Математика для гуманитариев: живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев 12 стр.

и 2». «Ну, да». «А еще можно как-нибудь?» Я с интересом наблюдаю. Тут дочка и говорит: «Можно 5 + О».

Я вскакиваю с полки, спускаюсь и говорю: «Ваша дочь имеет нетривиальные, очень хорошие математические способности».

Мама немножко помолчала, а потом согласилась. Но она не по­няла. Ведь назвать 5 + 0 может только человек, у которого четко развита логика, другой человек не назовет, это нетривиальный ва­риант.

Вернемся к треугольным и квадратным числам. Какое следую­щее, после 1? Следующее «и такое, и такое» число это 36 (см. рис. 82).

О

оо

ООО оооооо оооо оооооо ооооо оооооо оооооо оооооо ооооооо оооооо

оооооооо оооооо

Рис. 82. Число 36 «дважды чемпион» среди натуральных чисел.

Давайте найдем общую формулу для всех чисел такого рода.

Слушатель: 36 на 6, ну, 36 на 36 умножить?

А.С.: Давайте, во-первых, выведем формулу для треугольных чисел. То есть, грубо говоря, есть формула для всех квадратных: п². Подставляете любое число, получается квадрат. А вот как на­писать общую формулу для чисел 1, 3, 6, 10, 15... Вот что нужно сделать с т, чтобы получить треугольное число?

Что получается? l + 2 + 3 + 4+ ... + m.

Нужно посчитать такую сумму. Вот оно, треугольное число. Как посчитать такую сумму? Есть знаменитая история про то, как Гаусс быстро в уме подсчитал сумму первых подряд идущих ста чисел. (Но это, мне кажется, байка.) Маленький Гаусс учил­ся в школе в 3-м классе. В школе к учителю или к учительнице пришел знакомый. Учительница решила дать задачу такую, чтобы дети занялись на весь урок. «Дети, а теперь посчитайте 1 + 2 + 3+ и так далее до 100». И ушла довольная. Выбегает маленький Гаусс через 5 минут, говорит: «Я посчитал: 5050».

«А как ты посчитал? А ты можешь доказать?»«Ну конечно, могу. Смотрите. Я пишу две строки:

1 + 2 + 3 + ... + 100,

+ ...+ 3 + 2 + 1.

По-другому просто перенумеровал. Сумма внизу та же самая бу­дет. Пусть она равна ж. И сверху х и снизу х.

1 + 2 + 3 + ... + 100 = ж,

100 + ... + 3 + 2 + 1 = ж».

Давайте теперь сложим строчки по столбикам: 1 + 100, 2 + 99,

+ 98, ...

Слушатель: Всегда получится 101.

А.С.: Конечно. А сколько штук?

Слушатель: 100.

А.С.: 100. Значит, удвоенное значение нашего выражения равно

умножить на 100. Откуда после сокращения на 2, естественно, и получается х равно 50 умножить на 101.

2х = 10100,

отсюда

ж = 5050.

Вот Гаусс и сказал 5050. И был совершенно прав, ничего не счи­тая. Математикаэто искусство лени. Математикэто тот, кто никогда не будет делать рутинных действий, он всегда придумает что-то машинное. Вот вы познали какой-то рутинный метод. Всё. Вы теперь на нём не зацикливаетесь, на нём будет зацикливать­ся компьютер. Компьютер ничего не выдумает, а математик, он свалит на компьютер всю рутину и найдет закономерность. В Бра­уншвейге Гауссу стоит памятник: бронзовый 17-угольник, на кото­ром стоит математик. А почему он стоит на 17-угольнике? Потому что Гаусс придумал, как строить правильный 17-угольник цирку­лем и линейкой. «Правильный»значит с равными сторонами и углами.

До него эту задачу не могли решить. Можно построить пра­вильный треугольник, 4-угольник. На самом деле, если вы умеете строить многоугольник с простыми сторонами, то остальное лег­ко. То есть надо строить: правильный треугольник, 5-угольник,

угольник. А 7-угольник никто строить не умеет. Все мучились и думали: «Что ж такое? Какие-то мы глупые, наверное. Почему мы не можем построить правильный 7-угольник циркулем и ли­нейкой?»

А потом уже после Гаусса пришел Ванцель и сказал: «Это невозможно. Математически невозможно». И доказал это. Так же, как нельзя построить правильный 11- и 13-угольник. Помни­те, я рассказывал про теорему Галуа? Про то, что для уравне­ния выше 4-й степени нельзя написать общую формулу корней. Здесь та же ситуация, вы можете взять циркуль и линейку, во­оружиться ими и хоть всю жизнь строить какие-то дуги, что-то пересекать, но вы никогда не сможете построить правильный 7- угольник. Ванцель доказал это в 1836 году. Но еще значитель­но раньше девятнадцатилетний Гаусс сумел построить правиль­ный 17-угольник. Какая следующая фигура строится циркулем и линейкой из правильных многоугольников? После 17-угольника? Оказывается, 257-угольник. Это очень долго и сложно, но можно. Вернемся к треугольным числам.

Понятно теперь, как мы будем выводить общую формулу? Мы запишем всё наоборот. Мы здесь запишем

+ 2 + 3 + 4 + ... + тп = х, тп + (тп1) + (тп2) + ... + 1 = х.

Теперь сложим и получим тп экземпляров какого числа? Числа (тп + 1):

(тп + 1 )тп = 2х.

Поэтому формула вот такая:

тп(тп + 1) х = 2 ·

Теперь можно подставлять вместо тп любые натуральные числа и получать треугольные.

А вот теперь задается вопрос. Итак, число является треуголь­ным, значит оно имеет такой вид

тп(тп + 1)

2 '

С другой стороны, оно квадратное, то есть имеет вид: п².

Получается замечательное уравнение для решения в целых чи­слах

тп(тп + 1)/2 = п².

А теперь смотрите? Может быть, вы помните, что такое делители числа? Делитель числа аэто такое число, на которое а делится (без остатка).

т и {т + 1)два соседних числа. Значит, одно из них точно четное, а значит, делится на 2. Значит т(т + 1)/2произведение двух целых чисел. Четное поделится на 2, а нечетное не поделится. Важно так же, что у соседних чисел не может быть общих делите­лей.

делится на 3, 16 нет. На 3 делится каждое третье число.

делится на 2 и на 4, но на 3 не делится.

Слушатель: А единица?

А.С.: Да. Единица. Но единицу мы за делитель не считаем, на нее всё делится. Еще пример. 28 делится на 7. Следующее число, которое делится на 735, а предыдущее21. Значит 27 на 7 не делится. То есть т и (т + 1) точно не имеют общих делителей.

В другой части нашего уравнения написан квадрат: п².

Его можно разложить на простые множители. И каждый та­кой множитель будет входить в разложение п² в четной степени. Например, если п делится на 5, то п² делится на 5².

Значит, чтобы выполнялось наше равенство, т(т + 1)/2 тоже должно делиться на 5². То есть на 25. Но т и (т + 1) не имеют общих делителей, значит одно из них делится сразу на 5².

И это будет верно для каждого простого делителя числа п. Ины­ми словами наше равенство возможно, только если каждый из т и (т + 1) является квадратом17.

Я, между прочим, в этой лекции обошел одну тонкость, которая называется основная теорема арифметики. В школе ее тоже обходят. Звучит она так: любое число однозначным образом рас­кладывается на простые множители. Школьников обманывают, говорят: «Ну, это очевидно». Действительно очевидноесли вы посидите, как я, и пораскладываете все числа от одного до 1000 на множители, то вы, конечно, убедитесь в этом. Но к абсолютному доказательству такая очевидность отношения не имеет.

Если же поверить в эту теорему, то получается следующее. Если п делится, скажем, на 11, то п² делится на II², на 121. Значит, и m(m+1) делится на II². Но 11 не может входить и в т, и в (т+1). Либо т делится на 11 в квадрате, либо (т + 1) делится на 11 в квадрате.

Эта важная истина говорит о том, что если т(т + 1)/2 = п², то либо т = а² и (т + 1)/2 = Ь² в случае если тнечетное, а (т + 1)четное, либо наоборот m + 1 = Ь² и т/2 = а² (если наоборот).

Отсюда уже один шаг до уравнения Пелля ж² 2у² = 1.

В первом случае получаем:

т = а² и (m + 1)/2 = b² = т + 1 = 2Ь²,

а так как m и m + 1 соседние числа, то а²2Ь² =1.

Во втором случае получаем:

т + 1 = Ъ² и т/2 = а² = т = 2а² = Ь² 2а² = 1.

Оба раза мы пришли к уравнению Пелля ж²2у² = ±1.

То есть, решая это уравнение, мы будем получать квадратно­треугольные числа.

Ребенок, который играет в эти кружочки и хочет составить од­новременно квадратное и треугольное число, вынужден решать уравнение Пелля.

Давайте посмотрим. Какие у нас были решения? 41 и 29.

41²2 · 29² = 1.

Следовательно

(т + 1)/2 = 29², т = 41², п² = 29²41², п = 1189.

Кто бы мог подумать, что когда-нибудь мальчик выложит такой треугольник. В нём должна быть 1681 строка. Представляете, ка­кую площадь займет этот треугольник!

Но я всё ухожу от ответа про (л/2 + I)², хотя и обещал его вам. Итак. Почему же, независимо от степени, у нас всегда получа­лось решение уравнения

ж² - 2у² = 1?

Возвожу, например, в 4-ю степень. (На самом деле, можно возвести в любую.)

(1 + л/2)⁴ = (1 + л/2)(1 + л/2)(1 + л/2)(1 + л/2),

(1 - V2)⁴ = (1 - л/2)(1 - л/2)(1 - л/2)(1 - V2).

Это классический бином Ньютона. Чтобы раскрыть все эти скоб­ки, нам нужно каждый раз из каждой скобки взять либо л/2, ли­бо 1. Представьте себе, какие из этих операций дадут целое число, а какие будут давать число с корнем из двух. Во-первых, целое по­лучается, если я отовсюду взял единичку. С другой стороны, если я из 2 скобок взял корень из двух, а из 2 единичку, тоже будет це­лое. Если я из 4 скобок возьму л/2тоже целое. А вот если из 3 скобок взять или из одной, то получится число с корнем. И после того, как я сложу, у меня получится выражение вида т + пу/2.

В т сидят все способы раскрытия скобки, где я беру с корнем четное число скобок, а все остальные разы единичку. А в пвсе, в которых я взял с корнем нечетное количество скобок, а из осталь- ш,IXединичку.

А теперь посмотрим на скобку с минусом. Получится то же са­мое, за одним исключением. Когда я возьму \[2 нечетное число раз, у меня получится число с минусом. Таким образом, при пе­ремножении получается знак минус ровно у тех слагаемых, кото­рые кратны л/2. Поэтому после того, как мы всё сложим, у нас получится тпу/2

т + nV2 = (1 + у/2)(1 + л/2)(1 + л/2)(1 + л/2),

т_п V2 = (l- у/2)(1 - л/2)(1 - у/2)(1 - л/2).

А теперь давайте перемножим две наши строчки.

(т + nV2)(mnV2) = т²2 п².

Напоминает Уравнение Пелля, не правда ли?

Наконец, перемножим правые стороны уравнений. Я не зря вам тут про Гаусса рассказывал. От перестановки множителей ведь ничего не меняется. Поэтому я могу в моем произведении перем­ножать скобки в любом порядке. Перемножу их по столбцам:

(1 + л/2)(1 - л/2) = 1 - 2 = -1.

Ну и тогда у нас получается после перемножения по столбцам

л/2)(1 + л/2)(1 + \/2),

- л/2)(1л/2)(1\/2),

в ответе (1)(1)(1)(1).

А что получится, если (1) умножается на себя много раз? 1 или (1). То есть, когда мы будем возводить (1 + у/2) в четную степень, будет (+1), а в нечетную (1).

Но с другой стороны уравнения у нас стояло т²2п². Получаем т²2 п² = ±1.

То есть мы доказали, что в любой степени (1 + л/2) порождает решение нашего уравнения Пел ля.

Теперь несколько вопросов до следующей лекции.

* *

Вы залезли на вершину Хибинских гор. Высота их пример­но 1 км. И посмотрели вдаль. А тамдома. Вам померещилось, или это Мурманск? Могли ли вы увидеть Мурманск? На сколько километров вдаль можно увидеть с километровой горы? Обрати­те внимание, земля круглая, поэтому сильно далеко не увидишь. На сколько километров видно с Эвереста? С 20-этажного дома? Если кто-нибудь, например, говорит: «Я тут пролетал из Тбили­си в Дели и Москву на горизонте видел». Он врет или возможно такое? Это задача, которая возникает, когда вы идете в горы.

Вы стали астрономом. И наблюдали за звездами. Наблюда­ли, живя в городе Москве, а потом по семейным обстоятельствам перебрались в Санкт-Петербург. Вы обнаружили какие-нибудь но­вые звезды, которые из Москвы не видно? Как устроены между собой два множества звезд этих двух городов? (Множество звезд, которые видны из Петербурга, и множество звезд, которые видны из Москвы.) Случилось солнечное затмение. Летним днем в Мо­скве стали видны звезды, которые никогда не видны летним днем в Москве. Это новые звезды, например. «Южный крест», или это те звезды, которые вы уже видели над Москвой?

Вы идете на лыжах 22 марта. Начинает темнеть, и вы вспо­минаете. что 22 декабря, когда вы шли на лыжах, и солнце зашло за горизонт, вы успели добежать до деревни Морозки до полной темноты. Вы идете в том же самом месте. Успеете ли вы добежать до деревни Морозки или нет? Тот же вопрос про 22 июня и 22 сен­тября (но уже вряд ли на лыжах). Когда быстрее всего наступает темнота после захода солнца, когда медленнее?

Вы подошли с вашей маленькой двухлетней дочкой к дет­ской площадке. И обнаружили там некоторое количество качелей разного вида.

Картинка: качели, рассчитанные на двоих детей. Одни с ручкой для рук (см. рис. 83). другие с ручкой для ног (см. рис. 84). А также совсем простые качели в виде обычной доски (см. рис. 85).

а какие качели вы увидели, скорее всего, в перекошенном состоя­нии? Как это зависит от расположения спинки?

Вы опять пришли и увидели, что качели устроены как абсо­лютно плоская доска. Просто обтесанное с двух сторон бревно, и больше ничего. Но одни качели в положении равновесия висят, вторые всё время скатываются набок. Почему?

Алиса летит сквозь Землю. Помните сюжет книги Л. Кэрро- ла «Алиса в стране чудес»?

Алиса летит сквозь Землю и думает, что она к антиподам при­летит. В самом центре Земли выбегает гномик и дает ей пинок так, что увеличивает скорость ее полета на 1 метр в секунду. Вопрос: на какое расстояние она вылетит из Земли вверх благодаря этому дополнительному метру в секунду?

В лиге чемпионов в группе 4 команды. Они играют каждая с каждой. Причем каждая с каждой играет и у себя, и в гостях. То есть в каждой группе между каждой парой команд произой­дет ровно 2 матча. В случае ничьей каждой команде дают 1 очко. Тот, кто победил, получает 3 очка. Проигравшийноль очков. А теперьвнимание! С каким минимальным количеством очков еще можно попасть в следующий раунд? В следующий раунд попа­дают 2 команды из 4. Вы должны привести конкретный расклад. Кто с кем играл, какие баллы получил. И доказать, что с меньшим числом очков «выйти из группы нельзя».

Каково максимально возможное количество родных прапра­бабушек?

Обсуждение ответовна лекции 5.

А.С.: Сначала обсудим задачи, заданные на дом в конце лек­ции 4. Они не являются обязательными и ничего не проверяют (в отличие от ЕГЭ). Просто они показывают особенности матема­тического подхода в различных жизненных ситуациях. Всего задач было семь: 1) Обзор окрестностей с вершины горы; 2) Наблюдение московских звезд во время затмения; 3) Скорость наступления тем­ноты в различные дни года; 4) Странное поведение детских каче­лей; 5) Полет девочки Алисы к антиподам; 6) Математика фут­больного чемпионата; 7) А сколько у человека прапрабабушек?

Все разобрались, сколько у «среднего человека» пра­прабабушек? (Несредним человеком будем называть такого, у ко­торого две прапрабабушки (или два прадедушки) совпадают в од­ном лице. Всякое бывает. Например, изучение росписи русских дворянских родов приводит к выводу, что у А. С. Пушкина и Н. А. Романова (то бишь Николая I) были общие предки.)

Рис. 86. «Дорово» бабушек и прабабушек.

пра...

бабушки и дедушки

С каждым коленом удваивается количество как дедушек, так и бабушек (см. рис. 86). Папа один, мама одна, дедушек два, бабу­шек две, прадедушек уже четыре, и прабабушек тоже четыре, ну, а прапрабабушек, соответственно, получается восемь.

Теперь разберем задачу про футбол (рис. 87).

С каким минимальным количеством баллов можно выйти из группы в следующий раунд? Ниже приведен пример, когда это ко­личество равно четырем (рис. 87, справа).

Рис. 87. Слова: Матчи команд самих с собой но имеют смысла. Справа: финальные счета в матчах, где А всех победил, в то время как прочие игры сыграны вничыо.

Итак. «А» выигрывает все игры. Все остальные матчи сыграны вничыо. (Напомним, что за победу дается 3 очка, за ничью 1 очко, за поражение 0.)

Получается, что выходит из группы в следующий раунд лучшая команда «А» и еще одна из команд с 4 баллами. Я не знаю, было ли такое в лиге чемпионов, но с 6 баллами точно выходили.

Встает другой вопрос. Как доказать, что с 3 баллами выйти не­льзя! Конечно, можно было бы перебрать все З¹² вариантов розы­грышей матчей (ибо имеется 12 незаполненных мест, и на каждом месте может быть 3 различных исхода). Но хотелось бы этого из­бежать. Давайте попробуем формально рассуждать. Как мы будем это делать? От противного. Предположим, что какая-то команда вышла с 3 баллами. Какие в этом случае количества баллов мо­гут быть у всех команд? Вышеуказанный вариант для команд А,