Фейнмановские лекции по физике 7 - Фейнман Ричард Филлипс 7 стр.

Поэтому у такого тензора есть только три разные и неравные нулю компоненты: t_xy, t_yz и t_zz. В гл. 20 (вып. 2) нам удалось показать, что эти три члена почти «по счастливой случайности» преобразуются подобно трем компонентам вектора; поэтому мы могли тогда определить вектор

t=(t_x,. t_y, t_z) = (t_yz, t_zx, t_xy).

Я сказал «по случайности» потому, что это происходит только в трехмерном пространстве. Например, для четырех измерений антисимметричный тензор второго ранга имеет шесть различных ненулевых членов, и его, разумеется, нельзя заменить векто­ром, у которого компонент только четыре.

Точно так же как аксиальный вектор t==rXF является тен­зором, по тем же соображениям тензором будет и любое век­торное произведение двух полярных векторов. К счастью, они тоже представимы в виде вектора (точнее, псевдовектора), что немного облегчает нам всю математику.

Вообще говоря, для любых двух векторов а и b девять ве­личин a_ib_j образуют тензор (хотя для физических целей он не всегда может быть полезен). Таким образом, для вектора по­ложения r величины r_ir_j являются тензором, а поскольку d_ij. тоже тензор, то мы видим, что правая часть (31.20) действитель­но является тензором. Подобным же образом тензором будет и (31.22), так как оба члена в правой части — тензоры.

§ 6. Тензор напряжений

Встречавшиеся до сих пор симметричные тензоры возникали как коэффициенты, связывающие один вектор с другим. Сей­час я познакомлю вас с тензором, имеющим совершенно другой физический смысл,— это тензор напряжений. Предположим, что на твердое тело действуют различные внешние силы. Мы говорим, что внутри тела возникают различные «напряжения», имея при этом в виду внутренние силы между смежными частями материала. Мы уже гово­рили немного о подобных на­пряжениях в двумерном случае, когда рассматривали поверхностное натяжение напряженной диафрагмы (см. гл. 12, § 3, вып. 5). А теперь вы увидите, что внутренние силы в материале трехмерного тела записываются в виде тензора.

Рассмотрим тело из какого-то упругого материала, например брусок из желе. Если мы разрежем этот брусок, то материал на каждой стороне разреза будет, вообще говоря, претерпевать перемещение под действием внутренних сил. До того как был сделан разрез, между двумя этими частями должны были дейст­вовать силы, которые удерживали обе части в едином куске; мы можем выразить напряжение через эти силы. Представьте себе, что мы смотрим на воображаемую плоскость, перпендику­лярную оси х, подобную плоскости s на фиг. 31.5, и интересуем­ся силами, действующими на маленькой площадке Dy/Dz, рас­положенной в этой плоскости.