В каком-то смысле интернет с его громадным объемом полезной информации, затерянной в многократно превышающем его объеме сплетен, полуправды и полной галиматьи, становится все более похожим на библиотеку Борхеса вместилище всего на свете от глубокого научного знания до совершеннейшего бреда. Есть даже сайты, имитирующие Вавилонскую библиотеку: за долю секунды они выдают полотно случайных цепочек из букв, где иногда могут содержаться реально существующие слова или даже осмысленные обрывки информации. Когда у нас под рукой такой объем информации, кому или чему можно доверить роль третейского судьи, объективно оценивающего, что подлинно и достоверно? В конечном итоге, поскольку информация существует в виде наборов цифр, хранящихся в недрах электронных процессоров и носителей данных, ответ должен лежать где-то в области математики.
Что касается ближайшего будущего, математики уже сейчас разрабатывают всеобъемлющую теорию случайности, которая может объединить на первый взгляд очень далекие друг от друга научные феномены и концепции от броуновского движения до теории струн. Двое исследователей, Скотт Шеффилд из Массачусетского технологического института и Джейсон Миллер из Кембриджского университета, обнаружили, что многие из двумерных фигур и траекторий, генерируемых случайными процессами, разделяются на четко различимые категории, каждая из которых обладает собственным набором характеристик. Их классификация привела к открытию неожиданных связей между разнородными случайными объектами, не имеющими, казалось бы, никакого отношения друг к другу.
Первый изученный математиками тип случайной траектории так называемое случайное блуждание. Представьте себе пьяного, начинающего свой путь от фонарного столба. Он идет, пошатываясь, от одной точки к следующей, с каждым шагом (предполагается, что все шаги равной длины) случайно выбирая направление. Вопрос: как далеко от столба он окажется через определенное количество шагов? Можно для простоты свести задачу к одномерному виду: пусть человек движется только по прямой в одну или другую сторону, а перед каждым шагом как будто подбрасывает монетку, чтобы решить, куда идти направо или налево. Впервые задача воплотилась на практике в 1827 году, когда английский ботаник Роберт Броун привлек внимание к явлению, позднее названному броуновским движением, беспорядочному танцу зерен пыльцы в воде, который он разглядел в микроскоп. Позже этот феномен объяснили тем, что частицы пыльцы хаотично бомбардируются молекулами воды, которые всякий раз толкают крохотные зернышки в случайном направлении (так что каждое ведет себя словно пьяный из нашей задачи). Но только в 1920-х годах американский математик и философ Норберт Винер детально исследовал все математические аспекты броуновского движения. Для этого нужно было понять, что происходит в задаче о случайном блуждании, когда длина шагов и временной интервал между ними постепенно сокращаются. Получившиеся случайные траектории очень напоминают путь, проделываемый частицами при броуновском движении.
Позднее физики заинтересовались случайным движением иного рода. Теперь уже действующими лицами были не частицы, передвигающиеся по искривленным одномерным траекториям, а мельчайшие трепыхающиеся нити, колебания которых могут быть представлены как двумерные поверхности. Это те самые струны из теории струн самой передовой, но пока не доказанной теории элементарных частиц, составляющих всю материю. Скотт Шеффилд сформулировал это таким образом: Чтобы понять квантовую физику для струн, нужно нечто вроде броуновского движения для поверхностей. Начало такой теории положил в 1980-х годах физик Александр Поляков, сейчас работающий в Принстонском университете. Он придумал способ описания подобных поверхностей, который сейчас именуется квантовой гравитацией Лиувилля. Параллельно была разработана еще одна модель, названная броуновской, которая также описывала случайные двумерные поверхности, но давала о них иную, дополнительную информацию. Прорыв, совершенный Шеффилдом и Миллером, заключался в том, что им удалось доказать: эти два теоретических подхода, квантовая гравитация Лиувилля и броуновская модель, эквивалентны. И пусть предстоит еще немало работы, прежде чем теорию можно будет применять непосредственно для решения физических задач, но со временем она может стать мощным объединяющим принципом, действующим на самых различных уровнях от фантастически миниатюрных струн до таких повседневных явлений, как рост снежинок или образование минеральных отложений. Уже сегодня абсолютно ясно: случайность лежит в основе физической вселенной, а в основе случайности лежит математика.
То, что истинно случайно, непредсказуемо. Нельзя заранее знать, каким окажется следующий элемент случайной цепочки. В физике невозможно предугадать, когда наступит случайное событие, такое как распад радиоактивного ядра. Если событие случайно, о нем говорят, что оно недетерминировано, поскольку даже в принципе невозможно, зная то, что уже произошло, спрогнозировать, что будет дальше. В быту мы часто случайное называем хаотичным. Случайность и хаос в повседневном языке стали практически полными синонимами. Но в математике между этими двумя понятиями есть огромная разница разница, которую мы сможем лучше почувствовать, окунувшись в странный мир дробных размерностей.
Глава 4. Порядок на грани хаоса
В математике есть красота и романтика. Он совсем не скучен, мир математики. Это удивительное место, в нем стоит побывать.
Поищите в словаре синонимы к слову хаос и найдете неразбериху, беззаконие и анархию. Но тот хаос, который изучают математики и другие ученые в рамках относительно нового научного направления, называемого теорией хаоса, совсем другое дело. В нем нет места бесчинствам и вседозволенности. Напротив, он подчиняется строгим законам, его наступление предсказуемо, а поведение проявляется в виде изысканных геометрических узоров. Цифровая передача данных, моделирование электрохимических процессов в нервных клетках, гидроаэродинамика это лишь немногие области, в которых находит практическое применение теория хаоса.
Но мы подойдем к теме главы окольным, более живописным путем и для этого зададим обезоруживающе простой вопрос: какова длина побережья Великобритании? Именно его вынес в заголовок своей статьи, опубликованной в 1967 году в журнале Science, французско-американский математик польского происхождения Бенуа Мандельброт, теоретик в исследовательском центре IBM имени Томаса Джона Уотсона. Казалось бы, ничего сложного нужно просто точно измерить длину береговой линии, вот и все. На деле же результат будет зависеть от масштаба измерения, причем измеренная длина может увеличиваться неограниченно (то есть она не сходится к какому-то постоянному значению) или, по крайней мере, до тех пор, пока масштаб не достигнет атомного. Впервые странный вывод о том, что береговая линия острова, страны или континента не имеет строго определенной длины, озадачил английского математика и физика Льюиса Фрая Ричардсона за несколько лет до того, как над ним всерьез задумался Мандельброт.
Будучи пацифистом, которого интересовали теоретические корни международных конфликтов, Ричардсон пытался понять, зависит ли вероятность войны между двумя странами от протяженности их общей границы. Изучая эту проблему, он обратил внимание на существенные расхождения в длине пограничной линии, указываемой в разных источниках. Например, по данным испанских властей, длина испанско-португальской границы составляла 987 километров, а португальцы оценивали ее в 1214 километров. Ричардсон понял, что такое расхождение в измерениях не обязательно ошибка, а может объясняться тем, что в расчетах использовались разные мерки, то есть минимальные единицы длины. Попробуйте измерить расстояние между двумя точками на изрезанном бухтами берегу или вдоль извилистой пограничной линии воображаемой гигантской линейкой длиной в 100 километров, и оно получится меньше, чем если бы линейка была половинной длины. Чем короче линейка, тем более мелкие извилины она может учитывать при измерении, включая их длину в конечный ответ. Ричардсон продемонстрировал, что при последовательном укорачивании линейки (то есть единицы измерения) длина извилистой береговой или пограничной линии увеличивается неограниченно. Очевидно, измеряя протяженность испанско-португальской границы, португальцы использовали более короткую меру длины.
Великобритания и Ирландия на фотографии, сделанной 26 марта 2012 года спутником НАСА Terra.
В 1961 году, когда Ричардсон опубликовал результаты своих исследований, мало кто обратил внимание на его удивительное открытие, сейчас называемое эффектом Ричардсона или парадоксом береговой линии. Но теперь оно видится нам важным вкладом в развитие удивительной новой области математики, которую Мандельброт, человек, прославивший ее, в итоге назвал прекрасной, чертовски трудной и с каждым днем все более ценной. В 1975 году Мандельброт придумал название для странных штуковин, ставших объектом изучения этой новой дисциплины: фракталы. Фрактал это нечто (например, кривая или пространство), имеющее дробную размерность.
Чтобы заслужить звание фрактала, фигуре нужно всего лишь иметь сложную структуру в любом масштабе, сколь бы крупным он ни был. Подавляющее большинство кривых и геометрических фигур в математике не фракталы. Окружность, например, нельзя считать фракталом потому, что, если постепенно увеличивать часть составляющей ее кривой, она будет все больше и больше походить на прямую линию, после чего, сколько ее ни приближай, ничего нового уже не увидишь. Квадрат тоже не фрактал. При увеличении его углы не меняют свою структуру, а все остальное выглядит как прямые линии. Чтобы быть фракталом, мало иметь сложную структуру в одной точке или даже во множестве (конечном множестве) точек; структура должна быть сложной во всех точках. То же касается и трехмерных фигур, и фигур более высоких размерностей. Сферы и кубы, например, не фракталы. Но существует множество фигур различных размерностей, которые являются фракталами.
Вернемся к береговой линии Великобритании. На карте малого масштаба показаны только самые крупные заливы, лагуны и полуострова. Но выйдите на пляж и вы увидите более мелкие объекты: бухты, косы и так далее. Всмотритесь пристальнее, возьмите лупу или микроскоп, и вы различите совсем неприметные элементы неровности каждого валуна на берегу. И так все дальше и дальше. В реальном мире приближать объект бесконечно невозможно. На уровне атомов и молекул (а возможно, и раньше) уже нет смысла говорить о более мелких деталях, влияющих на длину побережья, тем более что эта длина меняется каждую минуту из-за эрозии, отливов и приливов. И все же побережье Великобритании и очертания других островов и стран достаточно близкий аналог фракталов, что объясняет, почему могут так различаться данные разных источников о длине пограничной линии. Глядя на карту Великобритании, не увидишь всей изрезанности побережья, которая становится очевидной, когда идешь по берегу пешком. Вот почему измеренная по карте береговая линия получается короче. А простая прогулка по пляжу не даст столь же точных результатов, как измерение линейкой или еще более прецизионным инструментом всех изгибов и неровностей каменистого берега, обводов валунов и прочих мелких деталей. При этом с увеличением точности измерений длина береговой линии возрастает экспоненциально, вместо того чтобы приближаться к некоему конечному истинному значению. Другими словами, при наличии измерительного оборудования с достаточно высокой разрешающей способностью вы можете получить любую, сколь угодно большую, длину береговой линии (разумеется, в тех пределах, что устанавливает атомная природа вещества).
Примечания
1
Визгин В. П. Догмат веры физика-теоретика: предустановленная гармония между чистой математикой и физикой // Проблема знания в истории науки и культуры. СПб.: Алетейя, 2001. Здесь и далее прим. перев., если не указано иное.
2
Чтобы это увидеть, можно, например, почитать книгу Математическая составляющая / Редакторы-составители Н. Н. Андреев, С. П. Коновалов, Н. М. Панюнин. 2-е изд., расш. и доп. М.: Фонд Математические этюды, 2019. Прим. науч. ред.
3
Кафаров В. В., Ветохин В. Н. Основы автоматизированного проектирования химических производств. М.: Наука, 1987.
4
Термин чистая математика приписывают Годфри Харолду Харди, который считал, что математика, чистая от приложений, является самой красивой, а прикладная математика тривиальна, уродлива или скучна. Прим. науч. ред.
5
Уэллс Г. Машина времени. Остров доктора Моро. СПб.: Азбука-Аттикус, 2018.
6
Цитируется по изданию: Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. Под ред. А. Н. Колмогорова, А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1981.
7
В русском языке для многомерных политопов устоялось название из стереометрии многогранник (или еще полиэдр), так как математики называют многомерные ячейки гранями. Прим. науч. ред.
8
Эбботт Э. Э. Флатландия. М.: Мир, 1976.
9
Хинтонъ С. Г. Четвертое измѣренiе и эра новой мысли. Петроградъ: Книгоиздательство Новый человѣкъ, 1915.
10
Центральный уголовный суд Англии и Уэльса. Здание суда традиционно носит название улицы, на которой оно расположено.
11
По состоянию на январь 2020 года известных нам знаков числа пи уже 50 триллионов. Прим. науч. ред.
12
Септиллион это триллион триллионов, или 1024. Прим. науч. ред.
13
От англ. frequency частота.
14
Борхес Х. Л. Вавилонская библиотека. Рассказы. Харьков: Фолио, 1999.