Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - Дэвид Дарлинг

Дэвид Дарлинг, Агниджо БанерджиЭта странная математика. На краю бесконечности и за ним

Предисловие

Все же математика  наука странная. Числовой ряд бесконечен  но бесконечности бывают разные. Простые числа помогают цикадам выжить. Шар (математический) можно разрезать, а затем сложить обратно без единого зазора так, что получится шар, больше начального в два раза. Или в миллион. Существуют фигуры, имеющие дробную размерность, и кривые, способные заполнить плоскость, не оставив ни малейшего просвета. Сидя на скучной лекции, математик Станислав Улам расчертил лист бумаги на клетки и стал по спирали записывать в них числа, начиная с нуля. Отметив все простые числа, он обнаружил, что многие из них расположились на диагональных прямых. До сих пор никто не может толком объяснить этот факт.

Мы часто забываем о том, насколько странный предмет математика,  столь прочно вошли в нашу повседневную жизнь цифры и вычисления, такие обычные, знакомые еще со школы. Но разве не удивительно то, что наш мозг так хорошо приспособлен к математическому мышлению и что мы способны при желании выполнять сложные абстрактные математические расчеты? Ведь нашим предкам десятки, сотни тысяч лет назад не было никакой нужды решать дифференциальные уравнения или заниматься общей алгеброй, чтобы дожить до репродуктивного возраста и передать свои гены следующему поколению. Знание геометрии высших измерений или теории простых чисел никак не могло помочь им найти пропитание или укрытие. И тем не менее нам самой природой дан мозг, в котором все эти возможности заложены от рождения, который способен с каждым годом открывать все новые и новые удивительные истины о математической вселенной. Эволюция снабдила нас этим умением, но как и зачем? Для чего человеку как биологическому виду даны способности, которые кажутся не более чем забавой для ума?

Математика каким-то странным образом вплетена в саму ткань реальности. Стоит копнуть поглубже, и то, что казалось осязаемыми клочками материи или сгустками энергии,  скажем, электроны или фотоны  вдруг исчезает, превращаясь в нечто бесплотное, в кривую вероятности, оставляя за собой лишь призрачный след в виде набора замысловатых, но завораживающих своей красотой уравнений. В каком-то смысле математика  основа окружающего нас физического мира, его невидимая инфраструктура. И все же она простирается далеко за его пределы, в абстрактные сферы возможного, которое, быть может, никогда не выйдет за рамки чисто умозрительных предположений.

В этой книге мы хотим подробнее поговорить о самых необычных и увлекательных областях математики, в том числе тех, где в самое ближайшее время можно ожидать интереснейших открытий. В одних случаях это будут достижения в области науки и технологий  физики элементарных частиц, космологии, квантовых компьютеров. В других (по крайней мере, на сегодня) это математика ради математики, попытки освоить неизведанное, существующее пока только в нашем воображении. Мы решили не избегать сложных тем. Одна из трудностей, с которыми сталкиваешься, когда пытаешься объяснить далеким от математики людям многие математические проблемы,  это оторванность этих проблем от повседневной, реальной жизни. Но, если постараться, всегда можно нащупать какую-то связь между проблемами, которыми занимаются сегодняшние исследователи и первопроходцы на передовых рубежах математики, и знакомым нам миром  пусть даже при этом приходится пользоваться не такой точной терминологией, какую предпочли бы ученые. Наверное, будет справедливо сказать, что, если какую-то проблему (пусть даже самую запутанную) не получается объяснить человеку с нормальным интеллектом, значит, объясняющему не мешало бы для начала самому подучить предмет.

Эта книга возникла не совсем обычным образом. Один из нас (Дэвид)  писатель, опубликовавший за 35 лет множество книг по астрономии, космологии, физике и философии, и даже энциклопедию развлекательной математики. Второй (Агниджо)  блестящий юный математик и вундеркинд с IQ не ниже 162 баллов по результатам теста общества Менса. На момент написания этих строк он только что вернулся из Венгрии, где проходил подготовку к Международной математической олимпиаде 2017 года. Агниджо начал заниматься с Дэвидом математикой и естественными науками в возрасте 12 лет. Три года спустя мы решили вместе написать книгу.

Совместно мы набросали перечень тем для книги. Дэвид, например, включил в список высшие измерения, философию математики и математику музыки, а Агниджо захотел написать о больших числах (его конек), вычислениях и о загадках простых чисел. С самого начала мы решили сделать акцент на вещах необычных и попросту странных и найти по возможности связь между этой странной математикой и проблемами реального мира, повседневным, житейским опытом. Мы договорились не избегать сложных, труднообъяснимых тем, приняв за правило, что, если ты не можешь объяснить что-то простыми словами, значит, сам не очень хорошо в этом разбираешься. Дэвид главным образом отвечал за исторические и философские аспекты каждой главы, а также за истории из жизни, а Агниджо взял на себя техническую часть. Агниджо вычитывал написанное Дэвидом и проверял факты, а Дэвид потом соединял все в окончательную редакцию глав. Алгоритм работал как часы! Надеемся, результат вам понравится.

Примечание для читателя

Пролистывая страницы книги, вы можете заметить, что в ней используются символы вроде x, ω (омега), а то и א (алеф). Время от времени вам будут встречаться уравнения с незнакомыми значками, например 333 (особенно в главах о больших числах и бесконечности). Если вы не математик, пусть вас это не пугает  мы заранее объясним вам, что они обозначают. А пользуемся мы ими просто для краткости, чтобы немножко быстрее и глубже погрузиться в суть вопроса. Один из нас (Дэвид) уже много лет дает частные уроки математики и пока еще не встретил ни одного студента, который не смог бы ее осилить  надо только поверить в себя. И помните: мы все математики от природы, независимо от того, сознаем мы это или нет. Ну а теперь приступим.

Глава 1. Математика в основе мироздания

Интеллектуальные способности Homo sapiens если и изменились за последние 100 000 лет, то не так уж сильно. Поместите в современную школу детей из эпохи, когда по Земле бродили мастодонты и шерстистые носороги, и они будут развиваться не хуже, чем их сверстники из XXI века. Их мозг был бы способен усвоить и арифметику, и геометрию, и алгебру. А при желании они вполне смогли бы изучить предмет углубленно, а там, глядишь, и стать профессорами математики в Кембридже или Гарварде.

В ходе эволюции наш нейронный аппарат выработал способность выполнять сложные вычисления и постигать такие вещи, как теория множеств и дифференциальная геометрия,  причем задолго до того, как подобным способностям нашлось применение. Есть, кстати, в этом некая загадка: зачем нам этот врожденный талант к высшей математике, если в нем нет очевидной пользы для выживания? А с другой стороны, человеческий род потому и появился и выжил, что человек превосходил конкурентов по интеллекту, способности мыслить логично, планировать наперед и задавать себе вопрос А что, если?... Уступая другим видам в скорости и силе, наши предки вынуждены были полагаться на смекалку и умение просчитывать ситуацию. Логическое мышление стало нашей единственной сверхспособностью, а уже из него со временем развилась способность к сложному общению, использованию символов, рациональному толкованию окружающего нас мира.

Как и все животные, мы успешно выполняем сложные математические вычисления не раздумывая, с лету. Чтобы выполнить даже самые простые действия  поймать брошенный мячик (или избежать встречи с хищником, или добыть дичь),  нужно очень быстро решить множество уравнений. Попробуйте запрограммировать на выполнение таких действий робота, и сложность этих вычислений станет вам очевидна. Но огромное преимущество человека в том, что он способен переходить от конкретного к абстрактному  анализировать ситуацию, спрашивать себя А что произойдет, если?.., планировать загодя.

С зарождением сельского хозяйства возникла необходимость четко отслеживать смену времен года, а развитие торговли и появление поселений породило потребность в совершении сделок и ведении учета. Как для составления календарей, так и для ведения коммерческой деятельности нужна была какая-то система расчетов. Тут-то и появилась на свет элементарная математика. Одним из регионов, где она стала бурно развиваться, был Ближний Восток. Найденные археологами керамические фишки шумерских торговцев относятся к VIII тысячелетию до нашей эры и показывают, что уже тогда люди овладели представлением чисел. Правда, в то время они еще не отделяли понятие числа от самих предметов, которые нужно было сосчитать. Для счета разных объектов, например овец или кувшинов масла, использовались фишки разной формы. При обмене большим количеством фишек их запечатывали в специальные глиняные контейнеры  буллы. Для проверки содержимого буллу приходилось разбивать. Позже на них стали наносить отметки, указывающие, сколько фишек находится внутри. Со временем из таких символических изображений сформировалась система записи чисел, а сами фишки стали использоваться в качестве примитивной формы денег. Попутно понятие числа отделилось от считаемых предметов  так что, например, пять оставалось пятью, будь то козы или буханки хлеба.

На этом этапе математика кажется неразрывно связанной с повседневной реальностью. Счет и ведение учета  прикладные инструменты земледельца и торговца, и если эти методы справляются со своей задачей, какая разница, что за концепция лежит в их основе? Простая арифметика неотделима от того, что происходит вокруг нас: овца плюс овца  две овцы, две овцы плюс две овцы  четыре овцы. Казалось бы, чего проще? Но стоит задуматься, и вы поймете, что уже произошло нечто странное. Говоря овца плюс овца, мы предполагаем, что овцы одинаковы или, по крайней мере, что различия между ними при подсчете не имеют значения. Но овца овце рознь. То есть мы отделили от овец то качество, что объединяет их и отличает от других объектов, а затем произвели над ним действия при помощи другой абстракции, которую мы называем сложением. Это серьезный шаг. На практике, чтобы прибавить одну овцу к другой, бывает достаточно просто пустить их пастись на одно поле. Но из той же практики мы знаем, что все овцы разные, а если копнуть глубже, то, что мы называем овцой (как и все остальное, что нас окружает),  неотъемлемая часть вселенной. Вдобавок к этому немного тревожит тот факт, что воспринимаемое нами как объекты окружающего мира (возьмите хоть тех же овец) на деле лишь порождения нашего разума, вызванные к жизни сигналами, воздействующими на органы чувств. Даже если предположить, что овца существует объективно, из физики нам известно, что это сложнейшая временная совокупность находящихся в постоянном движении элементарных частиц. И тем не менее, считая овец, мы способны каким-то образом игнорировать все эти сложности или, точнее, даже не отдавать себе в них отчет в повседневной жизни.

Египтяне хорошо владели практической математикой и с успехом применяли ее при строительстве пирамиды Хефрена в Гизе, изображенной на фото вместе с Большим сфинксом.

Из всех дисциплин математика  самая точная и незыблемая. Естественные науки и другие области человеческой деятельности представляют собой в лучшем случае некоторое приближение к идеалу, постоянно изменяются и эволюционируют. Как заметил немецкий математик Герман Ганкель, в большинстве наук новое поколение разрушает созданное предыдущим; установленное одним отменяется другим. Только в математике каждое поколение достраивает новый этаж к прежнему зданию. Это ее отличие от всех других наук неизбежно, оно заложено в самой ее сути  ведь математика начинается с того, что разум извлекает из данного нам в ощущениях только те знания, которые он определяет как наиболее фундаментальные и неизменные. Это приводит к появлению таких понятий, как натуральные числа, сложение и вычитание, позволяющих измерять количество объектов, увеличивать и уменьшать его. Абстрактное понятие количества (один, два, три и так далее) воспринимается как общий признак разных наборов объектов, независимо от того, что это за объекты и насколько сильно отличаются друг от друга отдельные объекты одного типа. Поэтому такое качество, как непреложность, незыблемость, присуще математике изначально и является важнейшим ее достоинством.

Математика существует  в этом никто не сомневается. Скажем, теорема Пифагора  она ведь как-никак часть нашей реальности. Но вот где она существует тогда, когда не используется и не воплощается в какой-то материальной форме, и где она существовала раньше, тысячи лет назад, до того, как пришла кому-то в голову? Платоники считают, что математические объекты, такие как числа, геометрические фигуры и отношения между ними, существуют независимо от нас, наших мыслей, языка и физической вселенной. Они, правда, не уточняют, в каких таких неземных сферах обитают эти объекты, но убеждены, что те каким-то образом реально существуют. Большинство математиков, надо признать, разделяют эту точку зрения, а значит, считают, что математические истины открывают, а не изобретают. Справедливо, впрочем, и то, что большинству математиков, скорее всего, нет дела до всей этой философии  их вполне устраивает просто заниматься наукой, точно так же как большинство физиков, как работающих в лаборатории, так и решающих теоретические задачи, вряд ли волнуют проблемы метафизики. И все же постижение истинной природы вещей  в нашем случае математических объектов  занятие интересное, пусть даже нам не суждено найти окончательного ответа. Прусский математик и логик Леопольд Кронекер считал, что человеку были даны только целые числа: по его выражению, целые числа создал Господь Бог, остальное  дело рук человеческих. Английский астрофизик Артур Эддингтон пошел еще дальше, сказав: Математики не существует, пока мы ее не создаем. Наверняка люди и дальше будут спорить о том, что же такое математика  открытие, изобретение или, возможно, сочетание первого и второго, порожденное синергизмом разума и материи. Вряд ли на этот вопрос есть простой ответ.

Одно ясно: в математике единожды доказанное положение навсегда становится истиной, не допускающей споров и не подверженной влиянию субъективных факторов. Я люблю математику,  заметил Бертран Рассел,  за то, что в ней нет ничего человеческого, за то, что ее ничего, в сущности, не связывает ни с нашей планетой, ни со всей этой случайной вселенной. Давид Гильберт высказал похожую мысль: Математика не знает рас и географических границ; для математики весь культурный мир представляет собой единую страну. Эта беспристрастность, универсальность математики  ее важнейшее достоинство, которое, однако, никак не умаляет ее эстетической привлекательности для человека с наметанным глазом. Красота  самый первый критерий; для некрасивой математики в мире нет места,  заявил английский математик Годфри Харолд Харди. Ту же мысль, но с точки зрения теоретической физики высказал Поль Дирак: Природе присуща та фундаментальная особенность, что самые основные физические законы описываются математической теорией, аппарат которой обладает необыкновенной силой и красотой.

Но у универсальности математической науки есть и обратная сторона: она может показаться холодной и стерильной, лишенной страсти и чувства. В результате может оказаться, что, хотя разумные существа иных миров и пользуются той же математикой, что и мы, это не самый лучший язык для общения на волнующие нас темы. Многие предлагают использовать математику для общения с инопланетянами,  прокомментировал ситуацию исследователь из Института поиска внеземного разума (SETI) Сет Шостак. Более того, голландский математик Ханс Фройденталь даже разработал для этого целый язык (Lincos). Однако,  продолжает Шостак,  я лично считаю, что на языке математики трудно будет описать такие понятия, как любовь или демократия.