По мере того как расстояние между двумя телами увеличивается, сила тяготения между ними должна изменяться обратно пропорционально квадрату этого расстояния. (Такие взаимосвязи хорошо известны как «обратно квадратичная зависимость». Не только тяготение, но и такие явления, как интенсивность света, интенсивность магнитного притяжения и интенсивность электростатического притяжения, ослабляются таким же образом.)
Сравнивая движение Луны и движение яблока к поверхности Земли, мы должны помнить, что Луна в 60,3 раза дальше от центра Земли, чем яблоко, и что сила тяготения на Луне является более слабой: коэффициент ослабления 60,3 на 60,3, или в 3636 раз. Принимая во внимание, что яблоко падает в первую секунду на 4,9 метра, Луна за то же время должна упасть на расстояние, умноженное на 1/3636, или 0,0013 метра за секунду падения. (Тысячная часть метра — миллиметр, поэтому 0,0013 метра равны 1,3 миллиметра.)
Действительно, астрономические измерения показывают, что Луна в своем движении по орбите вокруг Земли в каждую секунду отклоняется от прямого курса примерно на 1,3 миллиметра. Уже на основании одного этого можно было с достаточной вероятностью подтвердить, что та же самая сила, которая притягивает яблоко, притягивает и Луну. Однако Ньютон продолжил свои исследования и показал, что сила тяготения универсально объясняет такие факты: что орбита Луны относительно Земли представляет собой эллипс, с Землей, находящейся в одном фокусе; что планеты вращаются относительно Солнца в такой же эллиптической манере; что приливы существуют и ведут себя именно так; что имеет место прецессия равноденствий и так далее. Одно простое и ясное обобщение объяснило так много, что это было с восторгом принято всем научным сообществом.
Через столетие после смерти Ньютона немецко-английский астроном Уильям Гершель (1738–1822) обнаружил признаки существования далеких звезд, которые вращались относительно друг друга в строгом соответствии с ньютоновским законом всемирного тяготения, и тем самым еще раз подтвердил его универсальность. Невидимые планеты были в конечном счете обнаружены благодаря слабым гравитационным эффектам, которые могли произойти только благодаря их невидимому присутствию. Неудивительно, что закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном, часто называют «самым большим отдельным открытием в истории науки».
Ньютон открыл обобщение, что любые два тела во Вселенной притягивают друг друга с силой (f), которая прямо пропорциональна произведению масс (m и m) тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния (d) между ними. Чтобы преобразовать пропорцию в равенство, конечно, необходимо подставить константу. Упомянутая в данном случае константа обычно называется «гравитационной постоянной» и обозначается символом G. Таким образом, ньютоновский закон всемирного тяготения может быть выражен как:
Проблемой, которую Ньютон оставил нерешенной, было значение G.
Чтобы понять, почему проблема не была решена, давайте рассмотрим известный случай падения яблока и попробуем заменить значения в уравнении 4.1 единицами измерения в системе МКС. Мы знаем значение расстояния от яблока до центра Земли и можем установить d; оно равно 6 370 000 метрам. Имеются различные пути измерения массы яблока, но мы можем установить его, например, в 0,1 килограмма. Что касается величины силы тяготения (F) между яблоком и Землей, то она равна (см. уравнение 3.3), согласно ньютоновскому второму закону движения, произведению массы яблока на ускорение, которому оно подверглось под воздействием силы тяжести. Таким образом, значение Нравно — 0,1 кг умножить на 9,8 м/с2, или 0,98 кг∙м/с2.
Однако тут мы видим еще два неопределенных значения: G — гравитационная постоянная и m — масса Земли. Если бы мы знали любое из них, то могли бы сразу вычислить другое, но Ньютон не знал, так же как и кто-либо другой в его время.
(Вы могли бы задать вопрос: не могли ли бы мы сократить константу в уравнении 4.1, так же как мы это сделали в уравнении 3.3? Однако это было сделано надлежащим выбором единиц измерения. Мы могли бы и здесь сделать так же, изобретя единицу, которую назвали бы, например, «земной единицей», и сказав, что Земля имеет массу в 1 земную единицу. Мы могли бы и далее изобретать подобные произвольные единицы измерения: для массы яблока и расстояния яблока от центра Земли и так далее. Однако такие уловки имели бы ограниченное значение. Недостаточно знать, что Земля имеет массу в 1 земную единицу. Мы хотим знать массу Земли в знакомых терминах, например в единицах измерения системы МКС. А для этого мы должны знать значение G в системе МКС.)
Закон всемирного тяготения подразумевает, что значение G — одно и то же при любых условиях. Поэтому если бы мы могли измерить силу тяготения между двумя телами известной массы, отдаленных друг от друга на известное расстояние, то смогли бы сразу определить значение G, а после этого — и массу Земли.
К сожалению, сила тяжести, наверное, самая слабая из известных сил, существующих в природе. Требуется тело, имеющее размер, сопоставимый с огромным размером Земли, чтобы произвести силу тяготения достаточную, для ускорения в 9,8 м/с2. Небольшие усилия, которые могут быть произведены всего несколькими фунтами мускулов, способны противостоять всей силе тяготения всякий раз, когда мы отжимаемся, подтягиваемся, прыгаем вверх или поднимаемся на гору.
Для тел, которые являются большими, хотя и менее массивными, чем Земля, уменьшение силы тяготения имеет решающее значение. Благодаря силе тяжести Земля обеспечивает устойчивый «захват» своей мощной атмосферы, а вот сила тяжести планеты Марс, который имеет массу, равную только 1/10 массы Земли, может удержать только тонкую атмосферу. Луна имеет огромную массу по обычным стандартам, однако она равна только 1/81 массы Земли и имеет силу тяготения слишком слабую, чтобы удержать какую-либо атмосферу вообще.
Когда мы рассматриваем тела обычного размера, произведенные ими силы тяготения совершенно незначащие. Масса горы проявляет по отношению к вам гравитационное притяжение, но вы не испытываете никаких трудностей, удаляясь от этой горы.
Поэтому главной является проблема, как измерить столь слабую силу, какой является сила тяжести. Мы могли бы размышлять о возможных путях измерения сил тяготения между двумя соседними горами, но собственные массы гор не намного меньше, чем масса Земли. Кроме того, горы имеют неправильную форму, а сила тяготения сконцентрирована в некотором «центральном положении», которое было бы трудно определить.
Поэтому мы должны измерять силы тяготения, происходящие в симметричных телах, достаточно маленьких, чтобы быть легко обработанными в пределах лаборатории, но измерение крошечных сил тяготения, которые вызываются такими телами, может оказаться далеко за пределами существующих у нас возможностей.
Начало решения проблемы было заложено еще во времена Ньютона благодаря работам английского ученого Роберта Гука (1635–1703). Как предварительное объяснение к работе Гука, позвольте мне напомнить вам, что когда силы прикладываются к телу, то в результате воздействия этих сил тело часто изменяет свою форму. Если деревянная доска положена на две опоры и кто-то садится в центре, то доска согнется под грузом. Если резиновый жгут потянуть за оба конца в противоположных направлениях, он растянется. Если сжать в кулаке губку, то она сомнется, а если вращать ее концы в противоположных направлениях, она будет скручиваться. Если нажать справа на один ее конец и слева — на другой, не позволяя ей вращаться, она будет уплотняться.
Все эти типы деформирующих сил могут быть названы «нагрузками». Изменения, которым подвергается тело под воздействием нагрузок, называется «деформация».
Когда в результате воздействия нагрузок объект подвергается деформации, может получиться так, что после того, как мы удалили нагрузку, объект восстанавливает свою первоначальную форму. Деревянная доска распрямляется, после того как вы встаете; резиновый жгут стягивается, после того как отпустили его концы; губка, выпущенная из рук сжимающего, крутящего или уплотняющего ее, прыгает назад. Опять же стальной шар сплющивается после удара о землю, так же как бейсбольный мяч после удара битой или шар для гольфа после удара клюшки. Когда деформирующая сила пропала, все сферы становятся прежними. Эта тенденция возвращаться к первоначальной форме после деформации под нагрузкой называется «эластичность» или упругость.
У любой материи имеется предел упругости — точка, после которой нагрузка на тело произведет его постоянную деформацию. Для материала типа воска эта точка может быть легко достигнута, и даже слабые нагрузки заставят кусок воска постоянно изменять свою форму. (Он скорее пластичен, чем эластичен.) Если приложить слишком большое усилие к неукрепленному центру деревянной доски, она сломается. Резиновый шнур при слишком большом растяжении будет «звенеть» (и лопнет). Стальной шар при слишком большом сжатии сплющится.
Однако, если работать с нагрузками недостаточно большими, чтобы превзойти этот предел, можно, как это сделал Гук, прийти к весьма полезному обобщению, которое может быть кратко выражено следующим образом: «Деформация пропорциональна нагрузке».
Это выражение называется законом Гука. Как можно увидеть из закона Гука, если сила x растягивает пружину на расстояние y, то сила 2x будет растягивать ее на расстояние 2y, а сила x/2 будет растягивать ее на расстояние y/2. Предположим тогда, что величина растяжения, которое произвела некая известная сила, измерено. Тогда любая сила неизвестной величины (в диапазоне предела упругости) может быть измерена величиной деформации, которую произвела эта нагрузка.
Этот принцип может применяться к любому другому виду нагрузок, который производит легко измеряемую деформацию, например к кручению или искривлению эластичного прутка и волокна. Когда, для того чтобы измерить размер неизвестной нагрузки но величине скручивания, используется кручение, установка, на которой производятся измерения, называется «крутильными весами». Если взять чрезвычайно тонкое волокно, которое может быть искривлено даже очень маленькими силами, становится понятно, что даже крошечные силы тяготения могут быть измерены.
В 1798 году английский ученый Генри Кавендиш (1731–1810) использовал для этой цели тонкие крутильные весы.
Его крутильные весы состояли из легкого прута, подвешенного за середину на тонком проводе приблизительно в ярд длиной. На каждом из концов легкого прута находился свинцовый шар диаметром приблизительно в два дюйма. Вообразите себе силу, приложенную к каждому свинцовому шару в противоположных направлениях и под прямым углом к пруту и к тонкому проводу. Чрезвычайно маленьких сил было бы вполне достаточно, чтобы заставить провод скручиваться.
В качестве предварительного шага Кавендиш приложил чрезвычайно маленькие силы, чтобы определить получающееся количество смещения. Затем, тщательно экранируя свой аппарат от воздушных потоков, он принес два больших свинцовых шара, каждый приблизительно восемь дюймов в диаметре, и расположил их почти в контакте с маленькими свинцовыми шарами, но на противоположных сторонах. Сила тяготения между свинцовыми шарами теперь произвела скручивание в волокне, и, зная полный угол скручивания, Кавендиш смог измерить величину силы, возникшей между маленьким и большим свинцовыми шарами. (Оказалось, что она равна примерно 1/2000000ньютона.)
Теперь предположим, что мы преобразуем уравнение 4.1 следующим образом:
Зная значение F, измеренного по методике, описанной выше, достаточно просто измерить массу свинцовых шаров (m и m’) и расстояние между их центрами (d). Как только все значения символов на правой стороне уравнения стали известны, вычислить значение G — простая арифметическая задача. (Так как единицы измерения F в системе МКС — кг∙м/с2, единицами d2, m2 и mm’ являются соответственно метры на метры и килограммы на килограммы, то есть кг2; единица измерения G, полученная из уравнения 4.2, равна (кг∙м/с2) м2)/(кг2), или м3/кг∙с2.)
Лучший современный расчет дает нам значение G, равное 0,0000000000667 м3/кг∙с2, конечно же достаточно крошечное значение. Надо отдать должное большому таланту Кавендиша-экспериментатора, потому что в еще в первом своем измерении он получил значение очень близкое к этому.
Предположим, теперь мы преобразуем уравнение 4.1 следующим образом:
И попытаемся еще раз определить массу Земли (m’). Мы уже имеем, в системе МКС, значение для F, равное 0,98, значение d, равное 6 370 000 и значение (m) равное 0,1. Если мы теперь добавим значение G равное 0,0000000000667, то вычислить массу Земли m — простая арифметика. Как вы можете увидеть, т равно (0,98)∙(6 370 000)∙(6 370 000), деленное на (0,0000000000667)∙(0,1), или, примерно, 6 000 000 000 000 000 000 000 000 килограммов.
Физики обычно выражают такие большие числа как степени числа 10. Таким образом, 1 000 000 обычно записывают в виде 106, что выражает произведение шестидесяти. Экспонента (для чисел больше 1) показывает число нулей в исходном числе. Из этого следует, что 6 500 000 равно 6,5∙106. Отрицательные экспоненты выражают числа меньше чем 1, то есть 106 равно 1/106 или 1/1000000, или 0,000001. То есть 0,00000235 равно 2,35∙10–6.
Используя такую экспоненциальную систему обозначений, можно записать значение G = 6,67∙10-11 м3/кг∙с2, а массу Земли как т = 6∙1024 кг. (В системе СГС значение G = 6,67∙10-8 см3/г∙с2, а масса Земли равна 6∙1027 г.)
Определяя значение G, Кавендиш в действительности определил массу Земли. По этой причине о Кавендише часто говорят как о «том, кто взвесил Землю», но на самом деле он сделал совсем не это.
В обычном языке слова «вес» и «масса» часто имеют одно и то же значение, а о теле часто говорят как о «тяжелом» или «массивном»; даже физики иногда попадают в эту западню. Однако рассмотрим, что такое вес. Вес тела — это сила, с которой тело притягивается к земле. Повторяю, вес — это сила, и единицы измерения он имеет как у силы!
Простой путь измерения веса объекта состоит в том, чтобы подвесить его на кольцевую пружину. В соответствии с законом Гука сила, с которой тело притягивается к Земле, будет растягивать пружину; величина же растяжения (или деформации) пропорциональна силе растяжения (или нагрузке). Именно по этому принципу устроены для измерения веса приборы такого типа — пружинные весы.
Масса тела, с другой стороны, является количеством инерции, которой оно обладает. Согласно второму закону Ньютона, m = f/a, то есть это — сила, разделенная на ускорение. Вес, который является силой, должен в соответствии с тем же самым законом быть массой, умноженной на ускорение. В случае веса, который является силой воздействия поля тяготения Земли на тело, рассматриваемое ускорение, естественно, является тем, что произведено полем тяготения земли.
Вес тела (w), другими словами, равен массе (m) этого тела, умноженной на ускорение свободного падения (g), возникшее благодаря земной гравитации (то есть — силе притяжения Земли):
Так как значение g при обычных условиях примерно постоянно, вес, можно сказать, прямо пропорционален массе тела. Сказать, что A является в 3,65 раза столь же массивным, как В, эквивалентно тому, чтобы сказать, что при обычных условиях А является в 3,65 раза более тяжелым, чем В. Поскольку эти два утверждения обычно эквивалентны, существует сильное искушение признать их синонимами, и в этом и скрывается источник путаницы между массой и весом.
Эта путаница еще ухудшается тем, что для них используются общие единицы измерения. Тело массой в один килограмм, как обычно считают, имеет и вес в один килограмм. В системе МКС, однако, единицы измерения m — килограммы (кг), а единицы измерения g — м/с2. Так как вес равен массе, умноженной на ускорение свободного падения (mg), то единицы измерения веса — кг-м/с2, или Н (ньютоны). Таким образом, при нормальных условиях один килограмм массы проявляет 9,8 Н силы.
Килограмм веса (который может быть сокращен как кг (веса), чтобы отличить его от килограмма массы) не равен 1 кг, а равен 9,8 Н. В системе СГС g равно 980 см/с2. Таким образом, вес тела с массой 1 г равен 1 г, умноженному на 980 см/с2, или 980 г∙см/с2. Следовательно, 1 г (веса) равняется 980 динам.
Все это может показаться вам излишне пуристическим — созданием различий там, где их на самом деле нет. В конце концов, если вес и масса всегда изменяются одинаковым образом, зачем так много беспокоиться относительно того, что есть что?
Дело в том, что масса и вес не всегда изменяются одинаково. Они связаны с g, а значение g не является константой при любых условиях.
Сила тяготения (F), которую Земля проявляет на некотором произвольно взятом теле, равна mg, как это показано в уравнении 5.1. Но она также равна Gmm’/d2, как это показано в уравнении 4.1. Поэтому mg = Gmm’/d2, или, если разделить обе части уравнения на m:
Из величин, от которых зависит значение g в уравнении 5.2, гравитационная постоянная (G) и масса земли (m’) могут рассматриваться как константы. Значение d, однако, которое является расстоянием от тела до центра Земли, — конечно, не константа, и (g) изменяется обратно пропорционально квадрату этого расстояния.