Программа MathCAD позволяет для матриц выполнять нахождение определителя, решать матричные уравнения. Применение этой программы исключает выполнение громоздких ручных расчетов и позволяет по приведенному выше алгоритму получать точное решение без каких-либо приближенных методов.
MathCAD позволяет выполнять с матрицами символьные вычисления.
Для решения матричного уравнения типа:
необходимо записать матрицу
вставить определитель
, вызвать команду «».
В результате получается запись многочлена из определителя. Многочлен копируется в отдельное место. Выделяют переменную «Х» в многочлене и в панели инструментов выбирают полиноминальный коэффициент. В результате этого получится матрица с коэффициентами из полученного многочлена:
Затем вызывается или записывается вручную команда polyroots, в которую добавляется полученная матрица в виде:
М1 и М2 являются корнями матричного уравнения.
Для подробного ознакомления с вычислением матриц в MathCAD следует обратиться к учебному пособию по программе.
__
Рассмотрим пример построения эпюры свободных колебаний
Находим значение кинетической и потенциальной энергии:
Находим коэффициенты инерции и жесткости системы:
Для системы с 2 степенями свободы, уравнения частот записываются в виде:
После выполнения операции исключения μ из системы двух уравнений, получается одно уравнение частот:
Корни уравнения частот
и
определяют частоты свободных колебаний
k
1
и
k
2
(частоты главных колебаний системы).
Частота k1 (k1 < k2) является основной частотой колебаний.
Значения коэффициентов инерции и жесткости подставляются в полученное уравнение частот:
После преобразований:
В условии примера
Корни:
Значения частот k1 и k2 по результатам сопроматского расчета (см. работу Беляева [5]):
С учетом этого значения корней:
Коэффициенты распределения:
Эпюра главных колебаний:
__
Форма эпюр подчиняется теореме об узлах собственных форм колебаний [4,с.120]. По этой теореме амплитуды для разных частот колебаний не имеют одинакового знака. То есть, если амплитуда первой формы положительная, то амплитуда остальных форм должна иметь минимально одну перемену знака. Число перемен знака или число узлов собственной формы колебаний m-го порядка равно m-1.
Бабаков [4,с.124] для балки с 3 точечными нагрузками приводит три возможные формы колебаний:
__
Решение приближенным методом Релея
По методу Релея допускается:
масса системы не изменяет типа колебаний
перемещение системы при колебании имеют ту же форму, что и при статической деформации (сходство формы не означает равенство величин деформации).
Ошибка по методу Релея не превышает 1,5% [2,с.60].
Метод Релея состоит в том, что в конкретный момент времени находится перемещение точек вала по формулам статической деформации. Для других моментов времени перемещения могут отличаться от выбранного момента времени. Так как действующая на вал сила Р, состоящая из веса груза и сил инерциизависит от времени.
__
Рассмотрим по методу Релея колебания консольной балки (вала) с защемленным концом [2,с.73].
ркруговая частота собственных колебаний в этом примере и ниже.
Обобщенное перемещение:
Кинетическая энергия груза:
в этом уравнении квадрат скорости
Кинетическая энергия элемента балки dc:
Уравнение упругой линии:
Минуя выкладки, полная кинетическая энергия системы:
Потенциальная энергия системы:
Уравнение Лагранжа:
В этом уравнении круговая р0 частота:
Статический прогиб на консоли балки:
И
Решение уравнения :
период колебания
частота
круговая частота
__
Рассмотрим по методу Релея колебания двухопорной однопролетной балки (вала), нагруженной сосредоточенной силой посередине [2,с.65].
Обобщенное перемещение:
Кинетическая энергия груза:
Уравнение упругой линии:
Интегрируя последовательно:
Прогиб:
Прогиб посередине пролета:
Следовательно,
Как видно, прогибы x и xc являются динамическими прогибами, а не статическими, и имеют переменное значение, зависящее от времени.
Так, формула прогиба имеет переменное от времени значение так как сила Р, состоящая из веса груза и сил инерциизависит от времени.
Кинетическая энергия стержня:
Полная кинетическая энергия системы:
Потенциальная энергия системы:
Уравнение Лагранжа:
Эта формула аналогична формуледвижения груза, подвешенного на пружине, имеющий общий интеграл .
Используя этот интеграл находим:
период:
частоту
круговая частота
Если собственную массу балки не учитывать:
Т.е. к массе мешалки необходимо прибавитьот веса вала.
__
Рассмотрим по методу Релея колебания двухопорной однопролетной балки (вала), нагруженной сосредоточенной силой в произвольном положении [2,с.70].
Обобщенное перемещение:
Кинетическая энергия груза:
Кинетическая энергия элемента балки dc:
Уравнение изогнутой оси балки (вала):
В точке приложения груза:
При формула имеет вид, как для предыдущего примера:
Потенциальная энергия системы:
Уравнение Лагранжа:
Для статического удлинения k необходим груз:
Находим:
период
частоту
круговая частота
__
Рассмотрим по методу Релея колебания двухопорного однопролетного вала, нагруженной двумя произвольно приложенными сосредоточенными силами [2,с.76].
Ограничения метода Релея приводят систему к системе с 1 степенью свободы. При точном рассмотрении системы, она имеет множество степеней свободы.
Перемещение каждого груза:
Наибольшие перемещения грузов являются амплитудой для, для
Скорости грузов:
Максимальная скорость при
Максимальная скорость соответсвует переходу точки через статическое равновесие, т.к. фаза pt равна 0° или 180° при положении точки с на оси балки.
Скорость колебаний переменная, так как колебание происходит по закону синусоиды, например,. При изменении положения и скорости точки, меняется энергия колебания. При колебании происходит непрерывный взаимный переход кинетической энергии в потенциальную.
Сумма энергий постоянна и является полной энергией системы при рассмотрении идеального случая без потерь:
Для какого-либо конкретного положения системы:
При нахождении точки на оси абсцисс (оси вала), потенциальная энергия равна нулю, кинетическая максимальная:
Т.е. вся полная энергия системы является максимальной кинетической энергией.
Для фазы pt равной 90° или 270° кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия максимальная:
Т.е. вся полная энергия системы является потенциальной энергией.
Можно записать:
Для случая рассматриваемого груза:
Из этой формулы находится круговая частота:
Период колебаний:
___
Для трех грузов на валу, круговая частота запишется по формуле:
__
Для n грузов круговая частота запишется по формуле:
Как можно видеть, определение круговой частоты сводится к нахождению статических прогибов. Прогибы могут быть также найдены графоаналитически.
Для одного груза круговая частота запишется по формуле:
__
Рассмотрим по методу Релея колебания двухопорного однопролетного вала, нагруженной распределенной нагрузкой [2,с.81].
Мешалки являются сосредоточенной нагрузкой на валу и пример приводится для сведения.
Балка с распределенной нагрузкой условно разбивается на ряд участков с заменой распределенной нагрузки, приходящейся на каждый участок, сосредоточенной силой, приложенной по центру тяжести участка.
Колебания системы с распределенной нагрузкой находятся по приведенной выше формуле:
Точность решения зависит от числа n участков.
Прогибы находят по уравнению упругой линии с равномерно распределенной нагрузкой:
Для 8 участков (8 прогибов):
С учетом этого, уравнение упругой линии:
С учетом того, что
__
Рассмотрим по методу Релея колебания балки на нескольких опорах [2,с.87].
Схема трехопорного неразрезного вала подходит для однопролетного вала, имеющего дополнительный короткий пролет в верхней стойке привода электродвигателя.
В целом многопорный вал больше соответствует конструкциям полупогружных насосов, погружных электродвигателей, но пример трехопорного вала нужно использовать в проектировании химических и нефтяных аппаратов с перемешивающими устройствами.
Форма прогиба такая же как у статического прогиба под действием сил, применяя принцип Даламбера (приводя динамическое нагружение к статическому приложению сил).
Силы инерции вызывают дополнительный прогиб х1 и х2. Их уравновешивают дополнительные силы упругости, возникшие из-за этого прогиба.
k1прогиб в сечении I от силы равной 1 и приложенной в сечении I,
k2прогиб в сечении I от силы равной 1 и приложенной в сечении II,
k3 прогиб в сечении II от силы равной 1 и приложенной в сечении I,
k4прогиб в сечении II от силы равной 1 и приложенной в сечении II,
Сила инерции в сечении I:
Сила инерции в сечении II:
Сила равная 1 приложенная в сечении I вызывает прогиб k1, а сила инерции в этом же сечении вызывает прогиб:
Прогиб в этом же сечении от силы инерции, приложенной в сечении II:
Полный прогиб в сечении I:
Полный прогиб в сечении II:
Полученные уравнения для х1 и х2 являются дифференциальными уравнениями движения для рассматриваемого случая трехопорного вала.
Коэффициенты в уравнениях находятся по принципу сложения сил, по которому прогиб в любой точке вала под действием сосредоточенных сил получается в виде суммы прогибов от каждой из силы по отдельности (для прогиба в сечении I находятся и суммируются прогибы от сил Q1, Q2, RC).
Уравнение упругой линии для левой части вала (срасстояние между правой опорой и точкой приложением силы):
Прогиб в месте приложения груза:
Находится неизвестная реакция опоры RC для статически неопределимого трехопорного вала (балки). Для нахождения реакции RC принципом сложения сил отбрасывается средняя опора вала и заменяется направленной снизу вверх реакцией RC. Так получается статически определимая система, нагруженная 3 силами: известными Q1 и Q2 и неизвестной реакцией RC. Сумма прогибов от каждой силы в точке с равна нулю так как в этой точке находится опора. И из условия равенства нулю прогибов находится реакция RC.
Прогиб от силы Q1 в точке с:
Прогиб от силы Q2 в точке с:
Прогиб от силы RC в точке с:
Вместо прогибов в формулу подставляются их значения:
Из этоф формулы находится Rc
Находится прогиб в сечении I по известной RC. Прогиб равен сумме прогибов от сил Q1, Q2, RC
Прогиб в сечении I от силы Q1 (c = la1)
Прогиб в сечении I от силы RC (c = l2 и y = a1)
Подставляя значение RC
Прогиб в сечении I от силы Q2 (c = a2 и y = la2)
Суммарный прогиб в сечении
Формула прогиба в сечении I зависит от силы Q1 и силы Q2. Группируются члены, содержащие силу Q1 c получением формулы прогиба в сечении от силы равной Q1, приложенной в сечении I:
Если в эту формулу вести Q1 = 1, то формула покажет прогиб в сечении I от единичной силы, приложенной в сечении I:
Если в полученном уравнении Q2 = 1
если в эту формулу вести Q2 = 1,
Прогиб в сечении II от силы Q1
Прогиб в сечении II от силы RC
Прогиб в сечении II от силы Q2
Полный прогиб в сечении II
Группируя члены для сил Q1 и Q2 и принимая эти силы равными 1:
Теперь решаются уравнения прогибов х1 и х2. Коэффициент k3 заменяется на равный k2.
Вал совершает гармонические колебания:
Производные этих последних уравнений по времени:
Теперь в полученные ранее формулы для х1 и х2 подставляются вторые производные:
После преобразований:
Для определения частоты р необходимо приравнять нулю определитель:
После группировки членов, содержащих р2 и р4:
Полученная формула решается для нахождения р2:
В результате решения получаются два значения частот, соответствующих двум возможным формам колебания вала. При первой форме два груза движутся вверх, при второй форме один груз движется вверх, а другой груз движется вниз.