Фейнмановские лекции по физике 7 - Фейнман Ричард Филлипс 8 стр.

Так что мы действительно можем выразить силу, действующую на произвольную площадь, через элементы S_ij и полностью описать внутреннее напряжение.

Уравнение (31.24) говорит, что тензор S_ij связывает силу S_n с единичным вектором n точно так же, как a_ij связывает Р с Е. Но поскольку n и S_n — векторы, то компоненты S_ij при изменении осей координат должны преобразовываться как тензор. Так что S_ij действительно тензор.

Можно также доказать, что S_ij симметричный тензор. Для этого нужно обратить внимание на силы действующие на маленький кубик материале. Возьмем кубик, rpaни которого параллельны осям координат, и посмотрим на eго разрез (фиг. 31.9).

где e_i— электрическое поле, a P_ijk— пьезоэлектрические коэф­фициенты (пьезомодули), составляющие тензор. Можете ли вы сами доказать, что если у кристалла есть центр инверсии (т. е. если он инвариантен относительно замены х, у, z®-х,-y,-z), то все его пьезоэлектрические коэффициенты равны нулю.

§ 8. Четырехмерный тензор электро­магнитного импульса

Все тензоры, с которыми мы сталкивались в этой главе, были связаны с трехмерным пространством; они определялись как величины, имеющие известные трансформационные свойства при пространственных поворотах. А вот в гл. 26 (вып. 6) мы имели возможность воспользоваться тензором в четырехмерном про­странстве-времени: это был тензор электромагнитного поля F_mv. Компоненты такого четырехмерного тензора особым образом преобразуются при преобразованиях Лоренца. (Мы этого, прав­да, не делали, но могли бы рассматривать преобразования Ло­ренца как своего рода «вращение» в четырехмерном «простран­стве», называемом пространством Минковского; тогда аналогия с тем, что мы рассматривали здесь, была бы ярче.)

В качестве последнего примера мы хотим рассмотреть дру­гой тензор в четырех измерениях (t, x, y, z) теории относитель­ности. Когда мы говорили о тензоре напряжений, то опреде­ляли S_ij как компоненту силы, действующую на единичную площадку. Но сила равна скорости изменения импульса со временем. Поэтому вместо того, чтобы говорить «S_xy — это х-компонента силы, действующей на единичную площадку, пер­пендикулярную оси у», мы с равным правом могли бы сказать: «S_xy — это скорость потока x-компоненты импульса через еди­ничную площадку, перпендикулярную оси у». Другими словами, каждый член S_ij представляет поток i-й компоненты импульса через единичную площадку, перпендикулярную оси j. Так обстоит дело с чисто пространственными компонентами, но они составляют только часть «большего» тензора S_mv в четырехмер­ном пространстве m. и v=t, x, у, z), содержащего еще дополни­тельные компоненты S_tx, S _yt, S_tt и т. п. Попытаемся теперь выяс­нить физический смысл этих дополнительных компонент.

Нам известно, что пространственные компоненты представ­ляют поток импульса. Чтобы найти ключ к распространению этого понятия на «временное направление», обратимся к «по­току» другого рода — потоку электрического заряда. Скорость потока скалярной величины, подобной заряду (через единичную площадь, перпендикулярную потоку), является пространствен­ным вектором — вектором плотности тока j. Мы видели, что временная компонента вектора потока — это плотность теку­щего вещества. Например, j можно скомбинировать с плотно­стью заряда j_t=r и получить четырехвектор j_m=(r, j), т. е. значок m у вектора j_m принимает четыре значения: t, х, у, z. Это означает «плотность», «скорость потока в x-направлении», «скорость потока в y-направлении» и «скорость потока в z-направлении» скалярного заряда.

Теперь по аналогии с нашим утверждением о временной ком­поненте потока скалярной величины можно ожидать, что вместе c S_xx,S_xy и S_xz, описывающими поток x-компоненты импульса, должна быть и временная компонента S_xt , которая по идее дол­жна бы описывать плотность того, что течет, т. е. S_xt должна быть плотностью х-компоненты импульса. Таким образом, мы можем расширить наш тензор по горизонтали, включив в него t-компоненты, и в нашем распоряжении оказываются:

S_xt — плотность x-компоненты импульса,

S_xx — поток z-компоненты импульса в направлении оси х,

S_xy — поток y-компоненты импульса в направлении оси у,

S_xz — поток z-компоненты импульса в направлении оси z.

Аналогичная вещь происходит и с y-компонентой; у нас есть три компоненты потока: S_yx , S_yy и S_yz , к которым нужно добавить четвертый член:

S_yt — плотность y-компоненты импульса,

а к трем компонентам S_zx, S_zy и S_zz мы добавляем

S_zt — плотность z-компоненты импульса.

В четырехмерном пространстве у импульса существует также и t-компонента, которой, как мы знаем, является энер­гия. Так что тензор S_ij следует продолжить по вертикали с включением в него S_tx, S_ty и S_tz, причем

S_tx — поток энергии в направлении оси х, S_ty — поток энергии в направлении оси у, (31.28) S_tz — поток энергии в направлении оси z,

т. е. S_tx— это поток энергии в единицу времени через поверх­ность единичной площади, перпендикулярную оси х, и т. д. Наконец, чтобы пополнить наш тензор, нужна еще величина S_tt, которая должна быть плотностью энергии. Итак, мы расширили наш трехмерный тензор напряжений до четырехмерного тензора энергии-импульса S_mv. Индекс m может принимать четыре зна­чения: t, х, у и z, которые означают «плотность», «поток через единичную площадь в направлении оси х», «поток через единич­ную площадь в направлении оси y» и «поток через единичную площадь в направлении оси z». Значок v тоже принимает четы­ре значения: t, х, у, z, которые говорят нам, что же именно течет: «энергия», x-компонента импульса», «y-компонента им­пульса» или же «z-компонента импульса».

В качестве примера рассмотрим этот тензор не в веществе, а в пустом пространстве с электромагнитным полем. Вы знаете, что поток энергии электромагнитного поля описывается век­тором Пойнтинга S=e₀c²EXВ. Так что х-, у- и z-компоненты вектора S с релятивистской точки зрения являются компонентами: S_ix, S_tн и S_tz нашего тензора энергии-импульса. Симметрия тензора S_ij переносится и на временные компоненты, так что четы­рехмерный тензор S_mv тоже симметричен:

S_mv=S_vm. . (31.29)

Другими словами, компоненты S_xt, S_yt, S_zt, которые представ­ляют плотности х-, у- и z-компонент импульса, равны также х-, у- и z-компонентам вектора Пойнтинга S, или, как мы ви­дели раньше из других соображений, вектора потока энергии.