Спустя несколько лет Фалес развлекал старых друзей сдержанным пересказом чудес, увиденных им на Востоке. Какой-то скептик из числа слушателей наконец исчерпал веру в повествование.
– Было ли хоть что-нибудь, что случайно вы так и не увидели в своих путешествиях? – насмешливо поинтересовался он.
Фалес задумался над вопросом.
– Да, – признался он, – одного я так и не увидел.
– И что же это было? – фыркнул скептик.
– Тирана в годах, – ответил Фалес.
Возможно, Фалес вспомнил времена, когда он помогал Крезу, преследовавшему противника, переправиться через реку Алис.
Когда Кир, царь персов, наголову разбил в сражении Креза, царя Лидии, он заковал того в кандалы. Неизвестно, где и как Крез закончил свой путь и сколько ему было лет, когда Кир покончил с ним.
Успех, заставивший греческих современников Фалеса возвести его в ранг мудрейших во всем мире, следовало бы приписать вавилонянам или, вполне возможно, египтянам куда в большей степени, чем самому Фалесу. Согласно одной из версий, 28 мая 585 года до н. э. произошло полное солнечное затмение. Мидяне и лидийцы к тому времени шестой год упорно сражались друг с другом. Как рассказывает Геродот, они неожиданно оказались в состоянии «ночной войны». Напуганные до потери рассудка предзнаменованием свыше, непримиримые противники внезапно прекратили убивать друг друга. Потрясенные и подавленные до самой глубины своих непросвещенных душ, они незамедлительно заключили мир, позднее подтвержденный двумя брачными союзами между царскими семьями. Мидяне и лидийцы исчезли с лица земли много веков назад, и никому особо не интересно, сколько из них пали на полях сражений или сколько из них оставили свои доспехи за порогом дома в последний раз и умерли в своей постели. Что действительно важно в «ночной войне» для истории мудрости, так это тот факт, что Фалес предсказал затмение. Само же предсказание вдохновило более склонных к размышлениям греков уверовать в предначертанность событийного ряда в природе и подготовило их к откровениям Пифагора, что числа правят миром.
Предсказание затмения на уровне точности наших современных приборов, с указанием времени до секунды и определением конкретного места, откуда оно будет видно, в VI веке до н. э. даже не обсуждалось. Возможно, самое лучшее, что мог совершить Фалес, – так это предсказать год и менее точно – место, откуда затмение будет видно; скажем, 585 год до н. э. и определил конкретный район Малой Азии. Но этого было достаточно, чтобы за ним утвердилась репутация мудреца. Он точно в определенных пределах предсказал затмение, и, когда оно свершилось, прекратив битву, его пораженные земляки уверовали в него намного больше, чем он мог бы рассчитывать. Они с радостью нарекли его, как он того и хотел, мудрецом. Они вряд ли поверили его утверждениям, что в научном плане взаимозависимость между затмением и сражением – случайное совпадение.
Значительный исторический интерес представляет вопрос, где Фалес научился предсказывать солнечные затмения. Явно он не сумел бы в один присест и даже за одну свою жизнь в одиночку теоретически разработать всю методику расчетов. Века спокойного наблюдения дали астрологам и астрономам Месопотамии необходимое понимание фактов, и практически нет сомнений в том, что Фалес постиг их знания либо напрямую, либо через египтян. Еще в VIII веке до н. э. их древние ученые знали о цикличности затмений как солнца, так и луны. Наша современная точность в этих вопросах возможна благодаря теории всемирного тяготения Ньютона (1687), давшей обоснование замечательно точной небесной механике. Около двадцати трех веков разделяют Фалеса и Ньютона. Если бы не существовало Фалеса или равного ему где-то в этом интервале, Ньютон так и умер бы обыкновенным фермером.
Наиболее длительный эффект того затмения сказался на умах древних греков. Фалес был первым из мудрейших людей Греции, его критик Солон был еще одним из семи бессмертных. «Мудрость» для наследников дела Фалеса включала в себя тогдашние науку, инженерию, технологию, арифметику, геометрию и философию, причем последнюю в том смысле, в котором мы и сейчас воспринимаем ее. «Философия» для греческих философов никогда не замыкалась на высокие мысли о низменной жизни, но относилась ко всем знаниям, которыми философ был в состоянии овладеть.
Разделение между философией и наукой произошло значительно позже, когда научный метод Галилея и Ньютона столь существенно поднял планку проверяемых знаний, что «натуральная философия», физическая наука и математическая астрономия, покинула своих досточтимых прародителей и в течение трех веков развивалась самостоятельно. Привлекаемая древней магией чисел, натуральная философия в ХХ веке, как показалось, была готова вернуться к родным пенатам VI века до н. э. Призрачная фигура Пифагора замаячила сквозь завесу времен, готовая приветствовать блудную дочь с прощающей улыбкой.
Рассмотрим «философию» Фалеса с позиций современного научного метода, прежде чем осмысливать его имеющий непреходящее значение вклад в развитие математики. Довольно странно для столь практичного ума, но Фалес попытался охватить мироздание обобщающей теорией. «Всё есть вода», – объявил он своим насмерть перепуганным согражданам. Более того, он уточнил сказанное: швырните все, что вам нравится, как можно дальше, и вы увидите, что у вас ничего не осталось, кроме воды на ладонях.
Это была первая из всеобъемлющих обобщающих теорий, предложенных греческими и иными философами ошеломленному и не знавшему, чему верить, человечеству в качестве окончательного суммирования всего, что нашлось в космосе, времени и вечности. Почитателям Фалеса остается только верить, что сам он не воспринимал собственную теорию так же серьезно, как его греческие потомки, которые посчитали, что необходимо доказать ложность его теории в деталях.
Очевидно, что корни метафизической воды Фалеса уходят в Вавилонию. Мысль о мокрой структуре «всего» не могла казаться слишком нелепой людям, преуспевшим в строительстве своих городов из зажаренной на солнце глины на равнине плоской, как пол, и зажатой между двумя полноводными реками, которые каждые два года выходили из берегов. «Всё есть вода», – звучит больше похоже на раздраженное выражение неудовольствия какой-нибудь вавилонянки-домохозяйки, нежели на разумный вклад философа в копилку знаний всего человечества. Фразу тиражировали с небольшими расхождениями в акцентах на протяжении двадцати шести веков. В XIX веке н. э., когда паровоз своими гудками затмил все остальное, «всё» стало материей и энергией, или энергетическим эфиром. В самом начале XX века легкий шум динамо-машин и стук телеграфных ключей сделал «всё» электричеством. В более разумные 1930-е годы, когда относительность рассеяла материю, энергию, эфир и электричество на уравнения пространства-времени, «всё» стало математикой.
Прежде чем сказать Фалесу-человеку слова прощания и перейти к величайшей из его работ, вспомним одну из самых человечных историй о нем, которая пережила столетия. Как-то ночью, поглощенный созерцанием звезд,
Фалес величаво шагнул в колодец. Услышав плеск воды и последовавший, возможно, почти в ту же секунду испуганный крик «Всё есть вода!», слуга-фракиец вытащил философа из колодца, слегка поддразнивая, что тому не следовало бы засматриваться на происходящее в небе, если не замечает, что находится у его ног.
В других пересказах колодец превращается в простую канаву, а непочтительный слуга – в старую женщину. Но вверимся лучше авторитету Платона, у которого прислуга была молода и красива. Поверим, что это была она и что Фалес, когда она выловила мудреца, вознаградил ее должным образом. Из всех неизвестных нам женщин, живших в VI веке до н. э., я хотел бы узнать имя той фракийской служанки.
Глава 7
Не много, но достаточно
Небольшой по количеству, но насыщенный бесчисленными возможностями вклад Фалеса в математику оказался достаточен, чтобы зародилась наука о числах, просуществовавшая с VI века до н. э. до наших дней. Внедрение дедуктивного метода в элементарную геометрию уже было упомянуто, и некоторое время спустя мы рассмотрим метод в деталях.
Другим имевшим решающее значение нововведением стало намеренное абстрагирование или идеализация информации, полученной в результате наблюдений, для установления чистой идеи. Это, до некоторой степени пугающее описание очень простого процесса, базового для математики, науки и философии, будет рассмотрено прежде всего. Это необходимо для более полного осознания того, что принято называть знаниями или мудростью как в древности, так и теперь.
Абстрактный контрпример, как он подается в элементарной геометрии, может показать главные аспекты значительно четче, чем описание всего процесса. В 1890-х годах один своеобразный педагог выпустил учебник по элементарной геометрии, основанный на новых принципах. Его достойная цель состояла в том, чтобы сделать геометрию не только понятной для начинающих, но и доступной, как чтение газеты. Он преуспел настолько, что никто совсем ничего не мог понять. Новизна его подхода состояла в следующем: прямые линии имеют определенную и измеряемую толщину. Это, как уверял он, чистый факт каждодневного бытия. Даже самый отсталый наблюдатель в состоянии увидеть это, настаивал он, раз об этом указано. «Прямая линия», проведенная куском мела на доске, отмечал он, иногда столь же широка, что и человеческий палец, а самая дешевая линза превратит едва видимые «прямые» царапины на оконном стекле в корявые желоба.
Проблемы возникли, когда буквоеды-подростки начали шумно требовать рассказать им, сколько раз нужно расщеплять волос, чтобы получился пучок правильных линий. Подходит ли для этих целей конский волос, или нужно воспользоваться волосом из девичьего хвоста? И далее в том же духе, пока несчастный автор новой геометрии не оказался на грани от потери рассудка. Доведенный до крайности, уже пересекая порог сумасшедшего дома, этот человек, обманутый в своих надеждах, продолжал кричать, что все линии существуют только в уме геометров и что он бросил вызов всем математикам в мире, несогласным с ним. Своим дерзким вызовом ортодоксальности новый геометр задекларировал факт, который ни один математик, кроме, возможно, тех, кто придерживался реалистичных позиций в духе Платона, не стал бы оспаривать. Фалес, как предполагают, был все-таки первым из тех, кто придумал нечто абсолютно противоположное тому, чему собирался учить революционно настроенный педагог. След мела, царапины, расщепленные волосы и все иные бесчисленные, поддающиеся чувственному восприятию «прямые линии» обозначает некая абстрактная прямая линия – «длина без ширины», как самая простая идеализация их всех. Эта прямая линия геометров не существует в материальном мире. Это чистая абстракция, плод воображения или, если кому-то нравится, мысль вселенского разума. И нет необходимости выискивать недостатки типа какой ширины прямая линия, поскольку словосочетание «ширина линии» больше не имеет значения.
Этот процесс очищения повседневного опыта и абстрагирования от него, то есть выделения общей концепции, позволил создать математику, механику и теоретическую физику. Такой подход вдохновил Платона на его возвышенную мистическую философию. Геометрия линий не имеет привязки к той или иной «линии» из так называемого чувственного опыта, она связана исключительно с конкретными определениями и постулатами касательно идей или гениальных провидений, несущих пользу науке и математике, и действительна для всех типов линий, детерминированных данными определениями и постулатами.
Нынешние геометры знают, что не все может быть детерминировано как составное из простейших составляющих. Но от какого-то неразложимого минимума надо вести начало. Начало для прямых линий находится в следующих простейших абстракциях чувственного опыта: «Две прямые линии пересекаются в одной, и только в одной точке. Через две точки можно провести одну прямую линию, и только одну». В этих постулатах ни «точка», ни «прямая линия» не имеют дальнейшего уточнения или объяснения. Это два базовых, не имеющих дальнейшего деления элемента, на которых построена вся геометрия.
Любой разумный человек может видеть в «точке» и «прямой линии» общеизвестные понятия, которые, как ему представляется, он понимает интуитивно. Но каждое из этих интуитивных ощущений должно оставаться на заднем плане. Оно не должно навязываться геометрии. Подобный запрет не имеет целью встать на пути поиска мысли при формулировании теорем. Начиная с двенадцатилетнего школьника и заканчивая семидесятилетним ученым в тиши кабинета, всякий, посвятивший себя геометрии, нуждается в интуиции и пользуется ею. Только после того, как интуиция и воображение полностью исчерпают себя, они могут быть отброшены, уступив место логике.
В теоретической астрономии и физических науках процедура точно такая же. Земля, которую мы населяем и знаем благодаря нашим ощущениям, – не идеальная планета, которой она представляется в механике небесных тел. Она покрыта глубокими океанами и испещрена горными системами. Эта планета, которую учитывают в расчетах возмущений Солнечной системы, является как безразмерной частицей, наделенной массой и положением, так и гладкой без особых примет сферой, слегка покачивающейся относительно своих полюсов. И хотя солнце и планеты Солнечной системы идеализируются подобным образом, орбиты комет рассчитываются с такой точностью, что возврат перигелия кометы Галлея в 1910 году после ее отсутствия в течение примерно 75 лет был предсказан с погрешностью только в 3,03 дня – около 1 из 9125.
В настоящее время все сказанное настолько хорошо знакомо, что нас можно извинить, если мы посчитаем это явно граничащим с трюизмом. Но всякий, кому и дальнейшее покажется очевидным, является либо гением, либо просто равнодушным человеком. Просто чудесно, что идеальный мир математиков или ученых-теоретиков должен время от времени предсказывать существование непредвиденных событий «реального» мира.
Приведу известный пример такого предсказания. Положение планеты Нептун за пределами возможностей человеческого глаза было предсказано (в 1846 году) путем математических расчетов на основе закона всемирного тяготения Ньютона, и телескоп обнаружил планету очень близко к расчетному месту. Или более свежий пример (1927). Современная физика и математика на основе квантовой теории предположила существование двух видов молекул водорода, ортоводорода и параводорода, о которых химики даже не догадывались. Более того, их соотношение (3/4 и 1/4) в «водороде» совпало с расчетными. Как можно объяснить подобные предсказания?
Объяснений было представлено много, даже слишком много, чтобы предположить, что хоть одно окажется убедительным. Только самое позднее из них (1930) следует рассмотреть в данной работе, как наиболее уместное относительно магии чисел, благодаря древней истории которой и появилось на свет. Человеческий разум должен предполагать результат любого научного эксперимента до того, как опыт будет произведен, потому что можно осознавать и рассуждать последовательно только при одном условии, математическом подходе, и, более того, математические истины бессмертны. Заявлено слишком жестко, но не слишком пристрастно, как в большинстве революционных научных кредо ученых последних трех столетий. Нечто подобное уже произносилось, к этому возвращались много раз и в самых разных формах, с VI века до н. э. и вплоть до наших дней.
Некоторые математики чувствуют необходимость подчинения неизбежности. Возникает ощущение, будто их открытия и находки ожидали их в неизвестном, но вполне узнаваемом будущем. Рационалист сказал бы, что математик проектирует себя в иллюзорное время своего собственного изобретения. Будущее, в которое, как ему представляется, он проникает, на самом деле есть его собственные настоящие абстракции и доказательства – плоти и духа математики. Постоянство и универсальность математики основываются на ее абстрактности, очевидной необходимости или «обреченности» как сопутствующей строгости формальной логики.
Всеми, кто верит, что математика и логика есть плоды человеческого сознания, и необходимость и универсальность воспринимаются лишь как преходящие признаки. Сторонники теории о том, что числа были скорее найдены, чем изобретены, обнаруживают в математике бесспорное доказательство существования высшего и вечного разума, наполняющего вселенную. Первые чтут в математике гибкость и способность меняться, последние видят в математике откровение постоянства в бесконечности пространства, все несовершенство которого вносится лишь неадекватностью человеческого восприятия. По мере продвижения в направлении более ясного осознания бесконечности несовершенство пропадет, и математика засияет ярче, как безупречное олицетворение вечной истины.