Критические скорости вала:
Аналогично двухпроленому валу находят частоты колебаний для многопролетных неразрезных валов.
__
Критические скорости валов относительно поперечных колебаний
Рассмотрим однопролетный вал с силой, приложенной посередине [2,с.97].
Вал жесткий:
Массой вала пренебрегаем, центр тяжести нагрузки и ось вала не совпадают за счет неточности изготовления и прогиба системы от собственного веса.
При вращении возникает центробежная сила:
Внутренняя сила упругости:
Уравнение прогиба по условию равновесия:
После решения относительно х:
Вводится обозначение:
(ркруговая частота собственных колебаний)
Получается:
Из формулы видно, что при совпадении собственной частоты поперечных колебаний со скоростью вала прогиб стремиться к бесконечности и наступает явление резонанса.
Скорость вала, равная частоте собственных поперечных колебаний, является критической скоростью.
Критическое число оборотов вала:
Нахождение критического числа оборотов вала состоит в задаче нахождения частоты собственных поперечных колебаний.
При скоростях свыше критической, центр тяжести вала устанавливается между точкой эксцентриситета на предыдущем рисунке и недеформированной осью вала.
Гибкий вал:
В этом случае формулаизменится на формулу:
т.е. между х и e поменяется знак с «+» на «-».
Из этой формулы:
Из формулы видно, что с ростом скорости за пределом критической частоты прогиб вала стремится выпрямится. В пределе при x = e вал имеет прямую ось.
Лунц указывает [2,с.99] о доказательстве этого положения в работе Фепля и в работе Зоммерфельда.
__
Из формулы видно, что прогиб уменьшается с уменьшением или .
При конструировании вала необходимо уменьшать критическую частоту вала или равную ей частоту собственных поперечных колебаний вала.
Из формулы собственной круговой частоты
видно, что для уменьшения частоты р (равной критической) следует увеличить статическую деформацию вала. То есть сделать вал гибким, число оборотов которого выше резонансной частоты.
Здесь под гибким валом не понимается вал со свободно перемещающимся сечением и осью с двоякой кривизной [2,с.100].
Для изменения жесткости вала изменяют его длину, размеры сечения (инерциальные характеристики).
__
Приведем несколько отличающееся описание выкладок расчета критических оборотов вала в работе Тимошенко [31].
Тимошенко указывает [31,с.256] о возникновении критических колебаний вследствие эксцентриситета масс, возникших при изготовлении вала (биение поверхности).
Из приведенной выше теории ясно, что колебания возникают и для идеальной оси, то есть эксцентриситет сам по себе не вызывает поперечных колебаний, но, конечно может влиять на их величину.
По Тимошенко изгиб продолжается до тех пор, пока упругие силы не уравновесят центробежную силу.
Центробежная сила:
Упругая сила:
Приравнивая:
На невысокой угловой скорости с эксцентриситетом близким к нулю, прогиб незначителен. С увеличением ω прогиб увеличивается и пристановится.
В этом случае угловая скорость является критической скоростью:
При превышении критической скорости формула равновесия:
(изменился знак между y и e с «+» на «+»).
Формула показывает, что с увеличением частоты, прогиб уменьшается.
После этого Тимошенко [31,с.258] принимает для анализа вала модель, в которой сам вал вращается вокруг своей оси (изогнутой оси) с частотой ω, и плоскость вала вращается вокруг прямой оси с такой же частотой ω.
В этом случае на вал будет действовать сила
Работа центробежной силы:
Из этой формулы получается такая же формула для критической частоты.
Оценивается влияние массы вала на значение критической частоты. Используется метод Релея. Задается вид кривой изгиба вала. Этим система вала преобразуется в систему с одной степенью свободы. Для вала с одной мешалкой (ηпрогиб):
Для нескольких мешалок на валу:
Второй член левой части формулы относится к работе центробежной силы.
Некорректность этих формул в том, что они не учитывают наклон плоскостей мешалок к оси вала.
Наклон мешалок за счет появления моментов сил инерции противодействует изгибу вала, т.е. повышает жесткость и увеличивает значение критической частоты.
Тимошенко [31,с.260] рассматривает вал с 4 дисками:
Горизонтальные силы уравновешиваются, вертикальные силы приводятся к паре сил и силе в плоскости xy. Пара сил:
Все пары приводятся к паре(θмомент инерции мешалки относительно оси z).
Пара производит работу против искривления оси вала
Формула для определения критической частоты:
Тимошенко называет приведенную формулу общим решением о разыскании критической угловой скорости [31,с.260].
__
По изложенной выше теории поперечных колебаний можно определять собственные частоты колебаний валов для различных конструктивных компоновок перемешивающих устройств, а затем по приведенным выше формулам рассчитывать критические обороты вала.
Совместное действие поперечных и крутильных колебаний на вал
Тимошенко С.П. в работе [30,с.427] подробно рассмотрел проблему совместного действия изгибных и крутильных колебаний на балку. Для рассматриваемого им случая изгибные колебания проходили не в плоскости симметрии стержня, в результате чего возникают крутильные колебания. В нашем случае крутильные колебания возникают при вращении вала с мешалками. Однако, выводы полученные Тимошенко могут быть применены для анализа совместного действия поперечных и крутильных колебаний вала с мешалками.
Для вертикальной нагрузки кривая прогиба:
(wинтенсивность распределения поперечной нагрузки, за положительное направление принимается верх)
Нагрузку, распределенную вдоль центральной оси заменяют нагрузкой, проходящей через центр сдвига, и распределенный крутящий момент интенсивностью wc.
Крутящий момент:
Rкрутильная жесткость, R1жесткость стесненного кручения.
Дифференцируя получается:
Уравнение показывает связь между изгибом и кручением при приложении статической нагрузки вдоль оси.
Интенсивность поперечных сил инерции
Интенсивность моментов инерции
Iпцентральный полярный момент инерции сечения вала.
Формулы для совместных изгибных и крутильных колебаний:
Вал колеблется в одной из собственных форм колебаний.
ркруговая частота колебаний,
Х, Х1нормальные функции, решения которых отыскиваются для удовлетворения граничным условиям.
После подстановки:
Тимошенко приводит пример стержня со свободно опертыми концами:
Функции Х и Х1 в этом случае:
Ci и Diпроизвольные постоянные.
Вводятся обозначения:
После подстановки получается:
Решения для Ci и Di находятся в случае, если определитель уравнений равен нулю.
В этом случае частотное уравнение:
Из этой формулы:
Для случая совпадения центра тяжести с центром сдвига, то есть с = 0 и λ =0:
Из формулы получаются две системы значений частот:
Полученные частоты являются несвязанных друг с другом и независимых друг от друга частот изгибных (поперечных) и крутильных колебаний. Аналогичные результаты получаются для стержней с другими условиями закрепления концов.
Связанные изгибно-крутильные колебания можно найти методом Релея-Ритца [30,с.430].
__
Итак, по представленным данным Тимошенко возможен раздельный расчет на поперечные и крутильные колебания, либо расчет на изгибно-крутильные колебания методом Релея-Ритца.
Результат этого вывода может быть использован конструкторами для упрощения проблем проектирования валов с мешалками. То есть выполнять расчет поперечных колебаний и расчет крутильных колебаний по отдельности. Для определенных технических целей необходимо выполнение только одного из видов расчетов. Изложенная теория даст более глубокое понимание физики колебаний вала. Однако, правильно выполнять расчет на изгибно-крутильные колебания вала с мешалками.
Расчет изгибно-крутильных колебаний вала с мешалками по данным [32].
Рассмотрим шарнирно опертый стержень [32,с.200]. Система уравнений распадется на две независимые системы. Уравнение, описывающее только изгибные колебания в плоскости симметрии:
Уравнения, описывающие изгибно-крутильные колебания:
Граничные условия при x = 0 и x = l:
Граничные условия удовлетворяются при:
Собственные частоты определяются из формулы:
Частоты изгибных и крутильных колебаний :
Собственные частоты колебаний:
При a3 = 0 центр тяжести и центр изгиба совпадают,
__
Как видно, формулы Тимошенко и по справочнику [32] для определения поперечных и изгибных колебаний почти полностью совпадают.
Однако, Тимошенко указывает о независимости от и необходимости применения метода Релея-Ритца.
__
Таким образом, для вала с мешалками как для балки по приведенной выше теории должны быть рассчитаны поперечные колебания, например, для неразрезной балки на трех опорах.
Затем должны быть рассчитаны крутильные колебания. Но в процессе перемешивания крутильных колебаний может и не возникать, в этом случае критические частоты будут строго соответсвовать поперечным частотам собственных колебаний. В случае наличия крутильных колебаний, их необходимо определить и проверку прочности выполнить для поперечных и крутильных колебаний.
Метод определения критической скорости по работе Тимошенко [31], где колебания связываются с эксцентриситетом необходимо считать некорректным. Колебания возникнут и при отсутсвиии эксцентриситета, однако, условия для статической балки и вращающегося вала с учетом эксцентриситета будут отличаться.
__
Тимошенко указывает о необходимости численного выполнения расчетов колебаний в работе [30]. То есть в том числе маститый специалист признает превосходство численных методов над ручными расчетами.
__
Итак, можно сделать следующий вывод: теорию колебаний можно применять для ручного расчета на практике, но она больше необходима для глубокого понимания физики процесса колебаний, а расчеты должны выполняться методом конечных элементов в специальном программном пакете, например, ANSYS.
Расчет валов методом конечных элементов
В динамической задаче воздействие внешних сил является функцией времени. Напряженно-деформированное состояние зависит от времени. Время является дополнительным параметром, усложняющим расчет по сравнению со статическими расчетами.
Уравнения движения динамической системы выводятся с применением принципа Даламбера, на основе принципа возможных перемещений, на основе вариационного принципа Гамильтона.
Метода Даламбера удобно применять для систем с небольшим числом степеней свободы [20,с.486], к которым относятся валы с мешалками. Но вариационный подход Гамильтона является обобщением методов. Поэтому расчет вала с мешалками методом конечных элементов приведем на основе вариационного подхода Гамильтона.
Принцип Гамильтона записывается в форме [20]:
(Т и Пкинетическая и потенциальная энергии, Wneсилы демпфирования).
Функционал Лагранжа [20]:
Функционал Лагранжа по принципу Гамильтона при возможных перемещениях удовлетворяет условиям совместности и граничным условиям на контуре в течении времени от t1 до t2 и имеет стационарное значение.
Начальное положение для вариационной формулировки МКЭ следует при Т = 0 и Wne = 0:
Введем зависимости для Т, П и Wne от обобщенных перемещений, скоростей и сил [20]:
После подстановки в интеграл и преобразований получим уравнение движения Лагранжа:
Для конечного элемента объема V [20]
кинетическая энергия в матричной форме:
потенциальная энергия (складывающаяся из внутренней энергии деформации, потенциальной энергии внешних объемных и внешних поверхностных сил):
В конечном элементе поле перемещений и деформаций записываются интерполяционными функциями:
Скорость связана с обобщенной скоростью:
Силы демпфирования пропорциональны скоростям (являются неконсервативными):
Обобщенные силы в узлах конечного элемента при допущении о равномерном распределении сил демпфирования в единице объема, записываются формулой:
Формулы для кинетической и потенциальной энергии можно записать после преобразований в виде:
После подстановки записанных формул в первую формулу вариационной формулировки, получается матричная формулировка конечного элемента [20]:
mматрица масс, cматрица демпфирования элемента, kматрица жесткости, Qeвектор обобщенных сил в узлах конечного элемента.
В результате составляется уравнение движения системы конечных элементов на основе уравнений движения одного (каждого) конечного элемента [20]:
Мматрица масс, Сматрица демпфирования, Kматрица жесткости, Qвектор обобщённых сил.
__
Собственные колебания вала находят решением последней записанной системы дифференциальных уравнений. Для колебаний без затухания, система запишется в виде [20,с.500]:
Матричное уравнение запишется в виде т.к.:
Уравнение имеет решение при равном нулю детерминанте системы:
Матрица массы конечного элемента записывается формулой:
Для плоского линейного элемента перемещения описываются полиномами Гермита [20,с.491], матрица жесткости запишется:
После преобразований [20]:
Для конечного элемента, показанного на рисунке выше, с нагрузкой вдоль оси и с узлами на концах, с применением линейных интерполяционных функций, матрица масс записывается в виде [20,с.492]:
Запишем формулу для матрицы жесткости.
На рисунке показан стержневой элемент под действием изгиба [20,с.69]:
Вектор параметров перемещений в узлах элемента имеет два перемещения и два вращения:
Перемещение выражается в виде полинома с четырьмя суммированными координатами. Можно записать: