Ответ заключается в том, что две равные и противоположные по направлению силы уничтожают друг друга в том случае, когда они приложены к одному и тому же телу. Если сила была приложена к данному конкретному камню и равная и противоположная сила была также приложена к этому камню, то не будет никакой результирующей силы: камень будет оставаться в покое независимо от того, насколько большой была каждая из сил. (Силы могут быть достаточно большие, чтобы «растереть» камень в порошок, но они не будут перемещать его.)
Закон взаимодействия, однако, относится к равным и противоположным по направлению силам, приложенным к двум разным телам. Таким образом, если вы прикладываете силу к камню, равная и противоположная сила приложена камнем к вам; и камень и вы — каждый получает отдельную неуравновешенную силу. Если вы прикладываете силу к камню и в то же время отпускаете его, то камень, в ответ на эту отдельную силу, ускоряется в направлении этой силы, то есть вдаль от вас. Вторая сила приложена к вам, и вы, в свою очередь, ускоряетесь в направлении этой второй силы, то есть в направлении, противоположном тому, в котором полетел камень. Обычно если вы стоите на неровном основании (земле), то трение между вашими ботинками и основанием порождает новые силы, которые предохраняют вас от перемещения. Ваше ускорение поэтому замаскировано, так что истинный эффект закона взаимодействия может пройти незамеченным. Однако если бы вы стояли на очень гладком, скользком льду и швырнули тяжелый камень, например в восточном направлении, то вы бы начали скользить на запад.
Таким же образом газы, сформированные горящим топливом в двигателе ракеты, прикладывают силу к внутренним стенкам двигателя, в то время как стенки двигателя прикладывают равную и противоположную силу к газам. Газы вынуждены ускоряться вниз, в то время как стенки (и присоединенная к ним ракета) вынуждены ускоряться по направлению вверх. Каждая взлетающая в воздух ракета является свидетельством правильности третьего закона движения Ньютона.
В рассмотренных случаях оба вовлеченных объекта были физически разделены или могли бы быть физически разделены. Одно тело могло ускоряться в одном направлении, а другое — в противоположном. Но что же делать в случае, когда эти два вовлеченных тела связаны вместе? Что делать с лошадью, тянущей фургон? Фургон также тянет лошадь в противоположном направлении, с равной силой. И все же лошадь и фургон не ускоряются в противоположных направлениях. Они связаны вместе, и оба движутся в одном и том же направлении.
Если бы силы, соединяющие фургон и лошадь, были единственными из вовлеченных, то действительно не имелось бы никакого совместного движения. Фургон и лошадь, стоящие на очень скользком льду, не сдвинулись бы с места, независимо от того, как барахталась бы лошадь. На обычном же основании (земле) существуют фрикциональные эффекты. Лошадь прикладывает силу к Земле, а Земля прикладывает противосилу на лошадь (и связанный с ней фургон). Следовательно, лошадь перемешается вперед, а Земля — назад.
Но так как Земля имеет массу намного большую, чем лошадь, то ее ускорение назад (помните, что ускорение, произведенное силой, обратно пропорционально массе ускоряемого тела) настолько мало, что практически неизмеримо. Мы видим только движение лошади, и поэтому нам кажется, что лошадь тянет фургон. Достаточно трудно осознать, что фургон в то же время тянет лошадь.
Еще будучи двадцатилетним, Ньютон обратил внимание на очень важный и глубокий вопрос. Законы движения применимы только к Земле или они справедливы и для небесных тел? Наблюдая на ферме матери падение яблока с дерева, он стал задаваться вопросом, действуют ли на Луну те же силы, что и на яблоко.
На первый взгляд могло бы показаться, что Луна не может быть во власти той же самой силы, что и яблоко, поскольку яблоко упало на Землю, а Луна этого не делает. Конечно, если бы одна и та же самая сила была приложена к обоим этим объектам, то она вызвала бы одно и то же ускорение, и они бы оба упали. Однако это — упрощение. Что, если Луна действительно находится во власти той же самой силы, что и яблоко, и поэтому перемещается вниз к Земле; но, кроме того, что, если Луна также подвержена второму движению? Что, если комбинацией этих двух движений является такое, которое заставляет Луну кружиться над Землей и никогда не падать на нее?
Это понятие полного движения, составленного из двух или более движений в различных направлениях, было весьма нелегким для восприятия концепцией для ученых того времени. Когда Николай Коперник (1473–1543) предположил, что Земля вращается вокруг Солнца (а не наоборот), некоторые из наиболее ярых возражений были те, что, если Земля вращается на своей оси и (что еще хуже) перемещается в пространстве в своем вращении вокруг Солнца, на поверхности Земли невозможно будет находиться чему-либо подвижному. Любой, кто подпрыгнул бы в воздух, опустился бы на много ярдов дальше, так как земля под ним передвигалась бы в то время, как он был в воздухе. Спорящие таким образом были настолько уверены в очевидности своих аргументов, что даже не принимали никаких возражений.
Те, кто принимал коперниковское понятие о движении Земли, должны были доказать, что для объекта действительно возможно обладать двумя движениями сразу: то есть что прыгающий человек во время перемещения вверх и вниз может также двигаться вместе с поворачивающейся Землей и поэтому опускается на то же самое место, с которого он прыгал вверх.
Галилео показал, что объект, брошенный вниз с верхушки мачты двигающегося судна, упал в точку у основания мачты. Судно не «выехало» из-под падающего объекта, и он не упал в море. Следовательно, падающий объект, в то время как он перемещался вниз, должно быть, также участвовал и в горизонтальном движении судна. На практике Галилео не пробовал выполнить описанное выше, он предложил то, что сегодня мы называем «мысленный эксперимент». Но даже при том, что данный эксперимент был предложен только в мысленной форме, он был крайне убедительным; суда плавали по морям в течение тысяч лет, и множество предметов, должно быть, было сброшено с верхушек мачт в течение всех этих лет, и все же ни один моряк никогда не сообщал о том, что судно выплыло из-под падающего предмета. (И конечно, в наше время мы можем щелкать монетами о край бьющей струи и ловить их, поскольку они снижаются, без того, чтобы переместить нашу руку. Монета участвует в движении струи, а также — в перемещении вверх и вниз.)
Почему тогда некоторые ученые XVI и XVII столетий уверенно утверждали, что объекты не могут обладать двумя различными движениями одновременно? Очевидно, потому, что они все еще «страдали греческой болезнью» — принимать за основу кажущиеся явными основные предположения и не всегда испытывать необходимость проверить эти заключения в условиях реальной Вселенной.
Например, ученые XVI столетия рассуждали, что снаряд, которым выстрелили из орудия или катапульты, потенциально подчиняется воздействию двух движений: во-первых, импульса, данного ему орудием или катапультой и, во-вторых, его «естественного движения» к земле. Предположив для начала, что объект не может обладать двумя движениями одновременно, можно сделать справедливый вывод, что одно движение должно закончиться перед тем, как начнется второе. Другими словами, утверждается, что пушечное ядро будет перемещаться по прямой в направлении выстрела, пока импульс, вызванный взрывом пороха, не исчерпает себя, а затем — упадет вниз, по прямой.
Галилео придерживался весьма отличной от такой точки зрения. Безусловно, снаряд будет перемещаться вперед, в направлении выстрела из орудия. Больше того — он будет делать это с постоянной скоростью, так как сила взрыва пороха была приложена к нему только один раз и больше не прикладывалась. (Как позже объяснил Ньютон — без непрерывной силы не существует и непрерывного ускорения.) Кроме того, однако, пушечное ядро начинает снижаться, как только оно покидает ствол орудия, в соответствии с законами падающих тел, причем с постоянно увеличивающейся скоростью, увеличивающейся из-за постоянного ускорения (вызванного благодаря непрерывному присутствию постоянной силы тяжести). Легко показать геометрическими методами, что объект, который передвигается в одном направлении с постоянной скоростью, а в другом — со скоростью, которая возрастает прямо пропорционально со временем, будет двигаться по кривой, называемой «парабола». Галилео также доказал, что максимальная дальность полета пушечного ядра будет достигаться в том случае, если орудие будет направлено вверх под углом 45° к земле.
Орудие, направленное под некоторым углом к горизонту, способно было бы доставить пушечное ядро на одно расстояние, если ранние представления о движении пушечного ядра были правильны, и на совсем другое расстояние в том случае, если верными были взгляды Галилео. Показать, что именно подход Галилео был верным, не представляло особой трудности.
Действительно, во все времена стрелки, которые, возможно, и не понимали много в теории, нацеливали свои орудия так, чтобы воспользоваться преимуществами параболического движения пушечного ядра. Короче говоря, возможность тела обладать двумя или более движениями одновременно ни разу не была подвергнута сомнению со времен Галилео.
Каким же образом можно сложить отдельные движения и получить результирующую этих движений? Это может быть сделано при помощи векторного сложения, по методу, наиболее легко представляемому в геометрической форме. Рассмотрим два движения в различных направлениях, эти два направления находятся под углом α друг к другу. (Символ α — греческая буква «альфа». Греческие буквы вообще часто используются в физике в качестве символов, чтобы ослабить нагрузку на обычные буквы алфавита.) Эти два движения могут тогда быть представлены двумя стрелками, находящимися под углом α, а длина этих двух стрелок пропорциональна соответствующим им скоростям. (Если одна скорость вдвое больше другой, то и соответствующая стрелка в два раза больше другой.) Если мы представим эти две стрелки как стороны параллелограмма, то результирующее движение, созданное из двух составляющих движений, может быть диагональю этого параллелограмма, которая находится в промежутке между направлениями составляющих компонентов.
Зная значения этих двух скоростей и угла между ними, можно вычислить значение и направление результирующей скорости даже и без геометрических построений, хотя последние всегда полезны в качестве зрительной помощи. Например, если одна скорость — 3 м/с в одном направлении, а другая — 4 м/с в направлении перпендикулярном (под прямым углом к) первому, то результирующая скорость — 5 м/с, в направлении, которое составляет угол менее чем 37° с большим компонентом и более чем 53° — с меньшим.
Таким же образом данная конкретная скорость может быть разложена на две составляющие скорости. Если мы выразим данную скорость как диагональ параллелограмма, то две из смежных сторон параллелограмма представят собой составляющие скорости. Это может быть проделано бесконечное число раз, так как линия, представляющая скорость или силу, может быть представлена диагональю бесконечного числа параллелограммов. Однако удобно, чтобы скорость была разложена на компоненты, которые находятся под прямыми углами друг к другу. В этом случае параллелограмм превращается в прямоугольник.
Этот метод использования параллелограмма может применяться для сложения или разложения любого количества векторов. Данный метод очень часто используется для расчета сил, и поэтому обычно его называют «параллелограммом сил».
Теперь позвольте нам вернуться к Луне. Относительно Земли она двигается по эллиптической орбите. Однако эллипс, который она описывает в своем вращении вокруг Земли, очень близок по форме к кругу. Луна путешествует по этой орбите со скоростью, которая близка к постоянной.
Хотя линейная скорость Луны почти постоянна, ее векторная скорость, конечно, — нет. Так как Луна перемещается по кривой, направление ее движения в каждый данный момент времени изменяется, и поэтому ее векторная скорость изменяется тоже. Если мы говорим, что векторная скорость Луны непрерывно изменяется, то, конечно, должны сказать, что она подвергается постоянному ускорению.
Если же мы рассматриваем Луну как перемещающуюся с постоянной скоростью по равномерно круговому пути (что является, по крайней мере приблизительно, истинным), то мы можем сказать, что в каждую последовательную единицу времени направление ее движения изменяется на одну и ту же величину. Поэтому она испытывает постоянное ускорение и, согласно второму закону движения Ньютона, должна быть подчинена воздействию постоянной силы. Поскольку изменение в направлении движения всегда направлено к Земле, то ускорение и соответственно сила тоже должны быть направлены к Земле.
Конечно, если имеется сила, притягивающая Луну к Земле, это может быть та же хорошо известная сила, которая притягивает яблоко к земле. Однако, если это было бы так и Луна испытывала бы постоянное ускорение, направленное к Земле при наличии постоянной силы, почему же она не падает на Землю, как делает яблоко?
Чтобы понять, почему этого не происходит, мы должны разложить движение Луны на две составляющие движения, находящиеся под прямым углом друг к другу. Одна из составляющих направлена как стрелка, указывающая на Землю, по радиусу круговой орбиты Луны. Она представляет собой движение в ответ на силу, притягивающую Луну к Земле. Другая составляющая направлена под прямым углом к первой и, таким образом, представляет собой касательную к кругу орбиты Луны. И Луна бы двигалась по касательному движению, если бы не имелось никакой силы, притягивающей ее к Земле. Фактическое же движение лежит между этими двумя составляющими. Луна, другими словами, всегда падает на Землю, но в то же самое время также «отступает в сторону».
В некотором смысле это «отступление» означает, что поверхность Земли отходит от Луны с такой же скоростью, как Луна приближается к ней, падая. Таким образом, расстояние между Землей и Луной остается неизменным. Чтобы было более понятно, представим себе снаряд, выстреленный горизонтально с вершины горы на земле, и развивающий все большую и большую скорость. Чем больше скорость, тем дальше перемещается снаряд, прежде чем удариться о землю. Чем дальше он перемещается, тем дальше от него сферическая земная поверхность, таким образом увеличивается перемещение снаряда. Ну и наконец, если снаряд выстрелен вперед с достаточной скоростью, высота его падения становится равной величине кривизны земной поверхности, и снаряд «остается на орбите». Именно так на орбиту Земли выводят искусственные спутники, и именно поэтому Луна не падает на Землю, а остается на орбите.
При рассмотрении движения Луны мы должны учитывать только ту составляющую движения, которая направлена к Земле. Естественно возникает вопрос: не является ли этот компонент результатом действия той же силы, которая притягивает к земле яблоко? Ну что же, давайте обратимся к яблоку и посмотрим, как интерпретировать силу взаимодействия между ним и землей в свете законов движения.
Во-первых, все яблоки падают с одним и тем же ускорением, независимо от того, насколько они массивны. Но если одно яблоко имеет массу вдвое большую, чем второе яблоко, и все же падает с тем же самым ускорением, то на первое яблоко должна воздействовать вдвое большая сила (согласно второму закону движения). Сила, притягивающая яблоко к земле (часто ее называют весом яблока), должна быть пропорциональна массе яблока.
Но согласно третьему закону движения всякий раз, когда одно тело прикладывает силу к другому, второе прикладывает равную и противоположную силу к первому. Это означает, что, если Земля привлекает яблоко с некоторой нисходящей силой, яблоко привлекает Землю с равной восходящей силой.
Это кажется странным. Как крошечное яблоко может проявлять силу, равную той, что проявлена огромной Землей? Если бы это происходило, то можно было бы ожидать, что яблоко притянет к себе другие объекты, как это делает Земля, но этого, конечно, не происходит. Логично было бы объяснить это предположением, что сила притяжения между яблоком и землей зависит не только от массы яблока, но также и от массы Земли. Она не может зависеть от суммы масс, поскольку, когда мы удвоим массу яблока, суммарная масса яблока и Земли остается примерно прежней, в то время как сила притяжения удваивается. Очевидно, что она должна зависеть не от суммы масс, а от произведения масс.
Если мы умножаем массы, маленькая масса оказывает столь же сильный эффект на конечное произведение, как и большая. Таким образом, результатом умножения малого количества a на огромное количество b является произведение ab. Если теперь мы удвоим a, оно становится равным 2a. Если мы умножаем его на b, произведение становится равным 2ab. Таким образом, при удвоении одного из двух множителей в умножении маленький множитель может удвоить произведение. И удвоение массы яблока удваивает размер силы между яблоком и Землей.
Что же касается притяжения яблоком какого-либо другого объекта обычного размера, оно существует, но столь мало заметно из-за того, что произведение масс этих объектов составляет ничтожно малую часть от произведения массы этого объекта и массы Земли. Сила притяжения между двумя объектами обычного размера соответственно меньшая, и, несмотря на то что такая сила существует, она настолько бесконечно мала, что никак не может обнаружить себя при нормальном состоянии вещей.
Так как Земля притягивает все материальные объекты к себе (даже газообразная атмосфера крепко привязана к планете благодаря силе тяготения), может показаться, что сила тяготения в любой форме порождается массой Земли. Однако Земля вовсе не должна быть вовлечена. Любые две массы должны взаимодействовать гравитационно, и если мы замечаем силу, только когда вовлечена Земля, то потому, что сама наша Земля — единственное тело в нашем окружении достаточно массивное, чтобы породить силу тяготения, достаточно большую, чтобы заявить нам о своем существовании.
Такова сущность вклада Ньютона. Он не открывал закон тяготения в том смысле, что все земные объекты привлечены к земле. (Эта ограниченная концепция, по крайней мере, столь же стара, как Аристотель, а слово «тяжесть» использовалось в этом смысле в течение многих столетий до Ньютона.) Ньютон указал на то, что все существующие массы притягивают другие массы, таким образом, притяжение Земли не является уникальным. Ньютон утверждал, что между любыми двумя материальными телами во Вселенной имеется гравитационное притяжение, его обобщение называется «универсальный закон всемирного тяготения», и прилагательное «универсальный» — наиболее важное слово в этом названии.
Если бы это было все, то мы могли бы теперь рассчитать величину составляющей движения Луны, которая направлена к Земле. Все тела, падая на Землю, движутся с одним и тем же ускорением, и поэтому казалось бы логичным решить, что Луна, находясь во власти той же самой силы притяжения, должна делать так же. За одну секунду она должна падать на Землю приблизительно на 4,9 метра. Фактически же составляющая движения Луны к Земле — намного меньше.
Чтобы объяснить это, можно было предположить, что сила тяготения Земли ослабляется с расстоянием, и это кажется разумной гипотезой. Опыт показывает нам, что существует много вещей, которые ослабляются с расстоянием. Так происходит со светом и звуком — двумя наиболее привычными явлениями, с которыми человек всегда был знаком.
И все же — был ли вывод о таком ослаблении поддержан экспериментальным свидетельством?
На первый взгляд может показаться, что не было. Камень, брошенный вниз с высоты 100 метров, падает с ускорением 9,8 м/с2, а другой камень, брошенный вниз с высоты 200 метров, падает с тем же ускорением. Если сила тяготения уменьшается с удалением от Земли, разве не должно паление с большей высоты вызывать меньшее ускорение? Разве ускорение не должно равномерно увеличиваться по мере приближения камня к земле, вместо того чтобы оставаться постоянным, как оно это делает?
Но взгляд Ньютона на эту проблему состоит в том, что все тела привлекают к себе все другие тела. Падающий камень привлекается не только той частью Земли, которая представляет собой ее поверхность непосредственно под ним, но также и той ее частью, которая находится глубже, вплоть до центра и далее, к антиподам, на расстояние 12 740 километров (8000 миль). Он также притягивается и всеми остальными частями во всех направлениях: на север, восток, юг, запад, и во всех промежуточных точках.
Кажется вполне разумным, что для тела, подобного Земле, которая имеет почти правильную сферическую форму, мы могли бы упростить этот вопрос. Притяжение с севера компенсируется притяжением с юга; притяжение с запада компенсируется притяжением с востока; отдаленное притяжение антиподов компенсируется притяжением поверхности непосредственно под нами и так далее. То есть мы можем предположить, что результирующее влияние — полное притяжение Земли — сконцентрировано точно в ее центре.
Радиус Земли равен приблизительно 6370 километрам (3960 милям). Объект, падающий с высоты 100 метров (0,1 километра), начинает свое падение поэтому с точки, находящейся на расстоянии 6370,1 километра от центра Земли, в то время как другой объект, падающий с высоты 200 метров, начинает свое падение с точки, находящейся на расстоянии 6370,2 километра от центра. Различие в силе при такой разнице в расстоянии настолько незначительно, что гравитационное притяжение на таком маленьком расстоянии может рассматриваться в качестве константы. (На самом деле современные инструменты со значительной точностью могут измерять разницу в силе поля тяготения даже при такой маленькой разнице в расстояниях.)
Однако расстояние от Луны до Земли (от центра до центра) в среднем равно 384 500 километрам (239 000 миль). Это — в 60,3 раза дальше от центра Земли, чем в случае, когда объект находится на ее поверхности. При увеличении расстояния в 60 раз сила тяготения могла бы действительно значительно уменьшиться.
Но насколько — «значительно»? Земля притягивает тела по всей своей поверхности, поэтому сила тяготения может рассматриваться как излучение, направленное наружу от Земли во всех направлениях. Если сила действительно делает это, то оно, направленное излучение, может рассматриваться в виде поверхности сферы, которая расширяется все больше и больше, по мере того как отступает от Земли. Если некое установленное количество силы тяготения распространено по поверхности такой растущей сферы, то интенсивность силы на некоем данном месте на поверхности должна уменьшаться, поскольку площадь поверхности возрастает.
Из стереометрии известно, что площадь поверхности сферы находится в прямой пропорции к квадрату ее радиуса. Если одна сфера имеет радиус в три раза больше другого, то площадь ее поверхности больше в девять раз.