В этом случае выполняется расчет змеевикового теплового устройства.
__
Ниже приведем технологический расчет аппарата с мешалкой с коаксиальной рубашкой. Приводимый расчет основан на методиках А.Б. Голованчикова [23], [24], (а также с применением образцов расчета [20], [25]), в которых скомпилированы гидравлические и тепловые расчеты элементов для одного объекта аппарата с рубашкой.
По модели реактора идеального смешения определяются [23], [24]:
концентрация непрореагировавшего сырья (χстепень превращения):
определяется скорость реакции:
(для определения скорости реакции строятся интегральная и дифференциальная кривые, программа рассчитывает интеграл по формуле Симпсона с разбиением кривой на ряд участков)
находится среднее время пребывания:
(vrkскорость в конце реакции по интегральной кривой)
объем реакционной массы:
Для экзотермической реакции (с выделением тепла):
тепловая нагрузка на аппарат:
расход хладагента на отвод тепа:
объемный расход хладагента:
средняя скорость хладагента в рубашке:
Определение геометрических размеров аппарата [23], [24]:
Диаметр аппарата с эллиптически или торосферическим днищем:
Площадь эллиптического днища:
Так как стенка имеет запас по высоте, находят высоту смоченной части по объему жидкости. Для примера примем высоту равной диаметру аппарата:
Площадь смоченной поверхности стенки:
Общая смоченная поверхность на днище и стенке:
Определение параметров теплообменного устройства (рубашки аппарата) [23], [24]:
эквивалентный зазор в рубашке:
площадь сечения рубашки:
средняя движущая сила теплопередачи:
средняя температура хладагента:
динамическая вязкость реакционной массы при рабочей температуре:
динамическая вязкость хладагента при средней температуре:
Выбираем пропеллерную мешалку.
диаметр мешалки:
коэффициент, выбирается с учетом
РД 26-01-90-85 Механические перемешивающие устройства. Метод расчета
число Рейнольдса для процесса перемешивания [20], [23]:
число Рейнольдса для хладагента [23]:
число Прандтля для перемешиваемой среды:
число Прандтля для хладагента:
отношение чисел Прандтля:
при этом, Голованчиков отмечает, что температуры накипи, отложений на стенке со стороны перемешиваемой среды рассчитываются методом половинного деления между температурой перемешиваемой среды и средней температурой хладагента.
число Нуссельта:
коэффициент теплоотдачи от перемешиваемой среды к стенке:
удельная тепловая нагрузка перемешиваемой среды:
температура отложений со стороны хладагента:
отношение числе Прандтля для хладагента:
число Нуссельта для хладагента в рубашке [23]:
коэффициент теплоотдачи для хладагента:
удельная тепловая мощность хладагента (передача к среде):
средняя удельная тепловая мощность:
Определение поверхности теплопередачи:
Высота рубашки, если F < FC:
Коэффициент теплопередачи:
После определения коэффициента теплопередачи, его подставляют в уравнение теплопроводности [25]:
Уравнение сравнивается с уравнением теплового баланса аппарата [25]:
Расход хладагента или его конечную температуру «отпускают» в расчете, т.е. не является фиксированной величиной.
Совпадении уравнений теплового баланса и теплопередачи означает окончание расчета так как поверхность стенки обеспечивает снятие тепловой нагрузки. Запас назначается проектировщиком около 10% по поверхности.
Если значения Q в двух уравнениях не совпадают, поверхность теплообмена увеличивают и расчет выполняют повторно до совпадения значений. Или увеличивают расход хладагента, увеличивают турбулизацию его движения для повышения эффективности теплопередачи, устанавливают внутренний змеевик.
__
Приведенные выше модели и подходы являются чрезмерно простыми, устаревшими и не подходят для расчета аппаратов (реакторов) смешения в настоящее время. Расчет должен выполняться численными методами в специальных программных пакетах.
Вместе с тем, в программных пакетах МКЭ можно встретить модель учета кинетики с применением эквивалентной схемы реакторов смешения и вытеснения, которая описывает распределение потоков. Вместе с тем, существуют уравнения химической гидродинамики [34], [35], которые можно совместно решать с дифференциальными уравнениями вычислительной гидродинамики для потока без химических реакций. Тем самым составив расширенную систему, можно учесть наличие в потоке химических реакций.
Применяемый программный пакет будет являться стандартом по умолчанию для выполнения гидродинамического расчета.
__
По результатам численного расчета находят поле скоростей, поле давлений, рассчитывают траектории движения частей потоков по объему аппарата.
Для расчета гидродинамики перемешивания могут быть применены четыре подхода:
прямое численное решение уравнений Навье-Стокса (DNS),
применение аналитических теорий турбулентности,
применение моделей переноса турбулентности,
применение моделей замыкания движений мелкого масштаба.
Турбулентное движение имеет вихревую структуру и графические материалы с картиной вихревых дорожек и картиной обтекания тел широко представлены в литературе. Между вихрями разного масштаба происходит постоянное взаимодействие. Структура турбулентности описывает эти взаимодействия. Течение переходит из ламинарного (слоистого) в турбулентное при потере устойчивости. В потоке появляются возмущения и при их развитии устойчивое ламинарное движение переходит в турбулентное. Такие возмещения могут вызываться, например, наличием каких-либо элементов конструкции на пути течения потока. Развитая турбулентность (завихренное течение) представляет собой иерархию вихрей [9,с.15], в которой крупные вихри теряют устойчивость и распадаются на вихри более мелких масштабов (турбулентное перемешивание). Каскадный процесс передачи энергии от больших вихрей к меньшим происходит до устойчивых вихрей минимального масштаба. Минимальные вихри передают энергию за счет вязкости, то есть их кинетическая энергия преобразуется в выделение теплоты.
Турбулентное течение в отличии от ламинарного имеет большое число степеней свободы. По этой причине в литературе широко используется статистическое описание турбулентных течений.
В потоке величины условно делятся на осредненные (регулярные) и пульсационные (нерегулярные) [9,с.12]. Для описания турбулентного течения используются осредненные величины по времени или пространству. Появление какой-либо определенной структуры потока среди возможных конфигураций определяется согласно законам математической теории вероятностей.
В реальных задачах находят на полное определение вероятностей, а только для отдельных характеристик [9,c.13], таких как давление средние скорости в различных точках пространства, а также вторые моменты пульсаций турбулентности интенсивность турбулентности, компоненты импульса. Решение проблемы турбулентности по существу эквивалентно нахождению всех моментов при задании общих условий.
Аналитическая теория турбулентности получается на основании системы уравнений Фридмана-Келлера [9,с.13.]. Для применения этих уравнений к реальному течению с конечным числом степеней свободы, требуется выполнить математическую операцию замыкания уравнений, так как неизвестных в уравнениях больше, чем самих этих уравнений.
Полуэмпирическая теория турбулентности, построенная с использованием результатов исследований течений крупномасштабных вихрей [9,с.14] основаны на рассмотрении турбулентности в виде хаосу. Вводятся понятия интенсивности турбулентности, пути перемешивания, коэффициенты турбулентной вязкости, диффузии и теплопроводности. Вводятся гипотезы, отражающие физический процесс. Затем гипотезы проверяют экспериментальным путем, в результате чего для полуэмпирических моделей получают константы.
Модель турбулентности «kε».
Существует модель однородной изотропной турбулентности, но с помощью её нельзя провести описание реального потока [9,с.16]. Существует модель локально изотропной турбулентности. Согласно этой модели турбулентные пульсации для мелких масштабов с большим числом Рейнольдса можно рассматривать как однородные изотропные. Колмогоров ввел гипотезу [9,с.18] о том, что статический режим для мелких масштабов зависит от коэффициента вязкости k и скорости (средней) диссипации энергии ε.
Между масштабом больших вихрей L и масштабом мелких вихрей η, диссипация энергии ε определяет статистический режим турбулентности, так как вязкость влияет только на мелкие масштабы. Масштаб вихрей, на который влияет вязкость получается из этой гипотезы Колмогорова с учетом соображений размерности [9,с.18]:
Прямое численное решение уравнений Навье-Стокса.
При прямом численном уравнений Навье-Стокса, уравнения решаются для несжимаемой жидкости [10,с.311]. Для решения используются граничные периодические условия. То есть учитывается изменение функций при переходе между соседними кубическими элементами сплошной среды, как показано в работе [11,с.14].
При решении уравнений с граничными условиями методом конечных элементов с применением расчетной сетки по 3D-модели, уравнения Навье-Стокса переписываются в разностной форме для узлов сетки.
Возможно решение уравнений численным спектральным методом. По этому методу решение уравнений Навье-Стокса (с учетом граничных условий) аппроксимируется в форме усеченного ряда Фурье [10,с.312].
Конечно-разностный метод расчета сравнивается со спектральным по пяти параметрам [9,с.314]:
скорость сходимости,
эффективность (затраты на расчет для заданной погрешности результата),
граничные условия (точность конечно-разностных методов нарушается около границ за счет необходимости расчёта точек вне области течения, поэтому сетка корректируется вдоль границ и усложняется),
разрывы (сглаживание разрывов при локальных ошибках),
априорная оценка точности (для конечно-разностных методов точность сравнивается на сетках с разным числом конечных элементов).
Важной проблемой является расчет течения около поверхности рабочего колеса (импеллера) или корпуса насоса вследствие тонкого пограничного слоя жидкости. Для решения этой проблемы необходимо подробное рассмотрение течения по стенке, установление его параметров и применение этих параметров для граничных условий к расчету крупного масштаба турбулентного потока [9,с.344].
Аналитические теории турбулентности строятся на статическом подходе к описанию турбулентности [10,с.337]. Динамические параметры в этих теориях являются средними характеристиками течения потока.
Модели переноса турбулентности являются упрощенными моделями турбулентности [10,с.337] с эмпирическими параметрами, получаемыми по результатам эксперимента. Динамика взаимодействия между масштабами турбулентной пульсации рассматривается ограниченно.
Метод прямого численного моделирования DNS (Direct Numerical Simulation)
Многие авторы отмечают о том, что этот метод наиболее требователен к вычислительным ресурсам. Однако, в настоящее время существуют центры с суперкомпьютерами, выполняются параллельные вычисления и используются другие способы для выполнения затратных расчетов. На основании этого, метод DNS может быть внедрен в практику расчета проточной части насосов для получения наиболее точного результата расчета.
По методу DNS решаются уравнения Навье-Стокса напрямую непосредственно без применения моделей турбулентности (например, модели «k-ε») в отличии от других методов расчета.
При решении уравнений Навье-Стокса находят для любой точки в потоке скорость течения и давление. Результатом расчета по методу DNS является нахождение этих параметров потока.
По методу DNS возможно выполнение расчета течения для различных значений числа Рейнольдса.
В программных пакетах уравнения Навье-Стокса, то есть дифференциальные уравнения в частных производных, решаются конечно-разностным методам. Из конечно-разностных методов для решения задач гидродинамики используется метод конечных объемов (МКО).
Решение дифференциальных уравнений Навье-Стокса состоит из замены дифференциальных уравнений с назначенными граничными условиями на алгебраические дискретные уравнения и применение конечно-разностного метода решения.
В конечно-разностном методе, как указывается в работе [12,с.26], производная заменяется на алгебраическое отношение . При стремлении размеров ячейки сетки к нулю конечно-разностное отношение стремиться к производной , т.е. решение стремиться к решению дифференциального уравнения. При этом пределом является предел всего разностного уравнения, а не только его отдельных производных.
Операция дискретизации позволяет получить алгебраические уравнения, которые решаются вычислительными средствами применяемого компьютера.
Флетчер в работе [13,с.73] показал пример дискретизации на примере уравнения теплопроводности
на уравнение
В этом уравнении параметр показывает параметр Т в узле (j, n) сетки.
Таким образом, в каждом из узлов находится значение , проблема нахождения непрерывного решения дифференциального уравнения решается нахождением суммы значений.
Решение должно плавно изменяться в промежутках между узловыми точками элементов сетки. Решение в точках, не совпадающих с узловыми точками сетки, находится интерполяцией решений, полученных для окружающих её узловых точек.
Пример построения расчетной (дискретной) сетки по данным [13,с.74]:
Из указанного выше уравнения можно найти неизвестноепо известным значениям на слое n (временном слое). Такая формула будет являться алгоритмом решения. Полное решение для сетки является суммой решений для всех узлов [13,с.74]:
Процесс дискретизации вносит ошибку. Для окрестности узла, в пределах которой вычисляется производная, ошибка дискретизации находится разложением в ряд Тейлора. Главный член ряда достаточной корректно оценивает ошибку дискретизации при малой величине ΔА (стороне ячейки). Ошибка дискретизации является критерием оценки ошибки решения в зависимости от уменьшения размеров ячеек расчетной сетки.
__
Метод конечных объемов
По методу конечных объемов в пространстве проточной части насоса строится расчетная сетка, структурными элементами которой являются конечные объемы. Трехмерный конечный объем может быть представлен в виде куба, тетраэдра, гексаэдра. В элементе конечного объема уравнения решаются для точки, находящейся геометрическом центре этого элемента. Метод можно назвать «методом частиц в ячейках» [12,с.48].
Метод конечных объемов обеспечивает для исходный дифференциальных уравнений Навье-Стокса выполнение законов сохранения в интегральной форме, то есть обладает свойством консервативности [12,с.51]. Законы сохранения могут быть записаны для различных величин, например, массы, импульса и др.
Скорость накопления величины А в ячейке равна сумме конвективного и диффузионного притока в единицу времени [12,с.52]. По граням смежных ячеек решение интеграла должно быть одинаковым.