После этого в нашей истории появляется новая тема – яркий след, оставленный первой женщиной-математиком, о которой мы будем говорить. Конкретно речь пойдет о вычислительной математике. Августа Ада Кинг, графиня Лавлейс, работала помощницей у Чарльза Бэббиджа, упорного человека, убежденного в потенциальном могуществе вычислительных машин. Он придумал Аналитическую машину – программируемый вычислитель, сделанный из храповиков и шестеренок, коронный номер чуть ли не всех научно-фантастических произведений в стиле стимпанк. Аду же общественное мнение упрямо называет первым программистом в истории, хотя это довольно спорное утверждение. Компьютерная тема продолжится рассказом о Джордже Буле, чьи «Законы мышления» заложили фундаментальную математическую основу для цифровой логики современных компьютеров.
По мере того как математика становится более разнообразной, то же происходит и с нашим повествованием, прорубающим путь в новые области все расширяющихся джунглей. Бернард Риман блестяще умел вскрывать простые общие идеи, стоящие за сложными на первый взгляд концепциями. Ему мы обязаны, в частности, некоторыми фундаментальными понятиями геометрии, в первую очередь искривленными «многообразиями», на которых построена революционная теория гравитации – общая теория относительности Альберта Эйнштейна. Но помимо этого он сумел сделать гигантский шаг вперед в теории простых чисел, связав при помощи своей «дзета-функции» теорию чисел и комплексный анализ. Гипотеза Римана о нулях этой функции – одна из величайших и важнейших нерешенных задач во всей математике, и за ее решение объявлен приз в $1 млн.
Далее идет Георг Кантор, изменивший представления математиков об основах их собственной науки введением теории множеств и определивший бесконечные аналоги натуральных чисел 1, 2, 3, …, что привело к открытию того факта, что одни бесконечности могут быть больше других – в строгом, продуманном и полезном смысле. Как многих новаторов, Кантора при жизни не понимали и подвергали насмешкам.
Далее на сцене появляется наша вторая женщина-математик, невероятно талантливая Софья Ковалевская. Ее биография извилиста и тесно связана с русским революционным движением, а также осложнена препятствиями, которые всякое общество, где доминируют мужчины, ставит на пути блестящих женщин-интеллектуалок. Поразительно, что она вообще сумела чего-то добиться в математике. Мало того, ей принадлежат замечательные открытия в решении уравнений в частных производных, исследовании движения недеформируемого тела, структуры колец Сатурна и преломления света кристаллами.
Наша история набирает ход. На рубеже XIX–XX вв. одним из ведущих математиков мира был француз Анри Пуанкаре. Окружающие считали его эксцентричным, но на самом деле он был чрезвычайно проницателен. Пуанкаре одним из первых распознал значение новой, только что зародившейся математической области – топологии, или «геометрии резинового листа», в которой фигуры можно непрерывно деформировать, – и распространил ее с двух измерений на три и более. Он применил ее законы к дифференциальным уравнениям и исследовал задачу трех тел в Ньютоновом поле тяготения. Это привело его к открытию возможности детерминистического хаоса – случайного на первый взгляд поведения в детерминированных системах. Кроме того, он вплотную, еще до Эйнштейна, подошел к открытию специальной теории относительности.
В Германии во времена Пуанкаре мы видим Давида Гильберта, чья деятельность разделяется на пять отдельных периодов. Во-первых, он вслед за Булем занимался исследованием «инвариантов» – алгебраических выражений, которые сохраняют форму, несмотря на изменение координат. Затем Гильберт последовательно изложил основные положения теории чисел. После этого он вновь заглянул в Евклидовы аксиомы геометрии, нашел их недостаточными и добавил еще несколько, чтобы закрыть логические прорехи. Далее подался в математическую логику и запустил программу, целью которой было доказать, что под математику можно подвести аксиоматическую базу и что она будет непротиворечивой (то есть никакие логические рассуждения не приведут к противоречию) и полной (то есть любое утверждение в рамках этой системы может быть либо доказано, либо опровергнуто). Наконец, он обратился к математической физике, едва не обогнав Эйнштейна на пути к общей теории относительности, и ввел понятие Гильбертова пространства, центральное в квантовой механике.
Третья и последняя наша женщина-математик – Эмми Нётер, жившая в те времена, когда большинство облеченных властью мужчин все еще с неодобрением смотрело на участие женщин в академической деятельности. Начинала она, как и Гильберт, с теории инвариантов и позже много работала с ним бок о бок. Гильберт не раз со всей доступной энергией пытался пробить стеклянную стену непонимания и обеспечить Нётер постоянную академическую должность, но добился лишь частичного успеха. Нётер оставила яркий след в абстрактной алгебре, первой исследовав сегодняшние аксиоматические структуры, такие как группы, кольца и поля. Кроме того, она доказала важную теорему о симметрии законов физики по отношению к сохраняемым величинам, таким как энергия.
К этому моменту наше повествование перейдет уже в XX в. Чтобы показать, что великолепные математические способности присущи не только образованным классам западного мира, мы познакомимся с жизнью и деятельностью индийского гения-самоучки Сринивасы Рамануджана, выросшего в бедности. Состязаться с ним в способности интуитивно находить странные, но верные формулы могли разве что такие гиганты, как Эйлер и Карл Якоби, и то не факт. Представления Рамануджана о том, что такое доказательство, были довольно туманными, зато он умел находить такие формулы, которые никому другому и в голову бы не пришли. Ученые до сих пор роются в его бумагах и записных книжках в поисках вдохновения и свежего взгляда на вещи.
Два математика со склонностью к философии вернут нас к основам этой науки и к ее связям с вычислениями. Один из этих ученых – Курт Гёдель; он доказал, что любая система аксиом для арифметики обязательно будет неполна и неразрешима, и тем самым разрушил программу Гильберта, целью которой было доказать обратное. Второй – Алан Тьюринг, чье исследование возможностей программируемого компьютера позволило получить более простое и естественное доказательство этих результатов. Прославился он, конечно же, своей работой по разгадыванию нацистских шифров, которой он занимался в Блетчли-парке во время Второй мировой войны. Кроме того, он предложил известный тест Тьюринга для проверки искусственного интеллекта, а после войны исследовал закономерности в структурах живой природы. Он был нетрадиционной сексуальной ориентации и умер при трагических и загадочных обстоятельствах.
Я решил не включать в книгу никого из ныне живущих ученых, но закончить двумя недавно почившими современными математиками. Один из них занимался теоретической математикой, другой – прикладной (надо сказать, весьма оригинальной). Последний – Бенуа Мандельброт, широко известный своими работами по фракталам – геометрическим фигурам, которые имеют сложную структуру на любых масштабах увеличения. Фракталы часто отражают структуру природы намного лучше, чем традиционные гладкие поверхности вроде сфер и цилиндров. Хотя и до него несколько математиков работало со структурами, которые мы сегодня называем фракталами, именно Мандельброт сделал гигантский шаг вперед, первым распознав потенциал фракталов в моделировании природного мира. Он не принадлежал к тем математикам, все внимание которых сосредоточено на теоремах и доказательствах; напротив, отличался интуитивным визуальным восприятием геометрии, что позволяло ему видеть взаимоотношения и строить догадки. Кроме того, он был в некотором смысле шоуменом и энергично продвигал собственные идеи. Это не добавляло ему привлекательности в глазах части математического сообщества, но всем не угодишь.
Наконец, я выбрал рафинированного – этакого математика-математика – Уильяма Тёрстона. Тёрстон тоже обладал глубоким интуитивным пониманием геометрии, в более широком и глубоком смысле, нежели Мандельброт. Математика теорем и доказательств давалась ему на уровне лучших представителей профессионального сообщества, однако чем дальше, тем больше он сосредоточивался на теоремах и опускал доказательства. В частности, он работал в области топологии, где отметил неожиданную связь с неевклидовой геометрией. В конечном итоге именно этот круг идей побудил Григория Перельмана доказать неуловимую гипотезу из области топологии, выдвинутую Пуанкаре. Методы Перельмана позволили доказать также более общую гипотезу Тёрстона, которая проливает неожиданный свет на все трехмерные многообразия.
* * *
В последней главе я соберу воедино нити, проходящие через все 25 биографий этих поразительных людей, и посмотрю, что эти биографии могут рассказать нам о математиках-первопроходцах – кто они, как работают, откуда берут свои «безумные идеи», что вообще толкает их к занятиям математикой.
А пока я хотел бы сделать два замечания и немного предостеречь вас. Первое – не забывайте о том, что я объективно вынужден был отбирать только самое интересное. В книге просто не хватило бы места для исчерпывающих биографий и разбора всего, над чем работали мои первопроходцы, – как и для разбора мелких подробностей того, как развивались их идеи и как они взаимодействовали с коллегами. Вместо этого я попытался предложить репрезентативную выборку самых важных – или интересных – открытий и концепций и добавить некоторые исторические детали, которые позволили бы показать их реальными людьми и обозначить их место в современном им обществе. Для некоторых математиков древности даже этот вопрос пришлось излагать вкратце, поскольку сохранилось очень мало данных о жизни этих людей, а оригинальных документов об их работах в большинстве случаев вообще не сохранилось.
И второе. Выбранные мной 25 математиков – это ни в коем случае не все значимые фигуры в истории математики. Я делал свой выбор, исходя из многих соображений: значимость математических достижений, увлекательность темы исследований, интерес к личности, исторический период, разнообразие героев – и еще это неуловимое качество, «баланс». Если ваш любимый математик не вошел в список, причина тому, скорее всего, кроется в недостатке места вкупе с желанием отобрать представителей, как можно шире распределенных в трехмерном многообразии – географии, историческом периоде и поле. Я убежден, что каждый, кто попал в эту книгу, всемерно заслуживает этого, хотя один-два персонажа могут показаться спорными. Я нисколько не сомневаюсь в том, что многие другие могли быть выбраны с не менее серьезными обоснованиями.
1. «Не тронь моих чертежей!» Архимед
Год: 1973. Место: военно-морская база Скарамангас под Афинами.
Все взгляды сфокусированы на фанерной модели древнеримского судна, выполненной в натуральную величину. На этой модели сфокусированы лучи солнца, отраженные от 70 покрытых медью зеркал, расположенных в 50 м от нее и имеющих размер 1 м в ширину и 0,5 м в высоту.
Проходит несколько секунд, и корабль вспыхивает.
Греческий ученый Иоаннис Саккас в наши дни воссоздает легендарный сюжет из истории древнегреческой науки. Во II в. римский писатель Лукиан писал, что при осаде Сиракуз около 214–212 гг. до н. э. инженер и математик Архимед изобрел устройство, которое позволяло уничтожать вражеские корабли при помощи огня. Существовало ли вообще это устройство и если существовало, то как работало, совершенно неясно. Рассказ Лукиана, в принципе, может быть всего лишь отсылкой к обычной практике использования горящих стрел или обстрела пылающими тряпками из катапульты, но трудно представить себе причину, по которой эту тактику следовало представлять как новое изобретение. В VI в. Анфимий из Тралл в трактате «Пылающие стекла» предположил, что Архимед тогда воспользовался огромной линзой. Но согласно самой распространенной легенде Архимед использовал гигантское зеркало или, может быть, систему зеркал, расположенных по дуге и образующих грубый параболический отражатель.
Парабола – это U-образная кривая, хорошо известная греческим геометрам. Архимед, безусловно, знал о свойстве ее фокуса: все прямые, параллельные оси параболы, отражаясь от ее внутренней части, проходят через одну и ту же точку, которая называется фокусом параболы. Понимал ли кто-нибудь в то время, что параболическое зеркало точно так же сфокусирует свет (и жар) солнца, менее очевидно, поскольку представления греков о свойствах света были рудиментарными. Но, как показывает эксперимент Саккаса, на самом деле Архимеду не понадобилось бы громоздкое параболическое сооружение. Множество солдат, вооруженных отражающими щитами и независимо друг от друга направляющих их так, чтобы отраженные каждым щитом лучи солнца попадали на одну и ту же часть вражеского корабля, добились бы не меньшего эффекта.
Практическая применимость того, что часто называют «лучами смерти Архимеда», с давних времен служит предметом горячих споров. Философ Рене Декарт, пионер в оптике, не верил, что такой прием мог сработать. Эксперимент Саккаса показывает, что все же мог, хотя фанерная модель корабля была хлипкой и к тому же окрашена краской на основе смолы, так что поджечь ее было несложно. С другой стороны, во времена Архимеда корабли обязательно смолили, смола обеспечивала герметичность и защиту корпуса. В 2005 г. группа студентов Массачусетского технологического института повторила эксперимент Саккаса; в конечном итоге им удалось поджечь деревянную модель корабля – но только после того, как мишень на протяжении 10 минут неподвижно стояла под направленными на нее сфокусированными лучами солнца. Они попробовали проделать то же самое еще раз для телешоу «Разрушители легенд». Сюжет снимался в Сан-Франциско, а в качестве мишени было использовано старое рыболовное судно; участникам удалось местами обуглить дерево, кое-где даже появились языки пламени, но целиком судно не загорелось. «Разрушители легенд» сделали вывод, что вся эта история – миф.
* * *
Архимед был человеком энциклопедических знаний: астрономом, инженером, изобретателем, математиком, физиком. Вероятно, он был величайшим ученым (воспользуемся современным понятием) своего времени. Помимо значительных математических открытий Архимед сделал несколько изобретений, поражающих своим разнообразием – Архимедов винт для поднятия воды, систему для поднятия тяжестей на основе канатов и блоков (аналог современных талей), – и открыл Архимедов принцип плавания тел и закон рычага (хотя само устройство появилось намного раньше). Ему приписывают также создание еще одной военной машины – когтя. Он будто бы использовал это устройство, напоминающее подъемный кран, в битве при Сиракузах; с его помощью он поднимал вражеские корабли из воды и топил их. Авторы документального телефильма 2005 г. «Супероружие древнего мира» построили собственную версию этой машины, и она работала. В древних текстах можно найти множество других заманчивых упоминаний о теоремах и изобретениях, приписываемых Архимеду. Среди них механический вычислитель движения планет – что-то вроде знаменитого антикитерского механизма, датируемого примерно 100 г. до н. э. и найденного среди обломков кораблекрушения в 1900–1901 гг.; разгадать его назначение и принцип действия удалось лишь недавно.
Мы очень мало знаем об Архимеде. Родился он в Сиракузах – историческом городе на Сицилии, расположенном ближе к южной оконечности восточного побережья острова. Город был основан в 734 или 733 г. до н. э. греческими колонистами, по преданию, под предводительством полумифического Архия, после того как тот покинул Коринф и удалился в изгнание. Если верить Плутарху, Архий был влюблен в прекрасного юношу Актеона и, не добившись от него взаимности, попытался похитить предмет своей страсти; в ходе завязавшейся борьбы Актеон был разорван на куски. Мольбы отца юноши Мелисса, просившего о справедливости, остались без ответа, поэтому он взобрался на верхушку храма Посейдона, призвал этого бога отомстить за его сына – и бросился вниз, на скалы. После этого драматического события случились сильная засуха и голод, и местный оракул возвестил, что только возмездие может умилостивить Посейдона. Архий понял смысл послания и добровольно отправился в изгнание, чтобы избежать принесения в жертву; он отправился на Сицилию и основал Сиракузы. Позже прошлое все же настигло его, и Телеф, который мальчиком тоже какое-то время был предметом страсти Архия, убил его.