами повышенной сложности. Если же вам наскучили задачи школьного учебника и вы решили готовиться к поступлению в такие вузы как МГУ, МФТИ, МГТУ, МАИ и т. д., решайте задачи третьего уровня сложности. Уровень сложности задания указан в скобках рядом с условием каждой задачи (и каждого вопроса первой главы).

Описание каждого геометрического метода или идеи сопровождается не только решением нескольких типовых задач, но и задачами для самостоятельной работы. Ко всем задачам даны указания и ответы.

У этой книги две цели. С одной стороны, она представляет собой пособие для учащихся, призванное обобщить знания по курсу планиметрии, подготовить школьника к сдаче экзамена по геометрии в 9 классе. С другой стороны, книга может быть полезной учителям математики, так как содержит не только необходимый материал для подготовки учащихся к экзамену, но и сами комплекты экзаменационных билетов с задачами и ответами к ним.

Особенностью пособия является реализуемый в нем принцип уровневой дифференциации. Все вопросы, задачи и экзаменационные комплекты условно поделены на три уровня: базовый, углублённый и элективный (уровень указан в скобках после каждого задания). Первый уровень соответствует общеобразовательным классам и опирается на действующие стандарты математического образования. Второй уровень, помимо базовых, содержит вопросы и задачи повышенной сложности. Работа на этом уровне целесообразна в гимназических (лицейских) классах в рамках пропедевтики профильного обучения в старших классах. Третий уровень включает материал, который можно использовать как на факультативах, так и в специализированных школах при подготовке учащихся к поступлению в такие вузы, как МГУ, МФТИ, МАИ, МГТУ и другие.

В пособии четыре главы. Первая глава содержит справочную информацию и контрольные вопросы по всему курсу планиметрии. Теоретический материал, выходящий за рамки школьной программы, выделен другим шрифтом. Во второй главе идет разбор планиметрических задач как по объекту решения (треугольник, трапеция, параллелограмм, окружность и т. д.), так и по используемым приёмам и методам, дополняемый задачами для самостоятельной работы. В третьей главе представлены четыре комплекта билетов по геометрии. В четвёртой главе даются ответы, решения и указания к приведённым задачам.

Автор выражает благодарность своим ученикам: Федору Борзову, Игорю Григорьеву, Елене Гудковой, Марии Ларькиной, Наталье Парамзиной, Марии Соловьёвой, Марии Трошиной, Антону Турецкому, Артему Умаханову, Евгению Штыркову, которые оказали большую помощь в создании книги.

Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название этой науке было дано потому, что в древнее время главной целью геометрии было измерение расстояний и площадей на земной поверхности.

Геометрия часто применяется на практике. Её надо знать и рабочему, и инженеру, и архитектору, и художнику. Одним словом, геометрию надо знать всем.

Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.

Фигура – это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Этим фигурам в геометрии не даётся определений.

Также не определяются такие понятия (отношения), как «лежать между», «принадлежать», «проходить через…» и так далее.

Остальным геометрическим фигурам и другим понятиям даются определения. Определение – это предложение, в котором разъясняется смысл и содержание того или иного понятия. При этом разъяснение состоит в том, что оно сводится к ранее определённым понятиям.

Существует несколько подходов к построению курса планиметрии (и геометрии в целом):аксиоматический, аналитический, векторный, групповой.

Аксиоматическая теория строится следующим образом:

1) даются неопределяемые понятия (в нашем случае это точка и прямая);

2) вводятся неопределяемые отношения (связи между понятиями – «лежать между», «принадлежать» и так далее);

3) даётся система аксиом – то есть утверждений, принимаемых без доказательства;

4) на основе аксиом и законов математической логики доказываются теоремы.

Аксиом, как правило, немного, а вот теорем – бесконечное множество. К аксиомам планиметрии можно отнести следующие:

1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

2. Из трёх точек на данной прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

3. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин его частей, на которые он разбивается любой его точкой.

4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

5. Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

6. На любом луче от его начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

7. От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.

9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

На основе приведённых аксиом доказываются различные свойства геометрических фигур (теоремы). Доказать теорему – значит провести логически правильное рассуждение о свойстве той или иной геометрической фигуры.

Любая теорема состоит из двух частей: условия и заключения. Записывают это так: У → З (из условия следует заключение; или: если У, то З). Например: У = «углы α и β – вертикальные», З = «углы α и β равны». Получаем верное утверждение (теорему):У → З (если углы и – вертикальные, то они равны, или, проще: вертикальные углы равны).

К каждому утверждению У → З, называемому прямым, можно написать ещё три:

З → У – обратное утверждение;

не У → не З – противоположное утверждение;

не З → не У – противоположное к обратному утверждение.

В нашем примере обратное утверждение (если углы равны, то они вертикальны) и противоположное утверждение (если углы не вертикальные, то они не равны) являются ложными, а вот противоположное к обратному утверждение (если углы не равны, то они не вертикальные) – истинно.

Вообще, в математической логике есть закон контрапозиции, который гласит, что прямое и противоположное к обратному утверждения эквивалентны (по этому же закону эквивалентны обратное и противоположное утверждения).

На законе контрапозиции основан метод доказательства теорем от противного.

Пусть требуется доказать теорему У → З. Мы предполагаем, что её заключение неверно. Далее логически доказываем, что тогда и У неверно. Иными словами, мы доказываем противоположную к обратной теореме: не З → не У. Тогда прямая теорема по закону контрапозиции также верна. Метод доказательства от противного применяется тогда, когда противоположная к обратной теорема доказывается проще прямой теоремы.

Теоремы можно поделить и по другому основанию. Выделяют теоремы-свойства и теоремы-признаки. В теоремах-свойствах доказываются свойства заданных геометрических фигур. Например, утверждение: «в ромбе диагонали перпендикулярны друг другу», «медианы в треугольнике делятся в отношении 2:1» – это теоремы свойства. Теоремы-признаки – это утверждения, благодаря которым можно определить, о какой фигуре идет речь. Например, «если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм». Безусловно, верно и обратное утверждение: «у параллелограмма противоположные стороны равны». Иными словами, равенство противоположных сторон является не только свойством, но и признаком параллелограмма.

Свойство фигуры, которое является одновременно и её признаком, называется характеристическим свойством (критерием) данной геометрической фигуры. В принципе, любое характеристическое свойство фигуры можно принять за её определение.

Иногда для удобства выделяют два частных случая теорем – следствие и лемму. Следствие – это утверждение, непосредственно вытекающее из теоремы. Лемма – это вспомогательное утверждение, используемое при доказательстве основной теоремы.

Множество всех неопределяемых понятий и отношений, аксиом и теорем называют аксиоматической теорией. Аксиоматическая теория, построенная на основе девяти приведённых аксиом, называется евклидовой.

Несколько дополнительных сведений по аксиоматическому подходу в геометрии. Система аксиом геометрии подбирается не произвольным образом. К ней предъявляются три основных требования: независимости, непротиворечивости и полноты.

Система аксиом называется независимой, если ни одну из аксиом нельзя вывести как теорему из других аксиом (тогда данная аксиома была бы лишней).

Система аксиом называется непротиворечивой, если из неё нельзя вывести две теоремы, которые противоречат друг другу.

Систему аксиом называют полной, если какое бы утверждение о свойстве той или иной геометрической фигуры мы ни сформулировали, всегда можно установить – истинно оно или ложно.

Приведённая выше система аксиом евклидовой геометрии удовлетворяет всем трём требованиям (доказано А. В. Погореловым).

Помимо евклидовой существуют и другие аксиоматические теории (неевклидовы геометрии). Например, если девятую аксиому евклидовой геометрии заменить на её отрицание («Через точку, не лежащую на прямой, можно провести более одной прямой, параллельной данной»), а остальные оставить без изменения, получим планиметрию Лобачевского. Тогда будут доказаны неожиданные для нас утверждения: «Сумма углов в треугольнике меньше двух прямых», «существуют треугольники, около которых нельзя описать окружность», «не существует подобных треугольников» и многие другие.

Изменяя систему аксиом, а также меняя неопределяемые понятия и отношения, мы будем получать другие неевклидовы геометрии (сферическую, эллиптическую и так далее).

Помимо аксиоматического, в геометрии широко распространён аналитический подход. Его суть состоит в том, что на плоскости вводится система координат и каждой точке ставится в соответствие пара чисел (х; у) – её координаты. Благодаря этому удаётся записывать уравнения различных фигур (прямых, окружностей и так далее), изучать их свойства. Введение декартовой прямоугольной системы координат и применение алгебраического аппарата нередко позволяют легче решать многие задачи по геометрии.

Обобщением (в определённом смысле) аналитического подхода в геометрии является векторный подход. Разница состоит в том, что на плоскости вводится векторная (аффинная) система координат, причём два базисных вектора не обязательно перпендикулярны друг другу и к тому же могут различаться по длине. Введение векторной системы координат также нередко позволяет быстрее и проще решать целый ряд геометрических задач.

В высшей геометрии весьма распространён групповой подход. Группой называется непустое множество М, на котором определена некоторая операция*, причём выполняются следующие условия:

1) для любых элементов а, в, с из М(а*в)*с = а*(в*с):

2) существует элемент е из М, такой, что а*е = е*а = а:

3) для любого элемента а существует элемент а^-1, что а*а^-1 = а^-1*а = е.

В геометрии можно выделить множество групп, например, группу перемещений, группу преобразования подобия. Самой важной группой в планиметрии является группа перемещений плоскости, так как с её помощью вводится понятие равных фигур. Равные фигуры обладают одинаковыми геометрическими свойствами, которые не изменяются (инвариантны) под действием перемещений. В целом можно сказать, что каждая группа преобразований задаёт свою геометрию, в которой изучаются свойства фигур, инвариантные (неизменяемые) относительно данной группы преобразований.

Инварианты группы перемещений (и других групп) «невидимо» присутствуют при решении задач методом геометрических преобразований. Так, строя образы фигур при различных видах движений (симметрия, параллельный перенос и так далее), мы получаем равные фигуры, что позволяет в ряде случаев успешно решать сложные задачи.

1. Что изучает геометрия? (1)

2. Что означает слово «геометрия» в переводе с греческого языка? (1)

3. В каких видах человеческой деятельности нужны знания по геометрии и пространственное воображение? Покажите эту значимость в деятельности: а) рабочего; б) инженера; в) архитектора; r) художника; д) Вас лично в решении бытовых задач. (1)

4. Что изучает планиметрия? Приведите примеры геометрических фигур и их свойств. (1)

5. Назовите основные (неопределяемые) понятия в планиметрии. (1)

6. Какие вы знаете неопределяемые отношения в курсе геометрии? (1)

7. Что значит дать определение геометрической фигуры? (1)

8. В чем состоит сущность аксиоматического подхода в геометрии? (1)

9. Что такое аксиома? (1)

10. Что такое теорема? (1)

11. Перечислите аксиомы планиметрии. (1)

12. Что значит доказать теорему? (1)

13. Из каких частей состоит теорема? (1)

14. Какая теорема называется: а) обратной; б) противоположной; в) противоположной к обратной? (1)

15. Даны четыре теоремы: прямая, обратная, противоположная, противоположная к обратной. Какие пары из перечисленных теорем являются эквивалентными? (1–2)

16. В чем состоит сущность метода доказательства теорем от противного? (1)

17. Что такое теорема-свойство и теорема-признак? (1)

18. Что такое характеристическое свойство геометрического объекта (фигуры, тела и т. д.)? Как связаны между собой термины «характеристическое свойство объекта» и «определение объекта»? (1)

19. Какие требования предъявляются к системе аксиом? (3)

20. Как вы понимаете следующие высказывания:

а) система аксиом непротиворечива; (3)

б) система аксиом независима; (3)

в) данная система аксиом – полная (3)?

21. Какая геометрия называется евклидовой? (1)

22. Какие неевклидовы геометрии вы знаете? (3)

23. В чем отличие аксиоматики Лобачевского от систем аксиом Евклида? (3)

24. В чем суть аналитического подхода в геометрии? (2)

25. Что такое аффинная система координат? (2)

26. Что такое группа? В чем суть группового подхода в геометрии? (3)

27. Что такое инвариант? (3)

1. Высказывания. Операции над высказываниями. Законы математической логики.(2)