Ураган Феликс, сфотографированный с Международной космической станции 3 сентября 2007 года.
Даже при всей сложности системы может показаться, что любым явлением, будь то вращение подброшенной монеты или климат на планете, руководят одни и те же законы природы, и законы эти детерминированы. Когда-то считалось, что вселенная устроена наподобие гигантского часового механизма фантастически сложного, но совершенно предсказуемого. Такое представление неверно по двум причинам. Первая связана опять-таки со сложностью. Даже внутри детерминированной системы то есть такой, в которой исход зависит от ряда событий, а каждое из событий можно предсказать, точно зная предыдущее состояние системы, задача может быть настолько сложной, что узнать заранее, чем все закончится, просто нереально. В таких системах даже самая совершенная и быстродействующая модель (например, компьютерная) не способна обогнать само явление. Это касается систем не только физических, но и чисто математических таких, например, как клеточные автоматы. О самой известной из таких моделей игре Жизнь, придуманной Джоном Конвеем, мы еще поговорим подробнее в пятой главе.
Эволюция любой фигуры в игре Жизнь полностью детерминирована, но непредсказуема: исход игры можно узнать только после того, как был рассчитан последовательно каждый ее этап. (Есть, конечно, фигуры, которые изменяются циклично например пульсируют или после нескольких этапов начинают передвигаться, не меняя формы. Такие можно рассчитать заранее, зная их поведение. Но наблюдая за игрой первый раз, мы еще не знаем, как они себя поведут.) В математике даже неслучайное может быть непредсказуемым. Но до начала XX века большинство физиков считало, что, пусть мы и не можем знать всех деталей происходящего в физической вселенной, мы в принципе способны познать ее настолько, насколько захотим. Имея достаточно информации, верили они, мы можем с помощью уравнений Ньютона и Максвелла рассчитать ход любых событий с необходимым нам уровнем точности. Но появление квантовой механики положило конец этим представлениям.
Неопределенность, как выяснилось, лежит в самой основе квантовой теории: случайность в субатомном мире неизбежная объективная реальность. И нигде прихоти случайности не проявляются более очевидно, чем в процессе распада радиоактивных ядер. Да, действительно, с помощью наблюдений можно определить период полураспада радиоактивного вещества то среднее время, за которое распадается половина исходных ядер во взятом образце. Но это лишь статистическая мера. Период полураспада радия-226, например, составляет 1620 лет именно столько придется ждать, чтобы от кусочка радия массой в один грамм осталось полграмма, а остальное превратилось в газ радон или в свинец и углерод. Но если наблюдать за одним конкретным ядром радия-226 во взятом образце, абсолютно невозможно предсказать, то ли оно вместе с 37 миллиардами других ядер в том же кусочке распадется через секунду, то ли через 5000 лет. Наверняка нам известно только то, что вероятность его распада в ближайшие 1620 лет S, то есть та же, с какой при подбрасывании монеты выпадает орел или же, наоборот, решка. И эта непредсказуемость никак не связана с точностью наших приборов или быстродействием компьютеров. На таком глубинном уровне структуры вещества случайность заложена в самой ткани реальности, а значит, может влиять и на процессы, происходящие на более высоких уровнях, внося в них элемент случайности. Крайним проявлением эффекта бабочки стало бы, например, влияние распада одного-единственного атома радия на климат нашей планеты.
Вполне возможно, что квантовая теория с ее случайностью это всерьез и надолго. Были, однако, физики (к их числу принадлежал и Эйнштейн), которые не могли смириться с тем, что Бог, перефразируем Эйнштейна, играет в кости со вселенной. Критики ортодоксальной квантовой теории считают, что за капризным поведением объектов в сверхмалом мире стоят некие скрытые параметры факторы, определяющие, когда частицам пора распадаться и тому подобное, и нам бы только узнать, что это за параметры, да научиться их измерять. Если теория скрытых параметров окажется справедливой, вселенная снова станет неслучайной, а истинная случайность будет существовать только как некий математический идеал. Ну а пока все имеющиеся данные указывают на то, что в вопросе квантовой неопределенности Эйнштейн ошибался.
Похоже, нет ничего определенного в зазеркальном мире сверхмалого. То, что мы считали крохотными твердыми частицами, электроны и им подобные растворились, превратившись в волны, причем даже не в материальные, а в волны вероятности. Про электрон уже нельзя сказать точно, здесь он или там, а только что он скорее здесь, чем там, ведь его движением руководит математическая конструкция под названием волновая функция.
Все, что нам осталось, это вероятность, да и с той нет полной ясности. Существует несколько интерпретаций. Самое распространенное толкование частотное. Согласно ему, вероятность наступления события это предел (то есть значение, к которому нечто стремится) относительной частоты наступления события. Чтобы определить вероятность события, фреквентист должен многократно повторять эксперимент и смотреть, сколько раз произошло нужное событие. Например, если оно происходит в 70 % случаев, значит, его вероятность 70 %. В случае с идеализированной математической монетой вероятность выпадения орла составляет ровно S, поскольку чем больше монету подбрасываешь, тем больше частота выпадения орла стремится к S. У реальной, физической монеты эта вероятность будет другой, не ровно S. Причин тому несколько. Частично влияет на результат аэродинамика броска и то, что орел у большинства монет тяжелее, чем выбитый на другой стороне рисунок. Имеет значение также, какой стороной вверх монету подбрасывают: вероятность, что она упадет той же стороной вверх, равна примерно 51 %, поскольку при обычном броске шансы перевернуться в воздухе четное количество раз у нее чуть выше. Но, рассматривая математическую, идеальную монету, все эти факторы можно смело игнорировать.
Говоря о вероятности какого-либо события, фреквентисты имеют в виду шансы его наступления при многократном повторении одного и того же эксперимента. Но бывают случаи, когда такая стратегия бесполезна, например когда речь идет о событии, которое может произойти только один раз. Альтернативой тогда служит байесовский метод, названный так в честь английского ученого-статистика XVIII века Томаса Байеса. Расчет вероятности этим методом основан на степени нашей уверенности в определенном результате, то есть вероятность рассматривается как субъективное понятие. Например, если синоптик в прогнозе погоды говорит о 70-процентной вероятности осадков, по сути это означает, что он на 70 % уверен, что пойдет дождь. Основная разница между частотной и байесовской вероятностью в том, что синоптик не может повторить погодный эксперимент ему нужно оценить вероятность дождя в одном конкретном случае, а не выдать результаты многократно поставленных опытов. Для прогнозирования могут использоваться гигантские массивы данных, в том числе информация о похожих ситуациях, но ни в одной из них условия не будут абсолютно идентичными, так что синоптики вынуждены строить прогнозы исходя из байесовской вероятности, а не из частотной.
Особенно интересно различия между байесовским и частотным подходами проявляются, когда их применяют к математическим понятиям. К примеру, спросим себя, является ли септиллионным знаком числа пи (на сегодня неизвестным) пятерка? Заранее знать ответ невозможно, но после того, как он будет вычислен, он уже никогда не изменится: сколько ни повторяй расчет числа пи, ответ будет всегда один и тот же. Если следовать частотной интерпретации, вероятность того, что септиллионный знак будет пятеркой, равна либо 1 (достоверное событие), либо 0 (невозможное) другими словами, это или пятерка, или нет. Допустим, доказано, что число пи нормально, то есть мы точно знаем, что в составляющей его бесконечной цепочке знаков каждая из десяти цифр имеет одинаковую плотность распределения. Согласно байесовской интерпретации, отражающей нашу степень уверенности в том, что септиллионным знаком является именно пятерка, вероятность этого 0,1 (ведь если число пи нормально, то любой его знак, пока он не вычислен, может с одинаковой вероятностью быть любой цифрой от 0 до 9). Но вот после того, как мы этот знак вычислим (если такое когда-нибудь произойдет), вероятность уже точно будет либо 1, либо 0. Фактическое значение септиллионного знака пи нисколько не поменяется, но вероятность того, что это пятерка, изменится именно потому, что у нас будет больше информации. Информация играет определяющую роль в байесовском подходе: по мере повышения собственной информированности мы можем корректировать значение вероятности, делая его точнее. А при наличии полной информации (скажем, когда определенный знак числа пи вычислен) значения частотной и байесовской вероятности становятся одинаковыми если мы возьмемся заново рассчитать уже вычисленный знак пи, ответ нам будет известен заранее. Зная все нюансы физической системы (в том числе некоторый элемент случайности, как, например, при распаде атомов радия), мы можем в точности повторить эксперимент и получить частотную вероятность, идеально совпадающую с байесовской.
И хотя байесовский подход кажется субъективным, он может быть строгим в абстрактном смысле. Предположим, у вас есть несимметричная монета: вероятность выпадения орла при ее подбрасывании может равняться какому угодно значению от 0 до 100 %, причем любое из них равновозможно. Бросаем ее первый раз выпадает орел. Используя байесовскую интерпретацию, можно доказать, что вероятность выпадения орла при втором броске составляет . Но ведь начальная вероятность выпадения орла была ½, а монету мы не меняли. Байесовский подход позволяет рассуждать так: выпадение первого орла, конечно, не влияет напрямую на вероятность его выпадения при втором броске, но этот факт дает нам дополнительную информацию о монете, а с помощью этой информации мы уточняем свою оценку. Если монета сильно несимметрична в пользу решки, вероятность выпадения орла очень мала, а если сильно несимметрична в пользу орла, то вероятность его выпадения гораздо выше.
Байесовский подход также помогает избежать парадокса, впервые сформулированного в 1940-х годах немецким ученым-логиком Карлом Гемпелем. Когда люди видят, что один и тот же принцип (скажем, закон гравитации) исправно действует в течение долгого времени, они склонны делать вывод, что он с очень высокой вероятностью верен. Это так называемое индуктивное умозаключение, которое можно коротко сформулировать так: если наблюдаемое соответствует теории, то вероятность того, что эта теория верна, увеличивается. С помощью описанного им парадокса воронов Гемпель продемонстрировал, в чем слабое место индуктивной логики.
Все во́роны черные, гласит теория. Каждый раз, когда мы видим ворона черного, а не какого-нибудь другого цвета (существование воронов-альбиносов при этом игнорируем!), наша уверенность в верности теории все вороны черные растет. Но вот в чем загвоздка: утверждение все вороны черные логически эквивалентно утверждению все, что не черное, не вороны. Поэтому, увидев желтый банан нечерный объект, не являющийся к тому же вороном, мы должны были бы еще больше укрепиться в своем убеждении, что все вороны черные. Пытаясь обойти этот в высшей степени контринтуитивный результат, некоторые философы настаивают на том, что нельзя считать оба утверждения имеющими равную силу. Другими словами, желтизна бананов должна убеждать нас только в верности теории, что все нечерное не вороны (второе утверждение), но никак не в том, что все вороны черные (первое утверждение). Это вполне соответствует здравому смыслу: банан не ворон, поэтому, смотря на него, мы можем узнать что-то о том, что вороном не является, но никак не о самих воронах. Однако это предложение подвергли критике на том основании, что нельзя быть в разной степени уверенным в верности двух логически эквивалентных утверждений, если совершенно ясно, что они либо оба истинны, либо оба ложны. Возможно, просто наша интуиция в этом вопросе нас подводит и вид желтого банана действительно должен еще больше убеждать нас в черноте всех воронов. А вот если рассматривать проблему с байесовской точки зрения, никакого парадокса не возникает. Согласно Байесу, вероятность гипотезы Г следует умножить на следующее отношение:
где X это нечерный объект, не являющийся вороном, а Г гипотеза, что все вороны черные.
Если попросить кого-нибудь выбрать любой случайный банан и показать его вам, то вероятность, что увиденный вами банан будет желтым, никак не зависит от окраса оперения воронов. Вы уже заранее знаете, что увидите нечто, что вороном не является. Числитель дроби (то, что поверх черты) будет равен знаменателю (тому, что под чертой), отношение будет равно единице, а вероятность останется неизменной. Желтизна увиденного банана никак не повлияет на вашу уверенность в том, что все вороны черные. Если попросить кого-нибудь взять любой случайный нечерный предмет и вам покажут желтый банан, то числитель станет больше знаменателя на какую-то ничтожную величину. Вид желтого банана очень незначительно увеличит вашу уверенность в том, что все вороны черные. Чтобы всерьез укрепиться в верности этого утверждения, вам нужно будет увидеть почти все нечерные объекты, существующие во вселенной, плюс убедиться, что все они не вороны. И в том и в другом случае результат будет соответствовать тому, что говорит ваша интуиция.
Может показаться странным, что информация имеет какое-то отношение к случайности, но на самом деле они очень тесно связаны. Представьте себе цепочку цифр, составленную только из нулей и единиц. Цепочка 1111111111 абсолютно упорядоченна, а потому не содержит практически никакой информации (разве что десятикратное повторение цифры 1), так же как чистый холст, на котором все точки имеют белый цвет, почти ни о чем нам не говорит. С другой стороны, сгенерированная случайно последовательность 0001100110 содержит максимальный объем информации, возможный для цепочки такой длины. Дело в том, что один из способов дать количественную оценку информации это определить, насколько сильно можно сжать данные. Истинно случайный набор цифр невозможно укоротить, сохранив при этом всю содержащуюся в нем информацию. А вот длинную цепочку, состоящую, например, из одних единиц, можно сжать во много раз просто указав, сколько в ней единиц. Информация и беспорядок теснейшим образом связаны друг с другом. Чем более беспорядочна и случайна цепочка, тем больше информации она содержит.
Можно посмотреть на это по-другому: открывая каждую последующую цифру случайной цепочки, мы получаем максимум возможной информации. С другой стороны, если мы видим цепочку 1111111111, ничего не стоит догадаться, какой будет следующая цифра. (Это касается только законченных цепочек, а не кусочков более длинных последовательностей. Произвольно длинная случайная цепочка цифр будет содержать сочетание 1111111111 бесконечное количество раз.) Объем информации, который можно считать полезным, всегда компромисс между этими двумя крайностями. Например, фотография с минимумом информации это просто одноцветный фон, а содержащая минимум информации книга это листы, заполненные строчками из одной-единственной буквы. Ни то ни другое не представляет никакого интереса с точки зрения объема информации. Фотография же с максимумом информации будет беспорядочным, хаотичным скоплением пикселей, а книга бессмысленным нагромождением случайных букв. Такое нас тоже вряд ли заинтересует. Самая полезная и нужная нам информация находится где-то посередине. Обычное фото содержит информацию, но в понятном нам виде и объеме. Если один из пикселей изображения окрашен в какой-то цвет, то непосредственные его соседи, скорее всего, будут похожего цвета. Мы это знаем и можем использовать для того, чтобы сжать изображение без потери информации. Книга, которую вы сейчас читаете, по большей части представляет собой лишь цепочки букв и пробелов, перемежающиеся знаками пунктуации. В отличие от описанных выше крайностей абракадабры из символов либо бесконечных повторений одной буквы в этой книге буквы структурированы в цепочки, называемые словами. Одни слова встречаются редко; другие, как, например, и, повторяются очень часто. Кроме того, слова объединены в предложения в соответствии со сводом правил, именуемым грамматикой, и так далее а все для того, чтобы в итоге читатель сумел понять представленную ему информацию. С мешаниной из случайных знаков такое просто невозможно.
В своем рассказе Вавилонская библиотека аргентинский писатель Хорхе Луис Борхес рассказывает о библиотеке огромного, возможно бесконечного, размера с невообразимым количеством книг. Все книги имеют одинаковый формат: в каждой книге четыреста страниц, на каждой странице сорок строчек, в каждой строке около восьмидесяти букв черного цвета. Все тексты написаны на экзотическом языке, использующем только 22 буквенных символа, запятую, точку и пробел, но в книгах на полках библиотеки можно обнаружить все возможные комбинации этих знаков. Большинство книг содержат лишь бессмысленный набор букв; в других сочетания упорядоченны, но все равно лишены какого-либо смысла. Например, одна из книг целиком состоит из повторяющейся буквы M. В другой все то же самое, кроме второй буквы, вместо которой стоит N. Есть книги со словами, предложениями и целыми абзацами, построенными по правилам грамматики того или иного языка, но абсолютно нелогичными. Есть исторические труды. Есть такие, в которых утверждается, что они содержат подлинную историю, но на деле они являются вымыслом. В некоторых даны описания еще не изобретенных машин и не сделанных открытий. Где-то на полках есть книга, содержащая все сочетания используемых 25 знаков, которые только можно себе представить или записать. И однако же все это гигантское хранилище книг совершенно бесполезно, поскольку, не зная заранее, что правда, а что ложь, что истина, а что вымысел, какая информация значима, а какая бессмысленна, невозможно извлечь из этого всеобъемлющего собрания символов никакой пользы. То же касается и старой идеи о том, что армия обезьян, беспорядочно стучащих по клавишам пишущих машинок, способна в конце концов произвести на свет собрание сочинений Шекспира. Они напечатают и решения всех научных проблем современности (хоть на это и потребуются триллионы лет). Проблема лишь в том, что они также напечатают и все неправильные решения, а вместе с ними убедительные опровержения всех правильных решений и все это не считая умопомрачительных объемов абсолютной белиберды. Нет никакого смысла иметь перед глазами ответ на вопрос, если в одну кучу с ним свалены все возможные комбинации символов, из которых он состоит, а вы не имеете представления, какая из них верная.