Фейнмановские лекции по физике. 4. Кинетика. Теплота. Звук - Фейнман Ричард Филлипс

4. Кинетика. Теплота. Звук

Глава 39

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ

§ 1. Свойства вещества

§ 2. Давление газа

§ 3. Сжимаемость излучения

§ 4. Температура и кинети­ческая энергия

§ 5. Закон идеального газа

§ 1. Свойства вещества

С этой главы мы начнем изучение новой темы, которая займет у нас довольно много времени. Мы начнем анализ свойств вещества с физической точки зрения. Зная, что вещество построено из большого числа атомов или каких-то других элементарных частей, взаимодейст­вующих электрически и подчиняющихся за­конам механики, мы постараемся понять, по­чему скопления атомов ведут себя именно так, а не иначе.

Нечего и говорить, что это трудная задача. И будет лучше, если мы с самого начала под­черкнем, что это чрезвычайно трудная задача и что решать ее нам придется совсем иными способами, чем раньше. Когда мы изучали механику и оптику, то могли начинать с точных формулировок некоторых законов, например законов Ньютона или формулы для поля, порождаемого ускоренным зарядом. Узнав их, мы сразу же могли объяснить бездну всяких явлений, а потом эти законы становились для нас прочной основой, опираясь на которую, мы совершенствовались и в механике, и в оптике. Мы можем продолжать изучение и даль­ше, но мы не обнаружим при этом какую-то но­вую физику, мы просто будем решать старые за­дачи более точными математическими методами.

Такой способ непригоден для изучения свойств вещества. Мы можем сказать о свойст­вах вещества лишь самые простые вещи. Пред­мет этот слишком сложен, чтобы можно было начать с самых основных законов. Мы по-прежнему будем пользоваться законами механики и электричества. Но законы эти слишком далеки от тех свойств, которые мы собираемся изучать. От законов Ньютона до свойств вещества очень много шагов и каждый шаг очень труден. Сейчас мы сделаем несколько таких шагов, но мне хочется предупредить вас, что если в предыдущих главах мы анализировали явления более или менее строго, то теперь с каждым шагом мы все больше будем терять строгость. Свойства вещества мы сможем понять лишь весьма приближенно.

Происходит это по нескольким причинам. Во-первых, наш анализ не может быть полным потому, что для этого нужно глубокое знание теории вероятностей; мы ведь не собираемся следить за движением каждого атома, а хотим узнать о среднем числе атомов, движущихся в том или ином направлении, и прикинуть, к чему приведет разница в этих средних. Таким образом, теория вероятностей органически входит в нашу тему, а в математике мы еще не очень сильны и многого от нас не потребуешь.

Вторая и более серьезная причина — чисто физическая. Поведение атомов подчиняется законам не классической, а квантовой механики, и пока мы не изучим квантовую механи­ку, нельзя серьезно говорить об изучении свойств вещества. Речь идет не просто о переходе от больших предметов к малень­ким, например от автомобилей к биллиардным шарам, разница между законами классической и квантовой механики гораздо глубже и существенней, и многие объяснения, если исходить из классической механики, будут просто неверными. Так что многих вещей мы пока никак не в состоянии понять, однако мы будем подчеркивать каждый раз, когда объяснения приведут нас в тупик, чтобы по крайней мере хоть предупредить, где он находится. Для этого и говорилось о квантовой механике в предыдущих главах: надо было понять, в каких случаях от­казывает механика классическая.

Почему же мы вообще изучаем свойства вещества? Не луч­ше ли было бы подождать с полгода или год, пока мы не поду­чим теорию вероятностей и квантовую механику, а потом уж и взяться за свойства вещества поосновательней? На это сле­дует ответить, что трудные вещи лучше изучать не спеша! Сначала мы — плохо ли, хорошо ли — познакомимся с об­щими идеями, подумаем, что может произойти в тех или иных обстоятельствах, а потом, когда лучше узнаем основные зако­ны, сформулируем все это поточнее.

Каждый, кто хочет всерьез анализировать свойства вещест­ва, должен сначала написать основные уравнения и попытаться решить их. Но каждого, кто начинал с этого, ждала неудача. Успех приходил лишь к тем, кто подходил к делу как физик: у этих людей сначала не было ничего, кроме грубой идеи, а затем они находили верное приближение, соображая, что в этой трудной ситуации можно считать большим, а что малым.

Задачи в этой области столь сложны, что даже не очень четкая и половинчатая идея оправдывает затраченное на нее время, и можно то и дело возвращаться к одной и той же задаче, приб­лижаясь понемногу к ее точному решению. Так мы и поступа­ем в нашем курсе.

И еще одна причина, по которой мы приступаем сейчас к изучению свойств веществ: нам уже приходилось встречать по­хожие идеи, например в химии. Некоторые из них известны нам со школы. Было бы интересно понять их с точки зрения физика.

Вот один из самых увлекательных примеров: известно, что равные объемы газов содержат при одинаковом давлении и температуре равное число молекул. Авогадро первым понял закон кратных отношений: из того, что в химической реакции между двумя газами объемы реагирующих газов относятся как целые числа, следует, что равные объемы содержат равное число атомов. Но почему в равных объемах содержится равное число атомов? Можно ли объяснить это, исходя из законов Ньютона? Для этого вам придется изучить эту главу. Мы еще будем впоследствии много говорить о давлениях, объемах, тем­пературе и теплоте.

Мы обнаружим при этом, что многие соотношения между свойствами вещества можно понять, ни слова не говоря об атомах. Например, если какое-нибудь тело сжать, оно нагре­ется; если тело нагревать, оно начнет расширяться. Связь между этими явлениями можно понять, не изучая строения тела. Занимающаяся такими вещами наука называется термо­динамикой. Конечно, глубокое понимание термодинамики воз­можно лишь после подробного изучения механизма, лежащего в основе того или иного процесса. Вот этим мы и займемся: мы примем с самого начала тот факт, что все вещества состоят из атомов, и постараемся понять свойства вещества и законы термодинамики.

Итак, начнем изучение свойств газов, исходя из законов Ньютона.

§ 2. Давление газа

Каждый знает, что газ оказывает давление. Но отчего? В этом надо разобраться как следует. Если бы наши уши были намного чувствительнее, чем они есть на самом деле, мы бы все время слышали страшный шум. Но природа позаботилась, чтобы наши уши не были столь восприимчивы, ведь они ока­зались бы для нас совершенно бесполезными — в них постоян­но стоял бы дикий гул, похожий на шум от стартующей ракеты. Дело в том, что барабанные перепонки наших ушей соприкаса­ются с воздухом, а воздух состоит из великого множества беспорядочно движущихся молекул, которые, ударяясь о бара­банные перепонки, создают такой шум, как будто сразу очень много барабанщиков отбивают беспорядочную дробь — бум, бум, бум... Однако мы не слышим этих звуков, потому что ато­мы очень малы, а уши наши недостаточно чувствительны. Бес­порядочные удары молекул должны были бы собственно про­давить барабанную перепонку, но ее непрестанно бомбардируют и с внутренней стороны, и в результате полная сила, действую­щая на перепонку, оказывается равной нулю. Если бы откачать воздух с одной стороны или хотя бы сделать разным его от­носительное количество с обеих сторон, то перепонка прода­вилась бы в ту или иную сторону, потому что бомбардировка с одной стороны оказалась бы гораздо сильнее. Мы иногда ис­пытываем это неприятное ощущение, когда очень быстро под­нимаемся в лифте или на самолете, а хуже всего, если мы еще при этом простужены (в этом случае распухшая слизистая оболочка закрывает каналы, соединяющие через носоглотку внутреннюю полость уха с внешним пространством, и таким образом оба давления не могут быстро уравняться.)

Чтобы проанализировать это явление количественно, пред­положим, что газ находится в ящике, одна стенка которого пред­ставляет собой поршень, способный перемещаться (фиг. 39.1).

Фиг. 39. 1. Атомы газа в ящике, в котором движется поршень без трения.

Найдем силу, с которой действуют на поршень находящиеся внутри ящика атомы. О поршень ударяются атомы, дви­жущиеся внутри объема V со всевозможными скоростями. Предположим, что вне ящика ничего нет — сплошной вакуум. Что же произойдет? Если предоставить поршень самому себе и не придерживать его, то с каждым ударом молекулы он будет приобретать небольшой импульс и постепенно будет вытолкнут совсем из ящика. Чтобы удержать его в ящике, придется при­ложить силу F. Какова должна быть эта сила? Говоря о силе, мы будем относить ее к единице площади: если площадь поршня равна А, то действующая на него сила будет пропорциональна площади. Определим давление как величину, равную отноше­нию приложенной к поршню силы к площади поршня:

P =F/A. (39.1)

Чтобы лучше понять, для чего это делается, подсчитаем бесконечно малую работу dW, которую надо затратить, чтобы протолкнуть поршень на бесконечно малое расстояние —dx (позднее это понадобится нам и для других целей); эта работа равна произведению силы на расстояние или, согласно (39.1), произведению давления, площади поршня и расстояния. Все это равно произведению давления на изменение объема, взя­того с обратным знаком:

dW=F(-dx)=-PAdx=-PdV. (39.2)

(Произведение площади А на изменение высоты dx равно из­менению объема.) Знак минус в этом выражении возникает из-за того, что при сжатии объем уменьшается; если принять это во внимание, то мы получим правильный результат: чтобы сжать газ, надо затратить работу.

Итак, с какой силой надо давить на поршень, чтобы уравно­весить удары молекул? При каждом ударе поршню сообщается некий импульс. В каждую секунду поршень получает опреде­ленный импульс и начинает двигаться. Чтобы предотвратить это, приложенная нами сила за секунду должна сообщить поршню точно такой же импульс. Таким образом, сила равна импульсу, сообщенному поршню за 1 сек. Можно об этом ска­зать и иначе: если предоставить поршень самому себе, то он за счет бомбардировки наберет скорость и с каждым ударом будет подталкиваться и двигаться с ускорением. Быстрота изменения скорости поршня, или ускорение, пропорциональна действующей силе. Таким образом, сила, которую мы опреде­лили как произведение давления на площадь, равна импульсу, сообщенному поршню за 1 сек всеми молекулами внутри ящика.

Подсчитать импульс, передаваемый поршню за 1 сек, легко; мы сделаем это в два этапа: сначала определим импульс, пере­данный одним атомом при столкновении с поршнем, а потом умножим эту величину на число соударений атомов с поршнем за 1 сек. Сила и будет произведением этих двух величин.

Займемся теперь этими величинами: предположим сна­чала, что поршень — это идеальный «отражатель» атомов. Если это не так, то вся наша теория рухнет — поршень нач­нет нагреваться и произойдет много всяких событий, предска­зать которые мы не в состоянии. Однако, когда снова устано­вится равновесие, в результате окажется, что каждое столк­новение будет эффективно упругим. В среднем энергия прихо­дящих и уходящих частиц не изменяется. Таким образом, предположим, что газ находится в равновесии и поршень, бу­дучи неподвижным, энергии не поглощает. В этом случае час­тица, подлетевшая к поршню с определенной скоростью, уле­тит от него с той же скоростью, причем масса частицы не из­менится.

Если v есть скорость атома, a v_x— составляющая скорости вдоль оси х, то импульс «к поршню» равен mv_x, но раз частица «отражается», то импульс «от поршня» равен той же величине; значит, за одно соударение поршню сообщается импульс 2mv_x.

Нужно теперь подсчитать число соударений атома за 1 сек; для этого можно взять любой промежуток времени dt, а потом разделить число соударений на dt. Много ли атомов попадает за это время в цель? Предположим, что в объеме V заключено N атомов, т. е. в каждом единичном объеме имеется n= N/V атомов. Теперь заметим, что за время t достигнут поршня не все частицы, движущиеся к поршню с заданной скоростью, а только те, которые оказались достаточно близко от него. Если частицы были очень далеко, то, хотя они и стремятся к поршню, к сроку они не успеют. Таким образом, за время t о поршень ударятся лишь те частицы, которые в начальный момент были не дальше чем на расстоянии v_xt от него. Следо­вательно, число соударений за время t равно числу атомов, находящихся на расстоянии, не превышающем v_xt, а поскольку площадь поршня равна А, то атомы, которые со временем по­падут в цель, занимают объем Av_xt. А число атомов, попавших в цель, равно произведению объема на число атомов в единич­ном объеме nv_xAt. Но нас, конечно, интересует не число соу­дарений за время t, а мы хотим знать число соударений за 1 сек, поэтому мы делим на t и получаем nv_xA. (Время t может быть взято очень малым, для красоты можно писать dt и затем дифференцировать, но это все одно и то же.)

Итак, мы нашли, что сила равна

F=nv_xA·2mv_x. (39.3)

Обратите внимание, что если фиксировать плотность частиц, то сила оказывается пропорциональной площади! После этого давление найти очень просто:

P=-2nmv²_x. (39.4)

Теперь надо исправить кое-какие неточности: прежде всего не все молекулы имеют одну и ту же скорость и не все они дви­жутся в одном направлении, так что нам приходится иметь дело с разными v²_x! Каждая молекула, ударяясь о поршень, вносит свой вклад, поэтому надо взять среднее по всем молеку­лам. Сделав это, мы получим

P=nm<v²_x>. (39.5)

А не забыли ли мы множитель 2? Нет, потому что лишь поло­вина атомов движется к поршню. Другие летят в проти­воположную сторону, а усредняя по v²_x, мы усредняем как по положительным, так и по отрицательным составляющим v_x.

Если просто усреднить по v²_x, получится вдвое больший ре­зультат. Среднее v²_x для положительных v_xравно половине среднего v²_x для всех v_x.

Но атомы прыгают в ящике как хотят, и поэтому ясно, что x-направление» для них ничем не отличается от любого дру­гого; они движутся куда угодно: вправо — влево, вверх — вниз, взад — вперед. Поэтому <v²_x> (средний квадрат скорости движения в одном направлении) равен среднему квадрату скорости в любом другом направлении

<v²_x>=<v²_y>=<v²_z>. (39.6)

Используем это обстоятельство для небольшого математичес­кого трюка и обнаружим, что каждый из членов в (39.6) равен их сумме, деленной на три, а сумма — это квадрат величины скорости:

<v²_x>=¹/₃<v²_x+v²_y+v²_z>=<v²>/3. (39.7)

Это очень хорошо, потому что теперь уже не надо заботиться о координатных осях, и формулу для давления можно записать в виде